Geri Besleme Yoluna Yerleştirilen Denetleyici

Bölüm 4’de de belirtildiği üzere, kapalı çevrim transfer fonksiyonunun kutuplarını oluşturan karakteristik denklem kökleri, sistemin mutlak ve göreli kararlılığını belirler. Ancak, sistemin geçici hal davranışının kapalı çevrimin sıfırlarına da bağlı olduğu unutulmamalıdır.

Belirli bir sistem parametresine göre sistemin karakteristik denklem köklerinin değişimi, ya da kök eğrileri, sistemin incelenmesinde büyük önem taşır. Köklerin yer eğrisi, kazanç sıfırdan sonsuza değişirken kapalı çevrim sistemine ait karakteristik denklemin köklerinin s düzleminde mümkün olan tüm yerlerinin çizimidir. Bu eğriler ile kazanç değerine göre köklerin yerleri incelenir. K’nın −∞’dan +∞’a değişmesi halinde bir kökün kök yer eğrisi üzerinde izlediği eğriye kol denir ve kök yer eğrisinde bu kolların sayısı kök sayısına eşittir. Eğer sistemdeki kutup sayısı sıfırların sayısından fazla ise sistemin sonsuzda sıfıra sahip olduğu söylenir. Köklerin yer eğrisinde sonsuza giden kolların (asimptotlar) sayısı kutup sayısından sıfır sayısını çıkararak bulunabilir. Kök yer eğrisi s düzleminin gerçek eksenine göre simetriktir ve G(s)H(s)’in kutuplarında K = 0, G(s)H(s)’in sıfırlarında ise K = ±∞ arasında değişen değerler alır. Kök yer eğrisinde, eğriye ait iki kolun gerçek eksende karşılaştığı ve daha sonra zıt yönlerde ekseni terk ettiği noktaya kopma yada semer noktası adı verilir.

Kontrol sistemlerinin tasarlanmasında, sistem istenen bir karakteristik denklemi sağlamalı ve aynı zamanda da oluşacak parametre değişimlerine karşı duyarsız olması gerekir. Bir sistemin davranışı belirli bir kazanç değeri için uygun görülebilir, ancak kazançtaki değişimlere karşı duyarlı olması durumunda, küçük bir kazanç değişiminde, sistem davranışı kabul edilebilir sınırların üzerinde davranış sergileyebilir yada kararsız hale geçiş yapabilir. Buna göre kontrol sistemlerinin kök eğrileri yöntemi ile kazanç parametresine bağlı olarak incelenmesi sırasında, köklerin yerinin belirlenmesinin yanında, sistemin bu müdahalelerden etkileniş biçimi de önem taşır.

-200 -150 -100 -50 0 50 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 0.2 0.4 0.58 0.72 0.83 0.91 0.96 0.99 0.2 0.4 0.58 0.72 0.83 0.91 0.96 0.99 25 50 75 100 125 150 175

Köklerin Yer Egrisi

Gerçek Eksen Sa n a l Ek s e n

Şekil 5.2 : Süspansiyon sisteminin kök – yer eğrisi (Root Locus)

Şekil 4.12’de de görüldüğü üzere denetleyicinin ileri besleme yolu üzerine yerleştirilmesi halinde sistemin birim basamak cevabında, kapalı çevrimin sıfırından kaynaklanan aşımlar oluşmaktadır. Şekil 5.2’de süspansiyon sisteminin köklerinin yer eğrisi (Root-Locus) gösterilmiştir.

Eğriye bakıldığında, kazanç değeri artarken orijindeki iki kutup gerçel ekseni önce terk eder daha sonra sıfır etrafında daire çizer ve yeniden gerçel eksen üzerinde birleşir son olarak da tekrar ayrılarak sonsuzda bulunan sıfırlara doğru hareket ederler. Sistemdeki kutup sayısı sıfır sayısından iki fazla olduğundan, iki adet asimptot mevcuttur. Kutuplardan ikisi sonsuza giderken biri de mevcut sıfıra doğru hareket eder. Şekil 5.3’de K = 79 ve 10Hz bant genişliği değerleri için denetleyicinin ileri besleme yolu üzerine yerleştirilmesi ile elde edilen kapalı çevrimin kutup ve sıfırların yerleri çizdirilmiştir.

