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O objetivo de um experimento ´e esclarecer o comportamento de um sistema e estimar efeitos dos fatores experimentais, o que geralmente envolve o ajuste de um modelo. A forma da verdadeira rela¸c˜ao entre resposta e fatores nem sempre ´e conhecida e, assim, a alternativa ´e utilizar uma aproxima¸c˜ao. Muitos problemas podem ser adequadamente resolvidos ajustando-se um polinˆomio de baixa ordem.

O modelo de m´edias apresentado em (1) ´e um modelo geral para um experimento em delineamento inteiramente casualizado com t tratamentos, cada um com ni repeti¸c˜oes (i = 1, 2, . . . , t). A ´unica suposi¸c˜ao inicial deste modelo ´e a de adi- tividade entre a consequˆencia dos tratamentos e o componente aleat´orio. Associado ao ajuste do modelo temos a an´alise de variˆancia que, de forma sucinta, pode ser descrita como segue.

Observado os n resultados da vari´avel resposta y, a variabilidade total presente (SQtotal) pode ser decomposta em duas partes: uma devido a efeitos de tratamentos (SQtrat), com t − 1 graus de liberdade, e a outra devido a variabilidade aleat´oria (SQres), com n − t graus de liberdade. Sob as suposi¸c˜oes E(εij) = 0, V (εij) = σ2 para i = 1, . . . , t e j = 1, . . . , ni, com∑i=1t ni = n e E(εij · εij′) = 0 (para j ̸= j′

) ´e sabido que s2 ₌ SQres

n − t ´e uma estimativa n˜ao viciada de σ 2_. Na literatura essa estimativa ´e chamada de estimativa do erro puro. Quando os tratamentos s˜ao estruturados (fatorial) ´e mais apropriado reescrever a express˜ao em (1) em componentes que representam efeitos principais e intera¸c˜oes entre os fatores. Por exemplo, para o fatorial completo com os fatores x1 com I n´ıveis

e x2 com J n´ıveis, temos

yij = µij + εij = µ + αi+ θj + γij+ εij (4) em que µ ´e a m´edia geral, αi ´e o efeito do i-´esimo n´ıvel do fator x1 (i = 1, . . . , I), θj ´e o efeito do j-´esimo n´ıvel do fator x2 (j = 1, . . . , J) e γij ´e o efeito da intera¸c˜ao entre o n´ıvel i de x1 e j de x2. Note que, neste caso, t = I × J.

Similarmente ao modelo anterior, a an´alise de variˆancia associada re- sulta da decomposi¸c˜ao da SQtotal em variabilidade devido aos efeitos principais de x1 S(Qx1) com I −1 graus de liberdade, variabilidade devido aos efeitos principais de x2 (SQx2) com J − 1 graus de liberdade, variabilidade devido aos efeitos de intera¸c˜oes de x1x2 (SQx1x2) com (I − 1) × (J − 1) graus de liberdade e variabilidade devido aos res´ıduos (SQres) com n − I × J graus de liberdade, desde que pelo menos um tratamento seja repetido. A variabilidade devido ao modelo completo ´e a soma das variabilidades dos efeitos descritos (SQmod = SQx1 + SQx2 + SQx1x2), que, neste caso, se iguala `a variabilidade de tratamentos descrita acima.

A estimativa de σ2 _{´e idˆentica `a estimativa n˜ao viciada do modelo apre-} sentado em (1), ent˜ao s2 = SQres

n − I × J. A estima¸c˜ao dos efeitos no modelo pode ser obtida pelo M´etodo de M´ınimos Quadrados dos erros cujas solu¸c˜oes ´unicas s˜ao obtidas ap´os definir restri¸c˜oes apropriadas sobre os parˆametros. Para mais de dois fatores, o modelo ´e estendido acrescentando intera¸c˜oes de ordens superiores, entre trˆes fatores, quatro fatores, ou mais.

