1. BÖLÜM
4.4. Homotopi Pertürbasyon Metodu · Için Uygulamalar
4.4.3. Hirota-Satsuma Denklem Sisteminin HPM · Ile Yakla¸ s¬k Çözümü
u0 = u(x; 0) = u25(x; 0) = 3 8 2(cosh(x) sinh(x))2 (2 + cosh(x) sinh(x))2 +2(cosh(x) sinh(x)) 2 + cosh(x) sinh(x); (4.73) w0 = w(x; 0) = w25(x; 0) = 1 2 + cosh(x) sinh(x) 2 + cosh(x) sinh(x)
ba¸slang¬ç ¸sartlar¬ile verilsin. HPM kullan¬larak (4.10) denklemini çözmek için a¸sa¼g¬- daki homotopi kurulabilir:
(1 p)hY_ _u0 i + p Y_ 1 2Y 000 3Y Y0+ 3ZZ0 = 0; (4.74) (1 p) Z w0 + p Z + Z000+ 3Y Z0 = 0: (4.75) Burada _ Y = @Y @t; Y 0 = @Y @x; Y 00 = @2Y @x2; Z = @Z @t; Z 0 = @Z @x; Z 00= @2Z @x2; olmak üzere, Y = Y0+ pY1+ p2Y2+ p3Y3+ : : : _ Y = Y_0+ p _Y1+ p2 Y_2+ p3 Y_3+ : : : Y0 = Y00+ pY10+ p2Y20 + p3Y30+ : : : (4.76) Y00 = Y000+ pY100+ p2Y200+ p3Y300+ : : : Z = Z0+ pZ1+ p2Z2+ p3Z3+ : : : Z = Z0+ pZ1+ p2Z2+ p3Z3+ : : : Z0 = Z00 + pZ10 + p2Z20 + p3Z30 + : : : (4.77) Z00 = Z000+ pZ100+ p2Z200+ p3Z300+ : : :
yaz¬labilir. (4.76) ve (4.77), (4.74) ve (4.75) denklemlerinde yerine yaz¬l¬rsa p nin kuvvetlerinin katsay¬lar¬n¬n e¸sitli¼ginden elde edilen denklemlerden a¸sa¼g¬daki Y0; Y1;
Y2; Y3; Y4 ve Z0; Z1; Z2; Z3; Z4 de¼gerleri elde edilir.
Y0 = 3 8 2(cosh(x) sinh(x))2 (2 + cosh(x) sinh(x))2 + 2(cosh(x) sinh(x)) 2 + cosh(x) sinh(x); Y1 =
t( 2 + cosh(x) sinh(x))(cosh(x) sinh(x)) 2(2 + cosh(x) sinh(x))3 ; Y2 = ex(1 8ex+ 4e2x)t2 32(1 + 2ex)4 ; Y3 = ex( 1 + 22ex 44e2x+ 8e3x)t3 768(1 + 2ex)5 ; Y4 =
ex(1 52ex+ 264e2x 208e3x+ 16e4x)t3
24576(1 + 2ex)6 ; Z0 = 1 2+ cosh(x) sinh(x) 2 + cosh(x) sinh(x); Z1 = t 4(3 cosh(x2) sinh(x2))2; Z2 = ex( 1 + 2ex)t2 64(1 + 2ex)3 ; Z3 = ex(1 8ex+ 4e2x)t3 1536(1 + 2ex)4 ; Z4 = ex( 1 + 22ex 44e2x+ 8e3x)t4 49152(1 + 2ex)5 :
Bu de¼gerler kullan¬larak, u(x; t) = lim p!1Y = Y0+ Y1+ Y2+ Y3+ Y4+ ::: = 3 8 ex(1 8ex+ 4e2x)t2 32(1 + 2ex)4 ex( 1 + 22ex 44e2x+ 8e3x)t3 768(1 + 2ex)5 +e
x(1 52ex+ 264e2x 208e3x+ 16e4x)t3
24576(1 + 2ex)6 (4.78)
+t( 2 + cosh(x) sinh(x))(cosh(x) sinh(x)) 2(2 + cosh(x) sinh(x))3
2(cosh(x) sinh(x))2
(2 + cosh(x) sinh(x))2 +
2(cosh(x) sinh(x)) 2 + cosh(x) sinh(x)+ :::
