No setor da construção civil, devem ser feitas as análises de não linearidades principalmente em estruturas de grande porte, como por exemplo, a construção de edifícios de grandes alturas e pontes de grandes vãos.
A não linearidade pode ser tanto física quanto geométrica. De acordo com Martins (1997), o comportamento não linear físico está relacionado à resposta do material quando solicitado e que permite a análise da distribuição de tensões ao longo da estrutura e seção transversal. A não linearidade geométrica, conhecida também por efeito de segunda ordem, é produzida pela mudança da geometria, gerada pelas deformações, que causam excentricidades em relação à posição inicial.
A análise não linear é uma ferramenta essencial na determinação do comportamento estrutural que mais se aproxima do real, uma vez que permite levar em conta as deformações de 2ª ordem (não linearidade geométrica) e leis constitutivas não lineares (não linearidade física) dos materiais envolvidos.
Segundo Azevedo (1985), a não linearidade geométrica é considerada quando:
Para análise de grandes deformações com variações da geometria da estrutura, influenciada pelo incremento de forças que lhe é imposta. Dessa forma a relação tensão × deformação configura um comportamento não linear que é resolvido por meio de iterações;
No estudo da instabilidade de estruturas, onde se considera as deformações de 2ª ordem e pretende-se determinar o fator de carga.
Na Seção15 da ABNT NBR 6118:2007 estão descritos os efeitos de segunda ordem e de instabilidade de estruturas de concreto armado constituídas de barras submetidas à flexão composta. Têm como princípios de cálculo, a consideração da não linearidade física nas estruturas de concreto armado e a deformabilidade de seus elementos, calculadas com base nos diagramas tensão-deformação.
A perda de estabilidade de estruturas, que possuem material de comportamento não linear, pode ocorrer quando ao crescer a intensidade do carregamento, o aumento da capacidade resistente da estrutura se torna menor do que o aumento da solicitação. A seguir são apresentadas as leis constitutivas não lineares dos materiais aço e concreto aplicadas nas modelagens numéricas desenvolvidas neste trabalho.
4.3.1 Não linearidade física
De acordo com Faglioni (2006) vários pesquisadores têm trabalhado com o objetivo de aprimorar modelos que tratam de não linearidade física. Devido à complexidade da sua fundamentação teórica, o estudo do comportamento não linear físico ainda é pouco empregado no meio técnico, sendo mais frequente na modelagem.
4.3.2 Comportamento não linear físico do aço
Para introduzir a não linearidade física de um material, deve-se idealizar o comportamento do material, por meio da utilização de modelos matemáticos que permitam a simulação da relação tensão × deformação real.
Nos materiais constituídos de aço tratados a quente têm-se o diagrama tensão × deformação apresentado na Figura 4.1. Este diagrama é composto de três regiões: elástica, elastoplástica e plástica. Esses tipos de aço possuem a característica de apresentarem uma melhor trabalhabilidade, aceitam serem soldados e resistem a incêndios moderados.
Figura 4.1 – Diagrama tensão-deformação do aço tratado a quente
Fonte: Faglioni (2006)
Conforme se pode observar pelo diagrama mostrado na Figura 4.1, a Lei de Hooke (σ = E·ε) é válida até o nível da tensão de escoamento σy, onde a relação tensão ×
deformação é linear. Quando a tensão de escoamento σy é ultrapassada, o valor do
módulo de deformação longitudinal do aço E se difere do valor inicial e com isso a
Elástica
Elasto
Plástica Plástica
inclinação da curva tensão × deformação começa a diminuir progressivamente, até ser atingida a tensão limite de resistência σst. Assim, ao descarregar a barra de aço, esta não
apresentará o valor do comprimento inicial L, indicando a presença de deformações residuais.
Segundo Faglioni (2006), para análise da tensão × deformação real, destaca-se o modelo elastoplástico com endurecimento linear do aço (Figura 4.2). Este modelo caracteriza o comportamento não linear físico por meio de uma simplificação de diagrama bilinear.
Figura 4.2 – Diagrama tensão-deformação do modelo elastoplástico com endurecimento linear do aço
Fonte: Faglioni (2006)
Assim, o módulo de deformação longitudinal E pode ser substituído pelo módulo tangente Et. Esse módulo Et é menor que o módulo longitudinal E, uma vez que a inclinação da curva tensão × deformação diminui após ser atingida a tensão de escoamento. As seguintes equações podem ser aplicadas no modelo elastoplástico:
σ < σy E (4.1) σ ≥ σy t y y E E (4.2)
De acordo com Faglioni (2006), esse modelo é perfeitamente compatível com a relação tensão × deformação dos aços tratados a quente.
4.3.3 Comportamento não linear físico do concreto
A simulação matemática para análise do comportamento do concreto é feito pela relação entre tensões e deformações com a realização de uma série de experimentos simples.
Dessa maneira, procura-se compreender como ocorre a ruptura da superfície de concreto. Alguns dos critérios de ruptura encontrados na literatura podem ser citados: critério de Mohr-Coloumb, critério de Von Mises e critério de Tresca.
De acordo com Faglioni (2006), o processo de microfissuração interna do concreto torna a fissuração irreversível. Este processo ocorre principalmente na zona de transição entre a pasta de cimento e o agregado graúdo e é responsável pela diminuição da rigidez estrutural. Quando o concreto é submetido a compressão axial até a ruptura, a microfissuração se transforma em macrofissuração distinguindo-se quatro fases.
A microfissuração formada reduz o módulo de elasticidade e a partir desse ponto as fissurações se tornam irreversíveis. Com o aumento gradual do carregamento e perda do módulo de elasticidade, Faglioni (2006) apresentou um gráfico da relação tensão normal × deformação com diminuição da rigidez por fases (Figura 4.3).
Figura 4.3 – Diminuição da rigidez por fases
Fonte: Faglioni (2006)
Essas fases são obtidas pela relação entre a tensão e a resistência à compressão do concreto cujas faixas de valores estão representadas pelo diagrama tensão × deformação axial (Figura 4.4).
Quando a relação entre a tensão e a resistência à compressão do concreto equivale a 0,3 a redução da rigidez corresponde à fase I. À medida que se intensifica o valor dessa relação ocorrerá à diminuição da rigidez e aumento da deformação axial.
Figura 4.4 – Curva típica tensão × deformação axial para ensaio de compressão uniaxial
Fonte: Faglioni (2006)