Quando o experimento envolve repeti¸c˜oes de pelo menos um trata- mento ´e poss´ıvel obter estimativa de erro puro. Por´em, uma desvantagem da estru- tura fatorial ´e que o n´umero de tratamentos cresce muito r´apido quando aumentamos o n´umero de fatores e nem sempre ´e poss´ıvel usar o fatorial completo e/ou repetir tratamentos. Nestes casos, costuma-se utilizar os graus de liberdade das intera¸c˜oes de alta ordem, consideradas n˜ao relevantes, para obter uma estimativa da variabi- lidade do erro, estimativa esta denotada por s2

p. O ´ındice p ´e utilizado para deixar claro que esta ´e uma estimativa do tipo pooled, ou seja, que agrupa a variabilidade dos efeitos considerados desprez´ıveis. Conforme argumentado por Gilmour & Trinca

19 (2012), esta estimativa ´e viciada para σ2_.

Para fatores quantitativos temos interesse em simplificar µi do modelo em (1) por uma superf´ıcie que, em geral, ´e aproximada por um polinˆomio de baixa ordem. Assim,

µi = f′(xi)β i = 1, . . . , t, (5) em que f ´e uma fun¸c˜ao que expande xi = (x1i, x2i, . . . , xki)′ num vetor de dimens˜ao p de acordo com os termos do polinˆomio que se deseja ajustar e β ´e o vetor de parˆametros do modelo de dimens˜ao p (p < t). Usualmente, os elementos de β s˜ao o intercepto, os efeitos de algumas potˆencias baixas dos x’s e intera¸c˜oes. O modelo de primeira ordem inclui intercepto e efeitos lineares. O modelo de segunda ordem inclui intercepto, efeitos lineares, efeitos quadr´aticos e intera¸c˜oes lineares dos fatores dois-a-dois. Estes modelos s˜ao os utilizados nos estudos de superf´ıcies de resposta, sendo que o modelo de segunda ordem ´e inclusive chamado de modelo de superf´ıcie de resposta. Qualquer modelo polinomial pode ser escrito na forma matricial do modelo de regress˜ao dado por

Y = Xβ + ε (6)

em que Y ´e o vetor de respostas de dimens˜ao n, X, com dimens˜ao n × p, ´e a matriz de delineamento definida pelo modelo e pelo delineamento e ε ´e o vetor de erros aleat´orios de dimens˜ao n. Note que cada linha de X ´e dada por f′

(xi).

Para ajustar um modelo de regress˜ao aos dados observados, basta es- timar o vetor de parˆametros β. O problema ´e encontrar β tal que Xβ seja pr´oximo de Y. Pelo M´etodo de M´ınimos Quadrados (MQ), encontramos β tal que a fun¸c˜ao ε′

ε _{= (Y − Xβ)}′

(Y − Xβ) ´e minimizada. Ao resolver este problema, obtemos a solu¸c˜ao explicita dada por

ˆ

β = (X′

X)−1_X′

Y. (7)

Sob as condi¸c˜oes de Gauss-Markov, isto ´e, E(ε) = 0 e V(ε) = σ2_I, o estimador de MQ de β, ˆβ, ´e BLUE (Best Linear Unbiased Estimator ), ou seja, dentre todas as poss´ıveis combina¸c˜oes lineares de Y, ˆβ ´e o estimador com variˆancia

m´ınima e n˜ao viciado, pois E( ˆβ) = β. Temos tamb´em que V( ˆβ) = (X′

X)−1_σ2_{. Sob} o conhecimento da distribui¸c˜ao de probabilidade dos erros, o m´etodo de estima¸c˜ao preferido em Estat´ıstica ´e o de M´axima Verossimilhan¸ca (MV). No caso de normali- dade dos erros (Draper & Smith, 1998; Faraway, 2004), ou seja, ε ∼ N(0; Iσ2_{), este} m´etodo produz os mesmos estimadores de β que o m´etodo de M´ınimos Quadrados dos erros.