w(x; t) = lim p!1Z = Z0+ Z1+ Z2+ Z3+ Z4+ ::: = 1 2 + ex( 1 + 2ex)t2 64(1 + 2ex)3 ex(1 8ex+ 4e2x)t3 1536(1 + 2ex)4 (4.79) +e x( 1 + 22ex 44e2x+ 8e3x)t4 49152(1 + 2ex)5 t 4(3 cosh(x2) sinh(x2))2 + cosh(x) sinh(x) 2 + cosh(x) sinh(x) + :::
5. BÖLÜM
GENELLE¸ST·IR·ILM·I¸S R·ICCAT·I DENKLEM·I DÖNܸSÜM METODU VE HPM ·ILE ELDE ED·ILEN DE ¼GERLER·IN KAR¸SILA¸STIRILMASI
Bu bölümde Kaup–Kupershmidt denkleminin, DSW denklem sisteminin ve Hirota-Satsuma denklem sisteminin genelle¸stirilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodu ile 4. bölümde elde edilen analitik çözümleri ile yakla¸s¬k çözümlerini kar¸s¬la¸st¬r- mak amac¬yla üç boyutlu ve iki boyutlu gra…kleri olu¸sturulmu¸s, mutlak hatalar¬n¬ görebilmek için tablolar çizilmi¸stir.
(a)
(c)
(d)
(e) ¸
Sekil 25. Genelle¸stirilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodu ile elde edilen ana- litik çözüm ve HPM ile elde edilen yakla¸s¬k çözümün üç boyutlu görünümü a) Kaup– Kupershmidt denkleminin u25(x; t)çözüm fonksiyonu için analitik çözümün ve yak-
fonksiyonu için analitik çözümün ve yakla¸s¬k çözümünün üç boyutlu görünümü, c) DSW denklem sisteminin w25(x; t) çözüm fonksiyonu için analitik çözümün ve
yakla¸s¬k çözümünün üç boyutlu görünümü, d) Hirota-Satsuma denklem sisteminin u25(x; t)çözüm fonksiyonu için analitik çözümün ve yakla¸s¬k çözümünün üç boyutlu
görünümü, e) Hirota-Satsuma denklem sisteminin w25(x; t) çözüm fonksiyonu için
analitik çözümün ve yakla¸s¬k çözümünün üç boyutlu görünümü.
Burada sol taraftaki üç boyutlu dalga görünümleri analitik çözümler için, sa¼g taraftaki üç boyutlu dalga görünümleri yakla¸s¬k çözümler için çizilmi¸stir.
(a)
(c) ¸
Sekil 26. Genelle¸stirilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodu ile elde edilen ana- litik çözüm ve HPM ile elde edilen yakla¸s¬k çözümün kar¸s¬la¸st¬r¬lmas¬ a) Kaup– Kupershmidt denkleminin u25(x; t)çözüm fonksiyonu için analitik çözümün ve yak-
la¸s¬k çözümünün kar¸s¬la¸st¬r¬lmas¬, b) DSW denklem sisteminin u25(x; t)ve w25(x; t)
çözüm fonksiyonu için analitik çözümün ve yakla¸s¬k çözümünün kar¸s¬la¸st¬r¬lmas¬, c) Hirota-Satsuma denklem sisteminin u25(x; t) ve w25(x; t) çözüm fonksiyonu için
analitik çözümün ve yakla¸s¬k çözümünün kar¸s¬la¸st¬r¬lmas¬.
