6.9 [a; b] aral¬¼ g¬üzerinde Fourier serisi
6.10 Maxima ile Gibbs olay¬
6.10.1 Gibbs Olay¬
Yukar¬daki ¸sekilde ve bu bölümdeki örneklerde Fourier serisi k¬smi toplam-lar gra…¼ginde gözlemledi¼gimiz süreksizlik noktalar¬ kom¸sulu¼gunda fonksi-yon de¼gerinden yukar¬veya a¸sa¼g¬do¼gru olu¸san s¬çramalar Fourier serilerinin genelde görülen bir olayd¬r ve Gibbs olay¬ olarak bilinir. J.W. Gibbs taraf¬n-dan 1899 [4] y¬l¬nda vurgulanan bu özelli¼gi bu alt bölümde baz¬örnekler üz-erinde inceliyoruz.
Örnek 6.3 de verilen fonksiyonun Fouirer seri aç¬l¬m¬n¬n [ 3; 1]aral¬¼ g¬n-daki yak¬nsakl¬¼g¬n¬yak¬ndan inceleyelim: A¸sa¼g¬daki tablonun
birinci sütununda k¬smi toplamda kullan¬lan N de¼geri verilmektedir.
ikinci sütununda N nin farkl¬ de¼gerleri için x = 3 noktas¬n¬ sol uç nokta kabul eden ( 3; 2:9) kom¸sulu¼gunda minimum fN de¼gerleri verilmektedir.
üçüncü sütununda ise elde edilen minimum de¼gerlerin, bu kom¸suluktaki fonksiyon de¼gerininden yüzdelik dü¸sü¸s miktar¬verilmektedir.
dördüncü sütununda N nin farkl¬de¼gerleri için x = 1 noktas¬n¬sa¼g uç nokta kabul eden ( 1:1; 1)kom¸sulu¼gunda maksimum fN de¼gerleri verilmektedir.
tablonun son sütununda ise elde edilen maksimum de¼gerlerin, bu kom¸ su-luktaki fonksiyon de¼gerininden yukar¬do¼gru yüzdelik s¬çrama miktar¬
verilmektedir.
N min(fN) dü¸sü¸s(%) max(fN) s¬çrama(%)
x2 ( 3; 2:9) x2 ( 1:1; 1)
10 0:08664 0:0433 2:08669 0:0433
20 0:131 0:065 5 2:131 0:065 5
50 0:1578 0:078 9 2:159 0:0795
100 0:1685 0:084 25 2:1681 0:084 05
200 0:17335 0:08675 2:1675 0:08375
Tablodan N in artan de¼geleri için süreksizlik nokta kom¸suluklar¬nda Fourier k¬smi toplam¬n¬n fonksiyon de¼gerini maximum nokta kom¸sulu¼gunda yak-la¸s¬k olarak %0:09 kadar ani s¬çramalar ile a¸st¬¼g¬n¬ gözlemliyoruz. Benzer
K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r
¸
Sekil 6.16: Örnek 6.3 için x = 3 noktas¬ kom¸sulu¼gunda N = 100 için Fourier k¬smi toplam¬.
biçimde minimum nokta kom¸sulu¼gunda ise Fourier k¬smi toplam¬n¬n benzer davran¬¸sla ve fonksiyon de¼gerinden benzer oranlarda dü¸sü¸s de¼gerler ald¬¼g¬n¬
gözlemliyoruz.
N = 100 için Örnek 6.3 e ait f100 k¬smi toplam¬n¬n x = 3noktas¬sa¼g kom¸sulu¼gundaki gra…¼gi ¸Sekil 6.16 ile verilmektedir.
N = 100 için Örnek 6.3 e ait f100 k¬smi toplam¬n¬n x = 1 noktas¬sol kom¸sulu¼gundaki gra…¼gi ¸Sekil 6.17 ile verilmektedir.
Benzer durum, uç noktalarda periyodik geni¸sleme sonucu olu¸san sürek-sizlik noktalar¬nda de¼gil, ayn¬ zamanda göz önüne al¬nan aral¬kta mevcut sürekiszlik noktalar¬nda da geli¸sebilir. Bu amaçlar Örnek 6.5 ye x = 0 nok-tas¬kom¸sulu¼gunda yak¬ndan bakal¬m. ¸Sekil 6.18 ve 6.19 ile s¬ras¬yla Örnek 6.5 ye ait Fourier k¬smi toplam¬n¬n N = 50 için s¬f¬r noktas¬n¬n sol ve sa¼g kom¸sulu¼gundaki davran¬¸s¬gösterilmektedir.