-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 -150 -100 -50 0 50 100 150

Köklerin Yer Egrisi

Gerçek Eksen S an al E ksen

Şekil 5.3 : Denetleyicinin ileri besleme yolu üzerinde olması halindeki kutup – sıfır eğrisi Yukarıdaki şekilden de görüldüğü gibi, sistemin karakteristik denkleminin kökleri karmaşık sayılar olmadığından sistemin kutupları gerçek eksen üzerinde bulunmaktadır. Kutuplardan biri sistemin mevcut sıfırına doğru giderken, diğer ikisi gerçek eksende kesişir ve eksenden ayrılarak eksi ve artı sonsuza doğru hareket ederler. Bu haliyle yani denetleyicinin sistemde ileri besleme yolu üzerine yerleştirildiği durumda, şekil 4.12’de de gösterildiği üzere sistemin sıfırından kaynaklanan bir aşım oluşmaktadır.

Kapalı çevrim sıfırından kaynaklanan aşımı önlemenin yollarından biri denetleyiciyi ileri besleme yolu yerine geri besleme yolu üzerine yerleştirmektir. K = 79 ve 10Hz bant genişliği değerleri için denetleyicinin geri besleme yolu üzerine yerleştirilmesi ile elde edilen kapalı çevrim kutup ve sıfırlarının yerleri ise şekil 5.4’de gösterilmiştir.

-200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

Köklerin Yer Egrisi

Gerçek Eksen Sa n a l Ek s e n

Şekil 5.4 : Denetleyicinin geri besleme yolu üzerinde olması halindeki kutup – sıfır eğrisi Denetleyicinin geri besleme yolu üzerine yerleştirilmesi çevrim dönüşümünü değiştirmez fakat geri besleme yolundaki kutuplar kapalı çevrimin sıfırları haline gelirler. Şekil 5.3’den de görüleceği gibi, eski durumda sistemin sıfırının frekansı -20rad/s’dir. Şekil 5.4’de ise denetleyicinin geri besleme yolu üzerine yerleştirilmesi ile sistemin yeni sıfırının frekansının -200rad/s’ye gelmiş olduğu görülür. Bu durumda sistemin sıfırı, kutuplar tarafından bastırılmış ve etkisiz hale getirilmiştir.

Denetleyicinin ileri besleme yolu yerine geri besleme yolu üzerine yerleştirilmesi ile aşıma sebep olan sıfır orijinden çok uzak bir noktaya taşınmış ve bozucu etkisi önceki haline göre çok aza indirilmiştir. Yeni ve eski halleriyle sistemin birim basamak fonksiyonuna verdiği cevaplar şekil 5.5’de gösterilmiştir. Denetleyicinin

ileri besleme yolu üzerine yerleştirildiğinde elde edilen değerler ‘…’ ile, geri-besleme yolu üzerine yerleştirildiğinde elde edilen değerler ‘_---’ ile temsil

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Basamak Cevabi Zaman (sec) Ge n li k

Denetleyici geri-besleme yolunda Denetleyici ileri-besleme yolunda

Şekil 5.5 : Denetleyicinin ileri ve geri besleme yolu üzerine yerleştirildiği durumlarda elde edilen kapalı çevrim birim basamak cevapları

Şekilde de görüleceği gibi, denetleyicinin ileri besleme yolu üzerinde olduğu durumda yükselme zamanı daha kısa yani sistem daha hızlıdır fakat sistemde bir aşım meydana gelir. Bu da kontrol sistemlerinde istenmeyen bir davranıştır. Denetleyicinin geri besleme yolu üzerine yerleştirildiği durumda ise sistemin yükselme zamanı daha uzun yani önceki haline göre sistem daha yavaştır fakat aşım oluşmadığı görülmektedir. Bu haliyle sistem davranışı, önceki durumuna göre daha arzu edilen bir konumdadır. Her iki yapı için sistemin oturma zamanının ise yaklaşık olarak aynı olduğu görülmektedir. Şekil 5.5 incelendiğinde, sistem davranışı açısından, denetleyicinin ileri besleme yolu yerine geri besleme yolu üzerine yerleştirilmesi daha iyi bir sonuç vereceği açıktır.