Tablo 1. Kaup–Kupershmidt denkleminin u25(x; t)analitik çözümü ile HPM ile
elde edilen yakla¸s¬k çözümünün kar¸s¬la¸st¬r¬lmas¬
ju(x; t) Y4(x; t)j t x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 1.82631 10 6 2.7907 10 5 1.39062 10 4 4.36001 10 4 1.05932 10 3 0.2 1.76211 10 6 2.72265 10 5 1.36202 10 4 4.27886 10 4 1.04086 10 3 0.3 1.33492 10 6 2.07323 10 5 1.039 10 4 3.26705 10 4 7.95172 10 4 0.4 6.60889 10 7 1.02470 10 5 5.1323 10 5 1.61333 10 4 3.92602 10 4 0.5 8.29851 10 8 1.42477 10 6 7.37662 10 6 2.35725 10 5 5.79289 10 5
Tablo 2. DSW denklem sisteminin u25(x; t) analitik çözümü ile HPM ile elde
edilen yakla¸s¬k çözümünün kar¸s¬la¸st¬r¬lmas¬
ju(x; t) Y4(x; t)j t x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 5.14014 10 6 1.71351 10 4 1.34796 10 3 5.84989 10 3 1.82736 10 2 0.2 2.11921 10 6 7.58932 10 5 6.38226 10 4 2.94856 10 3 9.76937 10 3 0.3 3.63999 10 7 6.15542 10 6 1.51325 10 6 1.97637 10 4 1.26043 10 3 0.4 1.61998 10 6 4.96841 10 5 3.57517 10 4 1.40828 10 3 3.9512 10 3 0.5 1.84 10 6 5.9035 10 5 4.47478 10 4 1.87261 10 3 5.64205 10 3
Tablo 3. DSW denklem sisteminin w25(x; t) analitik çözümü ile HPM ile elde
edilen yakla¸s¬k çözümünün kar¸s¬la¸st¬r¬lmas¬
jw(x; t) Z4(x; t)j t x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 7.89991 10 8 2.0407 10 6 1.15759 10 5 3.15006 10 5 4.17026 10 5 0.2 2.00499 10 7 6.19242 10 6 4.50302 10 5 1.80119 10 4 5.16626 10 4 0.3 2.26713 10 7 7.26351 10 6 5.50056 10 5 2.30152 10 4 6.94086 10 4 0.4 1.90208 10 7 6.22154 10 6 4.81729 10 5 2.06413 10 4 6.38524 10 4 0.5 1.30321 10 7 4.33465 10 6 3.41597 10 5 1.49108 10 4 4.70336 10 4
Tablo 4. Hirota Satsuma denklem sisteminin u25(x; t)analitik çözümü ile HPM
ile elde edilen yakla¸s¬k çözümünün kar¸s¬la¸st¬r¬lmas¬ ju(x; t) Y4(x; t)j t x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 1.92535 10 12 6.14997 10 11 4.66131 10 10 1.96049 10 9 5.97121 10 9 0.2 1.71935 10 12 5.48585 10 11 4.1535 10 10 1.74505 10 9 5.3094 10 9 0.3 1.45539 10 12 4.6377 10 11 3.50722 10 10 1.47179 10 9 4.47273 10 9 0.4 1.15769 10 12 3.68436 10 11 2.78228 10 10 1.1659 10 9 3.53803 10 9 0.5 8.49987 10 13 2.6994 10 11 2.03439 10 10 8.50786 10 10 2.57657 10 9
Tablo 5. Hirota Satsuma denklem sisteminin w25(x; t)analitik çözümü ile HPM
ile elde edilen yakla¸s¬k çözümün kar¸s¬la¸st¬r¬lmas¬
jw(x; t) Z4(x; t)j t x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 4.45755 10 14 1.36369 10 12 9.87166 10 12 3.95649 10 11 1.14555 10 10 0.2 4.67959 10 14 1.55448 10 12 1.22355 10 11 5.33673 10 11 1.68349 10 10 0.3 1.26232 10 13 4.09134 10 12 3.14324 10 11 1.33976 10 10 4.1347 10 10 0.4 1.91847 10 13 6.17473 10 12 4.71769 10 11 2.00004 10 10 6.13992 10 10 0.5 2.41973 10 13 7.77056 10 12 5.92175 10 11 2.50415 10 10 7.66833 10 10
Yukar¬daki tablolarda HPM kullan¬larak n. mertebeden yakla¸s¬k çözümün hata analizi için, Yn(x; t) = n X j=0 Yj; Zn(x; t) = n X j=0 Zj:
e¸sitlikleri kullan¬lm¬¸st¬r.