Her iki örnekte de, süreksizlik noktas¬ kom¸sulu¼gunda Fourier k¬smi toplam¬ile fonksiyon de¼gerinde yakla¸s¬k olarak %0:09 kadar bir sapma gerçekle¸smektedir. Bu olay Gibbs olay¬ olarak bilinir.
Süreksizlik noktas¬ kom¸sulu¼gunda genellikle gerçekle¸sen bu olay, her zaman gerçekle¸smez.
K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr
Fourier isimli maxima bloku ile Gibbs olay¬n¬n her süreksizlik nokta kom¸ su-lu¼gunda gerçekle¸smeyebilece¼gine ait a¸sa¼g¬daki örnek üzerinde gözlemleyelim:
ÖRNEK 6.10.
f (x) = 1=10x + x2; x2 [ 1; 1]
f periyodik ve periyodu p = 2 fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬ belir-leyiniz
g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.20 ile verilmektedir.
N = 50 için 2 periyotlu f fonksiyonu ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3]
aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.21 ile verilmektedir.
ÖRNEK 6.11.
f (x) = 1=5x + x2; x2 [ 1; 1]
f periyodik ve periyodu p = 2 fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬ belir-leyiniz aral¬-g¬nda çizilen gra…¼¼ gi ¸Sekil 6.22 ile verilmektedir.
N = 50 için 2 periyotlu f fonksiyonu ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3]
aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.23 ile verilmektedir.
Ancak f fonksiyonunda yapaca¼g¬m¬z ufak bir de¼gi¸siklikle Gibbs olay¬n¬
yine gözlemleyebiliriz:
K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr
ÖRNEK 6.12.
f (x) = x + x2; x2 [ 1; 1]
f periyodik ve periyodu p = 2 fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬ belir-leyiniz
a0 = 2 3; an = 4( 1)n
n2 2 ;
bn = 2(n2 2 1)( 1)n n3 3
2( 1)n n3 3
N = 5 için 2 periyotlu f fonksiyonu ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3]
aral¬-¼
g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.24 ile verilmektedir.
N = 50 için 2 periyotlu f fonksiyonu ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3]
aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.25 ile verilmektedir.
Süreksizlik noktas¬kom¸sulu¼gundaki s¬çramalara ve dolay¬s¬yla da bu örnekte de olu¸san Gibbs olay¬na dikkat edelim.
Al¬¸st¬rmalar 6.3.
1. (6.36) ile verilen fonksiyonlar kümesinin b > 0 olmak üzere [ b; b] ara-l¬¼g¬nda ortogonal oldu¼gunu gösteriniz.
2. (6.38) ba¼g¬nt¬lar¬n¬n do¼grulu¼gunu kontrol ediniz.
3. A¸sa¼g¬da verilen periyodik fonksiyonlar¬n belirtilen aral¬klardaki Fourier seri aç¬l¬mlar¬n¬ belirleyiniz. Fonksiyonun tek veya çiftli¼gini kontrol ederek, sadece gerekli katsay¬lar¬hesaplay¬n¬z.
(a) f (x) = x; [ 2; 2]
(b) f (x) = jxj; 12;12
(c) f (x) = 1 2 < x < 0 1 0 < x < 2 (d) f (x) = x 1 2 < x < 0
x 0 < x < 2
K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr
4. Soru 3(a) için elde etti¼giniz Fourier serisinin x = 2; 1; 0; 1; 2 nokta-lar¬nda yak¬nsad¬¼g¬de¼gerleri ilgili teorem yard¬m¬yla belirleyiniz.
5. Soru 3(a) için elde etti¼giniz Fourier serisinin gra…¼gini [ 6; 6] aral¬¼g¬nda çiziniz. Bunun için ilgili yak¬nsakl¬k teoremini dikkate al¬n¬z.
6. (6.42) ba¼g¬nt¬lar¬n¬n do¼grulu¼gunu kontrol ediniz.
7. A¸sa¼g¬da verilen ve belirtilen aral¬klar üzerinde periyodik olarak tan¬m-lanan fonksiyonlar¬n belirtilen aral¬klardaki Fourier kosinüs seri aç¬l¬m-lar¬n¬belirleyiniz.
(a) f (x) = x; [0; 2]
(b) f (x) = 1 x; [0; 2]
(c) f (x) = 1 0 < x < 1 2 1 < x < 2
8. Soru 7(a) için elde etti¼giniz Fourier serisinin x = 2; 1; 0; 1; 2 nokta-lar¬nda yak¬nsad¬¼g¬de¼gerleri ilgili teorem yard¬m¬yla belirleyiniz.
