Hurst Katsayısı

ve

Burada kullanılan ifadeler şu şekildedir:

(3.4)

(3.6)

3.3. Tekil Değer Ayrıştırma (TDA) Entropisi

Roberts ve ark. (1998), TDA işleminden yararlanan ölçüme dayalı olan bir entropi tanımlamışlardır. TDA algoritması tarafından üretilen tekil değerler, bir sinyaldeki görünen dinamik bileşenlerin sayısını ya da onun boyutunu gösterebilir.

TDA algoritmasını kullanmak için öncelikle EEG sinyalinin gömülmesi gerçekleştirilmelidir. Bunun gerçekleştirilebilmesinin birçok yolu vardır ve burada Takens gecikmeler yöntemi açıklanacaktır.

Bir x=(x1,x2,x3…xN) sinyali alınır. Bu sinyali gömmek için yn gecikme vektörleri

oluşturulur:

y(n)=[x(n),x(n+τ),x(n+2τ),…,x(n+(dE-1)τ)] (3.8)

Burada τ zaman gecikmesidir ve dE gömülme boyutudur. Gömülme uzayı şununla

oluşturulur:

Y=[y(1),y(2),…,y(N-(dE-1)τ)]T (3.9)

Zaman dizisi dE boyutlu uzayda tanımlanır ve bu uzaydaki y(n) noktalarından oluşur.

EEG’yi gömmek için 1 değerinde bir τ ve 20 değerinde bir dE kullanılır. τ=1 alınması,

gecikme vektörleri için her noktanın kullanıldığı ve gömülme işleminde hiç bilgi kaybolmadığı anlamına gelir. dE’yi seçerken, sinyalin gömülü uzayda tamamen ortaya

20

Gömülmenin boyutuna bağlı olarak, tekil spektrum olarak bilinen bir dizi tekil değerler üretilerek, gömülü matris üzerinde TDA işlemi gerçekleştirilir. Önemli tekil değerlerin sayısı, dinamik bileşenlerin sayısıyla direkt olarak ilgilidir.

Bundan dolayı, sinyalin karmaşıklığı için bir ölçü belirlemek üzere, tekil değerlerin entropisi bulunur. Öncelikle, tekil değerler, her biri bütün tekil değerlerin toplamına bölünerek normalize edilir ve sonra TDA entropisi şu şekilde verilir:

Burada, N tekil değerlerin sayısıdır ve ise ile normalize edilmiş olan tekil değerlerdir (Faul ve ark. 2005).

3.4. Fisher Bilgisi

TDA entropisinin kullanımı, karmaşıklık ölçüsünün, incelenen sinyalin gücü tarafından büyük ölçüde etkilenmesi anlamına gelmektedir. Bundan dolayı, tekil spektrumun şeklindeki değişiklikleri vurgulayan ve bu nedenle kriz içermeyen EEG’den kriz içeren EEG’ye değişimleri göstermesi gereken Fisher bilgisi ile daha uygun bir ölçü verilebilir. Normalize edilmiş tekil spektrum için Fisher bilgisi şu şekilde verilir (Faul ve ark. 2005):

3.5. Yaklaşık Entropi

Yaklaşık Entropi (YE), bir anlık kalp hızı zaman dizisi HR(i) gibi bir zaman dizisindeki dalgalanmaların tahmin edilebilirliğini ölçen bir düzenlilik istatistiğidir. Sezgisel olarak, bir zaman dizisindeki dalgalanmanın tekrarlayıcı örüntülerinin varlığının, onu, böyle örüntülerin olmadığı bir zaman dizisinden daha tahmin edilebilir kıldığı düşünülebilir.

YE, gözlemlerin benzer örüntülerinin, ilave benzer gözlemler tarafından takip edilmeme olasılığını yansıtır. Birçok tekrarlayıcı örüntü içeren bir zaman dizisi göreceli olarak küçük bir YE’ye sahiptir. Daha az tahmin edilebilir yani daha fazla karmaşık bir işlemin daha yüksek bir YE’si vardır.