Kaup–Kupershmidt denkleminin, DSW denklem sisteminin ve Hirota-Satsuma denklem sisteminin HPM ile elde edilen say¬sal sonuçlar¬n¬n analitik çözüm ile kar¸s¬la¸s- t¬r¬lmas¬ Tablo 1-5 de verilmi¸stir. Bu tablolarda görüldü¼gü gibi seri çözümlerinin sadece be¸s terimi göz önüne al¬narak analitik çözüme yak¬n de¼gerler elde edilmi¸stir. Ayr¬ca ¸Sekil 26 da, HPM ile elde edilen seri çözümlerin gerçek çözüme yak¬n de¼gerler ald¬¼g¬görülmektedir.
6. BÖLÜM SONUÇ
Lineer veya lineer olmayan adi ve k¬smi türevli diferensiyel denklemlerin analitik çözümleri bu denklemlerin modelledi¼gi olaylar¬n özelliklerini belirledi¼ginden uygula- mal¬matematik alan¬nda önemli bir yere sahiptir. Bu nedenle özellikle uygulamal¬ matematik alan¬nda çal¬¸san bilim adamlar¬ bu denklemlerin hareket eden dalga çözümleri üzerine çal¬¸sm¬¸slar ve bu çözümleri elde edebilmek için birçok analitik metot geli¸stirmi¸slerdir. Bu metotlardan üçü bu çal¬¸smada üçüncü bölümde incelen- mi¸stir. ·Incelenen metotlar¬n i¸sleyi¸si dengeleme terimine dayand¬¼g¬için sadece lineer olmayan k¬smi diferensiyel denklemlere uygulanabilir. Bu metotlarda dengeleme te- rimi kullan¬larak olu¸sturulan bir de¼gi¸sken dönü¸sümü alt¬nda ele al¬nan k¬smi diferen- siyel denklem adi bir diferensiyel denkleme dönü¸stürülmü¸s, daha sonra bu adi difer- ensiyel denklem çözülerek k¬smi diferensiyel denklemin analitik çözümüne ula¸s¬lm¬¸st¬r. Bu metotlar¬n birbirlerinden farkl¬olan taraf¬seçilen Riccati diferensiyel denklemi- nin ve dolay¬s¬yla kullan¬lan çözüm fonksiyonunun farkl¬olmas¬d¬r.
