1. GİRİŞ
Sabit nokta teori, diferansiyel denklemlerin, integral denklemlerin, kısmi diferansiyel denklemlerin ve diğer ilgili alanların varlık teorisinde çok kullanılmaktadır. Yine sabit nokta teori, sınır değer problemleri ve yaklaşım problemlerinde olduğu kadar özdeğer problemlerde de çok verimli uygulamalara sahiptir.
boş olmayan bir küme ve bir fonksiyon olsun. Eğer oluyorsa, noktasına nin bir sabit noktası denir. Yani, dönüşümü altında değişmeyen bir noktaya nin bir sabit noktası denir. Örneğin, olarak tanımlansın. olduğundan noktası nin bir sabit noktasıdır.
Analiz ve Fonksiyonel Analizde, ve tipindeki denkelmlerle sıkça karşılaşırız. Bu tür denklemleri çözmek başlı başına bir problemdir. Kimi tam sonucu kimi de yaklaşık sonucu veren bazı metotlar vardır. Sabit nokta teoride bu metotlardan biridir. Örneğin, şeklinde bir denklemi göz önüne alalım. ve bu denklemin birer köküdür. Bu denklem olarak
yazılabilir. O halde olmak üzere, bu denklem olarak yazılabilir.
Şu halde ve noktaları nin iki sabit noktasıdır. Bu yüzden, şeklindeki bir denklemin çözümünün bulunması problemi ile
verilen fonksiyonunun sabit noktasının bulunması problemi ile aynıdır.
Brouwer 1912 de aşağıdaki önemli sonucu ispatlamıştır.
2
“ , in kapalı birim yuvarı ve sürekli bir dönüşüm olsun. Bu durumda de bir sabit noktaya sahiptir”.
Reel eksende bu teoremin özel bir durumu şu şekildedir: “ sürekli bir dönüşüm ise nin bir sabit noktası vardır”. Bu sonucun ispatı Aradeğer Teoremi yardımıyla kolayca yapılabilir. Yukarıda bahsedilen problemlerin çoğu fonksiyon uzaylarında ortaya çıkmaktadır. Bu nedenle Brouwer‟ın teoreminin fonksiyon uzaylarına genişletilmesi düşünülmüştür. Ancak, Kakutani sonsuz boyutlu uzaylara teoremin bu hali ile genişletilemeyeceğini gösteren aşağıdaki örneği vermiştir.
, Hilbert uzayının kapalı birim yuvarı olsun.
dönüşümü, için
olarak tanımlansın. Bu durumda sürekli ve dir. Şimdi nin sabit noktaya sahip olduğunu kabul edelim ve bu sabit nokta olsun. O halde dir. Fakat
3
olduğundan bu , , … , , … veya olduğunu gösterir. Bu ise olması ile çelişir. O halde nin sabit noktası yoktur.
Bruouwer‟ın teoremi 1930 yılında Schauder tarafından sonsuz boyutlu uzaylara aşağıdaki şekilde genişletilmiştir.
“ bir Banach uzayı, in kompakt konveks bir alt kümesi ve sürekli bir dönüşüm olsun. O zaman nin de en az bir sabit noktası vardır”.
Burada üzerindeki kompaktlık şartı çok kuvvetlidir. Bu nedenle kompaktlık şartının hafifletilerek bu teoremin yenilenmesi düşünülmüştür. Böylece kompakt dönüşüm kavramı kullanılarak Schauder in bu teoremi yenilenmiştir. Bu teoremi ifade etmeden önce kompakt dönüşüm kavramını hatırlayalım.
“ bir dönüşüm olsun. Eğer sınırlı kümeleri prekompakt (kapanışı kompakt olan) kümelere dönüştüren sürekli bir dönüşüm ise ye tamamen sürekli kompakt dönüşüm denir. Bir kompakt dönüşüm daima süreklidir fakat bir sürekli dönüşüm kompakt olmayabilir. Aşağıdaki teorem Schauder Sabit Nokta Teoremi (ikinci versiyon) olarak bilinir.