21

N adet anlık kalp hızı ölçümü HR(1),HR(2),…,HR(N)’den meydana gelen bir SN

dizisi verildiğinde, dizinin yaklaşık entropisi YE(SN,m,r)’yi hesaplamak üzere, iki giriş

parametresi olan m ve r için değerler seçilmelidir. m parametresi örüntü uzunluğunu, r parametresi ise benzerlik kriterini tanımlar. SN içindeki i ölçümünde başlayan kalp hızı

ölçümlerinin bir alt dizisi ya da örüntüsü pm(i) vektörü ile gösterilir. Örüntülerdeki eşleşen

ölçüm çiftleri arasındaki uzaklık r’den küçükse, yani 0≤k<m için |HR(i+k)-HR(j+k)|<r ise pm(i) ve pm(j) örüntüleri benzerdir.

SN içindeki m uzunluğundaki bütün örüntülerin kümesi Pm ele alındığında şu

tanımlanabilir:

Burada, benzerlik kriteri r verildiğinde, nim(r), Pm’deki pm(i)’ye benzeyen örüntülerin

sayısıdır. Cim(r) büyüklüğü, i aralığında başlayan, aynı uzunluktaki örüntülere benzeyen, m

uzunluğundaki örüntülerin oranıdır. Pm’deki her örüntü için Cim(r) hesaplanır ve bu Cim(r)

değerlerinin ortalaması olarak Cm(r) tanımlanır. Cm(r) büyüklüğü, SN’deki m uzunluğundaki

tekrarlayıcı örüntülerin yaygınlığını ifade eder. m uzunluğundaki örüntüler ve r benzerlik kriteri için, SN’nin yaklaşık entropisi şu şekilde tanımlanır:

Bu, m+1 uzunluğundakilerle karşılaştırılan m uzunluğundaki tekrarlayıcı örüntülerin göreceli yaygınlığının doğal logaritmasıdır.

Böylece, bir kalp hızı zaman dizisinde benzer örüntüler bulunursa, YE, her örüntüden sonraki aralığın farklı olmasının, yani örüntülerin benzerliğinin sadece tesadüf olmasının ve tahmin edilebilir değerlerin eksik olmasının logaritmik olasılığını hesaplar. Daha küçük YE değerleri, ölçümlerin benzer örüntülerinin, ilave benzer ölçümler tarafından takip edilmesi için daha büyük bir olasılık belirtir. Eğer zaman dizisi çok düzensizse, benzer örüntülerin meydana gelmesi takip eden ölçümler için tahmin edilebilir olmayacaktır ve YE göreceli olarak büyük olacaktır.

22

YE’nin önemli zayıflıkları olduğunu da ifade etmek gerekir. Bunlar, dizi uzunluğuna yüksek derecede bağlı ve kendi içindeki tutarlılığının zayıf olmasıdır (Moody 1997).

3.6. Hurst Katsayısı

Hurst katsayısı, bir zaman dizisinin öz benzerliği için boyutsuz bir hesaplayıcıdır. Hurst katsayısını tanımlamak için çeşitli yollar vardır. Harold Hurst’ün kendisi tarafından geliştirilen en eski tanım şu şekildedir:

Eşitliğin sol tarafı, yeniden ölçeklenmiş aralığın beklenen değeri olarak da bilinir. i=1,2,…,n olmak üzere bir Xi zaman dizisi üzerinde R(n) şöyle tanımlanır:

R(n)=max(Xi,i=1,2,…,n)-min((Xi,i=1,2,…,n) (3.15)

S(n) standart sapma ve C bir rastgele sabittir.

N, zaman dizisinin uzunluğu olmak üzere, i=1,2,…, için şu hesaplanır:

Her i boyutu için, eşitliğin sağ tarafı, zaman dizisi i boyutunda yığınlara ayrılarak hesaplanır. Her yığında, o yığın için R(i) ve S(i) hesaplanır. Sonra, bütün zaman dizisi için beklenti değeri bütün yığınların alt sonuçları üzerinden ortalama alınarak hesaplanır. Bu işlem şu eşitliği verir:

ve bu nedenle şu elde edilir:

23

İkiden fazla farklı i kullanarak, yeterli miktarda giriş verisi olduğunda, bu eşitlikler genellikle farklı şekillerde belirlenir ve bir en küçük kareler uyumu kullanarak çözülebilir. Uyumun eğimi, H (Hurst katsayısı) için kestirilen değer olacaktır. Bu değer, sabit ofset ya da bu durum için önemsiz olan, log(C) için kestirilen değerdir. Ne yazık ki, bu prosedür genellikle zayıf yakınsama ve kutup gösterir (Racine 2011).