Dördüncü bölümde geni¸sletilmi¸s tanh metodu, genelle¸stirilmi¸s tanh metodu ve genelle¸stirilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodu kullan¬larak Kaup–Kupershmidt denklemi, Drinfeld-Sokolov-Wilson denklem sistemi ve Hirota-Satsuma denklem sis- teminin hareket eden dalga çözümleri elde edilmi¸stir. Dalgalar¬n hareketlerini in- celeyebilmek için baz¬ çözümlerin belli zaman aral¬klar¬nda iki boyutlu gra…kleri çizilmi¸stir. Dalgalar¬n hangi yönde hareket etti¼gini belirleyebilmek için animasyon gra…klerinden faydalan¬lm¬¸st¬r. Yap¬lan literatür taramas¬nda DSW denklem sis- teminin Riccati denklemi dönü¸süm metodu kullan¬larak daha önce çözümlerinin bu- lundu¼gu ancak di¼ger çözümlerinin bu çal¬¸sma ile elde edilen yeni çözümler oldu¼gu görülmü¸stür [43]. Benzer ¸sekilde Kaup–Kupershmidt denkleminin, Hirota-Satsuma denklem sisteminin, Benjamin-Bona-Mahony denkleminin ve be¸sinci mertebeden Lax KdV denkleminin bu çal¬¸smada kullan¬lan metotlarla daha önce çözümlerinin
elde edilmedi¼gi ve bu denklemlerin ba¸ska metotlarla bulunan çözümlerinin burada bulunan çözümlerden farkl¬ oldu¼gu görülmü¸stür. Bu nedenle bu yeni çözümler bu çal¬¸sma ile literatüre kazand¬r¬lm¬¸st¬r. Ayr¬ca bu çal¬¸sman¬n 4.2, 4.3.1 ve 4.3.3 bölümleri yay¬nlanm¬¸st¬r [44-45].
·
Incelenen denklemlerin bu üç metotla elde edilen çözümlerinin birbiriyle ili¸skisini görebilmek için seçilen Riccati diferensiyel denkleminde sabitlere belirli de¼gerler ver- ilerek incelemeler yap¬lm¬¸st¬r. Geni¸sletilmi¸s tanh metodu ile Genelle¸stirilmi¸s tanh metodundan elde edilen çözümleri inceleyebilmek için Genelle¸stirilmi¸s tanh meto- dunda B = 0 ve C = 1 al¬narak elde edilen çözümler Geni¸sletilmi¸s tanh metodunda bulunan çözümlerle kar¸s¬la¸st¬r¬lm¬¸st¬r.Geni¸sletilmi¸s tanh metodu ile Genelle¸stirilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodundan elde edilen çözümleri inceleyebilmek için Geni¸sletilmi¸s tanh metodunda B = 0 ve C = 1 oldu¼gundan A < 0 iken elde edilen çözümler Genelle¸stirilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodunda 1:tipte elde edilen çözümlerle, A > 0 iken elde edilen çözümler Genelle¸stirilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodunda 2:tipte elde edilen çözümlerle, A = 0 iken elde edilen çözümler Genelle¸stirilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodunda 4:tipte elde edilen çözümle kar¸s¬la¸st¬r¬lm¬¸st¬r. Benzer ¸sekilde Genelle¸stirilmi¸s tanh metodu ile Genelle¸stirilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodundan elde edilen çözümleri inceleyebilmek için Genelle¸stirilmi¸s tanh metodunda A = C = 1; B = 0; A = C = 1; B = 0; A = C = 12; B = 0; A = C = 12; B = 0; A = 1; C = 2; B = 2; A = 1; C = 2; B = 2; A = 1; C = 2; B = 2ve A = 1; C = 2; B = 2 durumlar¬Genelle¸stir- ilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodunda 2:tipte elde edilen çözümlerle, A = 1; C = 1; B = 0 ve A = 12; C = 12; B = 0 durumlar¬Genelle¸stirilmi¸s Riccati den- klemi dönü¸süm metodunda 1:tipte elde edilen çözümlerle, A = B = 0; C 6= 0 durumu Genelle¸stirilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodunda 4:tipte elde edilen çözümlerle kar¸s¬la¸st¬r¬lm¬¸st¬r. Bu ¸sekilde olabilecek bütün durumlar incelenmi¸s olup çözümlerin birbirlerinden farkl¬oldu¼gu görülmü¸stür. Bu üç metot, bulunan çözüm say¬s¬yla da