“X bir Banach uzayı, C, X in kapalı, sınırlı ve konveks bir alt kümesi olsun.
kompakt bir dönüşüm ise, T nin C de en az bir sabit noktası vardır”.
Bu teorem, analizde denklemlerin nümerik işlemlerinde büyük öneme sahiptir.
4 1. 1. Kaynak özetleri
Metrik uzay, topolojik uzay ve fonksiyonel analiz ile ilgili temel kavramları için Koçak‟ın “Genel Topolojiye Giriş ve Çözümlü Alıştırmalar” adlı kitabı ile Soykan‟ın
“Fonksiyonel Analiz” adlı kitabı kullanılmıştır (1,2). Kısmi sıralama bağıntısı ve temel özellikleri ile ilgili kavramlar için Özer, Çöker ve Taş‟ın “Soyut Matematik”
adlı kitabı temel kaynak olmuştur (3). Kısmi sıralı kümeler üzerinde verilen Knaster-Tarski ve Knaster-Tarski sabit nokta teoremlerinin ispatı için Granas ve Dugundji nin “Fixed Point Theory” adlı kitabından yararlanılmıştır (4). Sıralı metrik uzaylarda sabit nokta teorisi için temel iki kaynak olan Ran ve Reurings‟in “A fixed point theorem in partially ordered sets and some applications to matrix equations” adlı makalesi ile Nieto ve Rodriguez-Lopez‟in “Contractive mapping theorems in partially ordered sets and applications to ordinary differential equations” adlı makalesi kullanılmıştır (5,6). Daha sonra tezin asıl amacını oluşturan Caristi sabit nokta teoreminin direkt ispatı için Caristi‟nin “Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions” adlı makalesinin yanı sıra Singh, Watson ve Srivastava‟nın “Fixed Point Theory and Best Approximation: The KKM-Map Principle” adlı kitabı ile Agarwal, O‟Regan ve Sahu‟nun “Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications” adlı kitapları temel alınmıştır (7,8,9). Ayrıca Caristi sabit nokta teoreminin kısmi sıralama yardımıyla yapılan ispatı için Granas ve Dugundji nin
“Fixed Point Theory” adlı kitabı ile Khamsi‟nin “Remarks on Caristi's fixed point theorem” adlı makalesi incelenmiştir (4,10). Son olarak Caristi sabit nokta teoreminin bazı genelleştirmeleri için Bae, Cho ve Yeom‟un “A generalization of the Caristi-Kirk fixed point theorem and its applications to mapping theorems”, Suzuki‟nin “Generalized Caristi‟s fixed point theorems by Bae and others”, Kirk ve
5
Caristi‟nin “Mappings theorems in metric and Banach spaces”, Kirk‟in “Caristi‟s fixed point theorem and metric convexity”, Brezis-Browder‟ın “A general principle on ordered sets in nonlinear functional analysis”, Bae‟nin “Fixed point theorems for weakly contractive multivalued maps” adlı makaleleri incelenmiştir (11,12,13,14,15,16).
1. 2. Çalışmanın Amacı
James Caristi, 1976 yılında yayınladığı bir makalesinde aşağıdaki teoremi ispatlamıştır: bir tam metrik uzay ve de X den ye tanımlı alttan sınırlı ve alttan yarı sürekli bir fonksiyon olsun. ise X den X e tanımlı, her için eşitsizliğini sağlayan bir dönüşüm olsun. Bu durumda bir sabit noktaya sahiptir. Daha sonra Caristi nin bu teoremi pek çok yazar tarafından genelleştirilmiş, uygulamaları yapılmış, farklı uzaylarda ispatları yapılmıştır. Bu tez çalışmasında, yapılan bu çalışmaları irdeleyerek yeni çalışmaların yapılması amaçlanmıştır.
6