9. Soru 7(a) için elde etti¼giniz Fourier serisinin gra…¼gini [ 4; 4] aral¬¼g¬nda çiziniz. Bunun için ilgili yak¬nsakl¬k teoremini dikkate al¬n¬z.
10. Soru 5 te verilen fonksiyonlar¬n Fourier sinüs aç¬l¬mlar¬n¬hesaplay¬n¬z.
11. (6.42) ba¼g¬nt¬s¬n¬n do¼grulu¼gunu kontrol ediniz.
12. (6.51) ile verilen fonksiyonlar kümesinin [a; b] aral¬¼g¬üzerinde ortogonal oldu¼gunu gösteriniz.
13. (6.52) ba¼g¬nt¬s¬n¬n do¼grulu¼gunu kontrol ediniz.
14. A¸sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n belirtilen aral¬k üzerindeki Fourier seri aç¬l¬mlar¬n¬hesaplay¬n¬z.
(a) f (x) = x; [ 1; 2]
(b) f (x) = 1 x; [ 1; 3]
(c) f (x) = 1 1 < x < 1 2 1 < x < 2
K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr
15. Soru 3(a) için elde etti¼giniz Fourier serisinin x = 2; 1; 0; 1; 2 nokta-lar¬nda yak¬nsad¬¼g¬de¼gerleri ilgili teorem yard¬m¬yla belirleyiniz.
16. Soru 3(a) için elde etti¼giniz Fourier serisinin gra…¼gini [ 4; 5] aral¬¼g¬nda çiziniz. Bunun için ilgili yak¬nsakl¬k teoremini dikkate al¬n¬z.
17. Yukar¬da verilen fourier isimli Maxima program¬yard¬m¬yla bu bölümde elde etti¼giniz Fourier serileri ve gra…klerini kontrol ediniz.
K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr
¸
Sekil 6.17: Örnek 6.3 için x=-1 noktas¬ kom¸sulu¼gunda N=100 için Fourier k¬smi toplam¬.
¸
Sekil 6.18: Örnek 6.5 için N = 50 ile elde edilen Fourier k¬smi toplam¬n¬n x = 0 noktas¬sol kom¸sulu¼gundaki sal¬n¬m¬.
K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r
¸
Sekil 6.19: Örnek 6.5 için N = 50 ile elde edilen Fourier k¬smi toplam¬n¬n x = 0 noktas¬sa¼g kom¸sulu¼gundaki sal¬n¬m¬.
¸
Sekil 6.20: Örnek 6.10 ile verilen fonksiyonun ve Fourier serisi k¬smi toplam(N = 5) gra…¼gi
K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr
¸
Sekil 6.21: Örnek 6.10 ile verilen fonksiyonun ve Fourier serisi k¬smi toplam(N = 50) gra…¼gi
¸
Sekil 6.22: Örnek 6.11 ile verilen fonksiyonun ve Fourier serisi k¬smi toplam(N = 5) gra…¼gi
K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r
¸
Sekil 6.23: Örnek 6.11 ile verilen 2 periyotlu f fonksiyonu ve fN k¬smi toplam¬n¬n(N = 50) [ 3; 3] aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi
¸
Sekil 6.24: Örnek 6.12 ile verilen 2 periyotlu f fonksiyonu ve fN (N = 5) k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3] aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi
K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr
¸
Sekil 6.25: Örnek 6.12 ile verilen 2 periyotlu f fonksiyonu ve fN (N = 50) k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3] aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi
K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r
[1] Duchateau, P., Zachmann D, Applied Partial Di¤erential Equations, Dover Pub., New York, 1989.
[2] Coleman, P. Matthew, An introduction to Partial Di¤erential Equations with MATLAB, Chapman& Hall/CRC, 2004.
[3] Andrews, L., Elementary Partial Di¤erential Equations with Boundary Value Problems, Academic press, 1989.
[4] Jerri, A.J., The Gibbs phenomenon in Fourier Analysis,Springer, 1998.
[5] Edwards, C. H, &Penney, D. E. (Ak¬n, Ö., çeviri editörü) Difrensiyel denklemler ve s¬n¬r-de¼ger problemleri,Palme yay¬nc¬l¬k, 2006.
[6] Co¸skun, E. Maxima ile Sembolik Hesaplama ve Kod-lama,URL:erhancoskun.com.tr
[7] MAXIMA, URL:maxima.sourceforge.net
K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r