farkl¬l¬k göstermektedir.En fazla çözüm Genelle¸stirilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodundan elde edilmi¸s olup bu durum bu metodun avantaj¬olarak gösterilebilir. Baz¬ lineer olmayan k¬smi diferensiyel denklemlerin çözümleri analitik olarak elde edilemeyebilir. Bu durumda dördüncü bölümde verilen ve yar¬analitik metot- lar olarak bilinen HPM gibi seri çözüm bulma esas¬na dayanan metotlar yard¬m¬yla bu denklemlerin yakla¸s¬k çözümüne ula¸s¬lm¬¸st¬r [46]. Bu seri çözüm aran¬rken bir ba¸slang¬ç ¸sart¬ndan hareketle serinin di¼ger terimleri bulunmu¸stur. Bu nedenle bu bölümde bu denklemlerin genelle¸stirilmi¸s Riccati denklemi dönü¸süm metodundan elde edilen analitik çözümlerinden herhangi biri al¬narak t = 0 ba¸slang¬ç ¸sart¬ al- t¬nda HPM uygulanm¬¸s ve yakla¸s¬k çözümleri bulunmu¸stur. ·Incelenen problemin seri çözümünde ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenlere belirli bir aral¬kta verilen de¼gerlerden elde edilen say¬sal sonuçlar ile analitik çözümü aras¬ndaki fark¬n mutlak de¼gerine bak¬larak çözümlerin kar¸s¬la¸st¬r¬lmas¬ yap¬labilir. Bu nedenle be¸sinci bölümde elde edilen analitik çözümleri ile yakla¸s¬k çözümleri kar¸s¬la¸st¬rmak amac¬yla üç boyutlu ve iki boyutlu gra…kler olu¸sturulmu¸s, mutlak hatalar¬n¬görebilmek için tablolar çizilmi¸stir. Tablolara bak¬ld¬¼g¬nda mutlak hatan¬n s¬f¬ra oldukça yak¬n de¼gerler alarak yakla¸s¬k çözümün analitik çözüme yakla¸st¬¼g¬görülmü¸stür.
KAYNAKLAR
[1] K¬l¬çkaya, M.S., 1996. Temel Fizik, T.C. Anadolu Üniversitesi Yay¬nlar¬ No: 674 (331).
[2] Parker, A., 2000. On soliton solutions of the Kaup–Kupershmidt equation.I. Direct bilinearisation and solitary wave, Physica D, 137, 25–33.
[3] Hereman, W., Nuseir, A., 1997. Symbolic methods to construct exact solutions of nonlinear partial di¤erential equations, Math. Comput. Sim., 43, 13-27. [4] Musette, M., Verhoeven, C., 2000. Nonlinear superposition formula for the Kaup–Kupershmidt partial di¤erential equation, Physica D 144, 211-220.
[5] Parker, A., 2000. On soliton solutions of the Kaup–Kupershmidt equation. II. ‘Anomalous’N-soliton solutions, Physica D 137, 34-48.
[6] Golbabai, A., Kheiri, H., 2011. Homotopy Analysis and Pad´e Methods for Solving Two Nonlinear Equations, Journal of Mathematical Extension, 5 (2), 123-139
[7] Inc, M., Fendoglu, E., Triki, H. Biswas, A., 2014. Compactons and topological solitons of the Drinfel’d–Sokolov system, Nonlinear Analysis: Modelling and Control, 19(2), 209–224
[8] Xian-Guo, G., Li-Hua, W., 2010. Darboux Transformation and Explicit Solutions for Drinfel’d–Sokolov–Wilson Equation, Commun. Theor. Phys. (Beijing, China) 53, 1090–1096.
[9] Zhang, W.M., 2011. Solitary Solutions and Singular Periodic Solutions of the Drinfeld-Sokolov-Wilson Equation by Variational Approach, Applied Mathemat- ical Sciences, 38 (5), 1887-1894
[10] Alibeiki, E., Neyrameh, A., 2011. Application of Homotopy Perturba- tion Method to Nonlinear Drinfeld-Sokolov-Wilson Equation, Middle-East Journal of Scienti…c Research 10 (4), 440-443.
Drinfel’d–Sokolov–Wilson equation by the decomposition method, Applied Mathe- matics and Computation, 172 (1), 421-430.