Realizar testes de hip´oteses sobre os parˆametros do modelo ´e extrema- mente ´util para as inferˆencias sobre os efeitos dos fatores e para a escolha do modelo adequado. Para isso, considerando a normalidade dos erros, temos as hip´oteses

H0 : β1 = 0; β2 = 0; . . . ; βp = 0 H1 : βj ̸= 0 para pelo menos um j,

que podem ser testadas pelo teste F da An´alise de Variˆancia (ANOVA) cuja es- tat´ıstica do teste sob H0, ´e

F = SQmod p − 1 SQres n − p ∼ F(p−1;n−p). (8)

Se o valor obtido para a estat´ıstica F for maior do que o valor do quantil de ordem (1 − α) da distribui¸c˜ao F com p − 1 e n − p graus de liberdade no numerador e no denominador, respectivamente, ent˜ao rejeitamos H0 ao n´ıvel de α% de significˆancia. Este teste ´e dito ser global, ou seja, testa a nulidade dos coeficientes de todas as regressoras no modelo. Se H0 for rejeitada, temos evidˆencia de que pelo menos um dos fatores ´e ´util para explicar Y linearmente.

Sob normalidade, temos tamb´em ˆβ _{∼ N(β; (X}′

X)−1_σ2_{). O erro} padr˜ao de cada estimador ˆβj ´e σ√cjj, em que cjj ´e o j-´esimo elemento da diago- nal de M−1 _{= (X}′

X)−1_{, em que M tem dimens˜oes p × p e ´e chamada de matriz de} informa¸c˜ao. Ent˜ao, as hip´oteses

H0 : βj = 0 H1 : βj ̸= 0

21 podem ser testadas pelo teste t dado por

T = βˆj− βj s√cjj ∼ t

n−p. (9)

Se o valor absoluto obtido para a estat´ıstica T for maior do que o valor do quantil de ordem (1 − α/2) da distribui¸c˜ao t com n − p graus de liberdade, ent˜ao rejeitamos H0 ao n´ıvel de 100 · α% de significˆancia. Este teste t ´e dito ser individual ou parcial, ou seja, testa a contribui¸c˜ao da j-´esima vari´avel regressora em particular ap´os considerar a contribui¸c˜ao de todas as outras no modelo.

Construir intervalos de confian¸ca (IC) e regi˜oes de confian¸ca para β ´e uma maneira de expressar a incerteza em nossas estimativas.

Podemos considerar individualmente cada parˆametro, o que leva ao IC para βj com 100 · (1 − α)% de confian¸ca tendo a forma geral

ˆ

βj ± |t(α/2;n−p)|s√cjj. (10) Quanto mais amplo o intervalo, maior a imprecis˜ao da estimativa. Note que fixados n e p, a imprecis˜ao s´o ´e reduzida diminuindo-se o valor √cjj, que depende da matriz X′_X.

No entanto, se constru´ırmos intervalos desse tipo para cada um dos p parˆametros, o n´ıvel de confian¸ca n˜ao ´e (1 − α), mas sim pr´oximo a (1 − α)p_{. Para} contornar esta quest˜ao, podemos obter uma regi˜ao de confian¸ca conjunta para os p parˆametros, formada pelo elips´oide, satisfazendo

( ˆβ_{− β)}′ X′

X( ˆβ_{− β)}

ps2 < F(1−α;p;n−p). (11)

Para o caso bidimensional e tridimensional ´e poss´ıvel visualiza¸c˜ao gr´afica do elips´oide. Quanto maior o volume do elips´oide, maior a imprecis˜ao das estimativas. Note que o volume do elips´oide depende da matriz X′

X.

Uma vez ajustado um modelo que se adequa aos dados, ´e poss´ıvel utiliz´a-lo para predizer valores da resposta em qualquer ponto da regi˜ao de interesse. Nos pontos utilizados no experimento, a resposta ajustada ´e ˆY = X ˆβ ou ˆY = HY,

em que

H = X(X′

X)−1_X′

(12) ´e chamada de matriz de proje¸c˜ao ou popularmente de matriz chap´eu (hat) e ´e uma matriz que projeta Y no espa¸co formado pelas colunas de X. A matriz H tem dimens˜oes n × n, ´e uma matriz sim´etrica (H = H′

), idempotente (H2 _{= H), singular} (|H| = 0), seu posto ´e igual ao seu tra¸co que ´e igual a p e a soma dos elementos de uma linha ou de uma coluna ´e 1.