[12] Mohammad, A.A., Can, M., 1996. Painleve Analysis and Symmetries of the Hirota–Satsuma Equation, Nonlinear Mathematical Physics, 3 (1-2), 152-155. [13] Inan, I.E., Ugurlu, Y., Duran, S., 2011. Solutions of Some Nonlinear Equations by a Direct Algebraic Method, Selçuk J. Appl. Math. 12(1), 19-30.
[14] Estevez, P.G., Kuru, S., Negro, J. Nieto, L.M., (2009). Travelling wave solutions of the generalized Benjamin–Bona–Mahony equation, Chaos, Solitons and Fractals 40, 2031-2040.
[15] Alo…, A.S., 2012. Extended Jacobi Elliptic Function Expansion Method for Nonlinear Benjamin-Bona-Mahony Equations, International Mathematical Forum, 53 (7), 2639-2649
[16] Ghasemia, M., Fardib, M., Kajanic, M.T., Ghaziania, R.K., 2011. Numerical solution of fth order KdV equations by homotopy perturbation method, Mathematical Sciences, 5(2), 169-181.
[17] Ross, S.L., 1984. Di¤erential Equations, J. Willey, New York.
[18] Koca, K., 2001. K¬smi Türevli Denklemler, Gündüz E¼gitim ve Yay¬nc¬l¬k, Ankara.
[19] Duchateau, P., Zachmann, D.W., 1986. K¬smi Diferensiyel Denklemler, Nobel Yay¬nc¬l¬k, (Çeviri).
[20] Myint-U, T., Debnath, L., 2007. Linear Partial Di¤erential Equations for Scientists and Engineers, Birkhauser Boston.
[21] Ba¸skan, T., 2000. Kompleks Fonksiyonlar Teorisi, Vipa¸s Yay¬nc¬l¬k. [22] Fan, E., Zhang, H., 1998. A note on the homogeneous balance method, Physics Letters A 246, 403-406.
[23] Mal‡iet, W., 1992. Solitary Wave Solutions of Nonlinear Wave Equations, American Journal of Physics, 60 (7), 650-654.
[24] Wazwaz, A.M., 2005. The tanh method: solitons and periodic solutions for the Dodd–Bullough–Mikhailov and the Tzitzeica–Dodd–Bullough equations, Chaos, Solitons and Fractals 25, 55-63.
[25] Wazwaz, A.M., 2007. New solitary wave solutions to the modi…ed Kawa- hara equation, Physics Letters A 360, 588-592.
[26] Zhang, W., 2010. The Extended Tanh Method and the Exp-Function Method to Solve a Kind of Nonlinear Heat Equation, Mathematical Problems in Engineering, Article ID 935873.
[27] Wazwaz, A.M., 2006. Solitons and periodic solutions for the …fth-order KdV equation, Applied Mathematics Letters 19, 1162-1167.
[28] Fan, E., 2000. Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations, Physics Letters A, 277, 212-218.
[29] Taghizadeh, N., Neirameh, A., Shokooh, S., 2012. New Complex Solutions for Nonlinear Wave Equation with the Fifth Order Nonlinear Term and Foam Drainage Equation, Middle-East Journal of Scienti…c Research, 11(4), 450- 453.
[30] Taghizadeh, N., Mirzazadeh, M., 2012. The Modi…ed Extended Tanh Method with the Riccati Equation for Solving Nonlinear Partial Di¤erential Equa- tions, Mathematica Aeterna, 2(2), 145-153.
[31] Fan, E., Hon, Y.C., 2002. Generalized tanh Method Extended to Special Types of Nonlinear Equations, Z. Naturforsch. 57a, 692-700.
[32] Zhang, H., 2009. A direct algebraic method applied to obtain complex so- lutions of some nonlinear partial di¤erential equations, Chaos, Solitons and Fractals 39, 1020-1026.
[33] Chen, H., Zhang, H., 2004. New multiple soliton solutions to the general Burgers–Fisher equation and the Kuramoto–Sivashinsky equation, Chaos, Solitons and Fractals 19, 71-76.
[34] ·Inan, ·I.E., 2007. Exact solutions for coupled KdV equation and KdV equations, Physics Letters A 371, 90-95.
[35] Zhang, S., Tong, J.-L., Wang, W., 2008. A generalized (G/G’)-expansion method for the mKdV equation with variable coe¢ cients, Physics Letters A 372, 2254-2257.
[36] Abazari, R., 2011. The solitary wave solutions of zoomeron equation, Applied Mathematical Sciences 5 (59), 2943-2949.
[37] Naher, H., Abdullah, F.A., Mohyud-Din, S.T., 2013. Extended gener- alized Riccati equation mapping method for the …fth-order Sawada-Kotera equation, AIP Advances 3, 052104; doi: 10.1063/1.4804433.
[38] Zhu, S-D., 2008. The generalizing Riccati equation mapping method in non-linear evolution equation: application to (2 + 1)-dimensional Boiti–Leon– Pempinelle equation, Chaos, Solitons and Fractals 37, 1335–1342.
[39] Kolebaje, O.T., Akinyemi, P., Obende, M., 2013. Travelling wave so- lutions of the generalized Zakharov-Kuznetsov equation via the extended generalized Riccati equation mapping method, International Journal of Advanced Mathematical Sciences 1 (1), 1-7.
[40] He, J.H., 1999. Homotopy perturbation technique, Computer Methods in Applied mechanics and engineering. 178 (3), 257-262.
[41] He, J.H., 2003. Homotopy perturbation method: a new nonlinear analyti- cal technique, Applied Mathematics and Computation, 135, 73-79.
[42] Bulut, H., 2009. Comparing Numerical Methods for Boussinesq Equation Model Problem, Numerical Methods for Partial Di¤erential Equations, 25 (4), 783- 796.
[43] Akbar, M.A., Ali, N.H.M., Mohyud-Din, S.T., 2013. The modi…ed alternative (G’/G)-expansion method to nonlinear evolution equation: application to the (1+1)-dimensional Drinfel’d-Sokolov-Wilson equation, Springer Plus, 2 (1),
327.
[44] Körp¬nar, Z.S., Tuz, M., 2013. Generalized tanh method extended with the Riccati equation for solving the some of nonlinear equations, Life Science Jour- nal, 10(3), 830-838.
[45] Körp¬nar, Z.S., Tuz, M., 2014. Generalized tanh method extended with the Riccati equation for solving the special types of nonlinear equations, Prespace- time Journal, 5(9), 852-866.
[46] Körp¬nar, Z.S., Kaya, D., Ugurlu, Y., 2014. Three Semi-Analytical Methods for Ninth-Order Korteweg-de Vries Equation, Prespacetime Journal, 5(10), 959-975.
ÖZGEÇM·I¸S
1982 y¬l¬nda Elaz¬¼g’da do¼gdum. ·Ilk ve orta ö¼grenimimi Elaz¬¼g’da tamamlad¬m. 2005 y¬l¬nda F¬rat Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünden mezun oldum. 2007 y¬l¬nda Milli E¼gitim Bakanl¬¼g¬nca Matematik ö¼gretmeni olarak atand¬m. Ayn¬y¬l F¬rat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsünün açm¬¸s oldu¼gu Matematik Ana- bilim Dal¬n¬n Uygulamal¬Matematik program¬nda tezli yüksek lisansa ba¸slad¬m ve 2010 y¬l¬nda mezun oldum. 2010 y¬l¬nda F¬rat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitü- sünün açm¬¸s oldu¼gu Matematik Anabilim Dal¬n¬n Uygulamal¬Matematik program¬nda doktoraya ba¸slad¬m. ¸Su anda Mu¸s Anadolu Lisesinde Matematik ö¼gretmeni olarak çal¬¸smaktay¬m.