4. WEİBULL DAĞILIMININ PARAMETRELERİNİN BAYESCİ
5.4 Gerçek Veri Uygulamaları 2
İkinci gerçek veri seti ise Cooray ve Ananda (2008) ve Hamedani vd. (2018) makalelerinde kullanılan gerçek veri setlerinden alınmıştır. Fiber optik kablo, plastik güçlendirme ve halatlar ve kablolarda kullanılan yüksek mukavemet gücüne sahip olan kevlar 49 /epoksi iplikleri sürekli basınca maruz bırakılarak (%90 gerilme seviyesinde) kopana kadar gerilme-kırılma ömürleri ölçülmüştür.
Buna göre ipliklerin kopma zamanını içeren 101 adet veri aşağıda yer almaktadır.
0.01, 0.01, 0.02, 0.02, 0.02, 0.03, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06, 0.07, 0.07,0.08, 0.09, 0.09, 0.1, 0.1, 0.11, 0.11,
Yukardaki veriler için program çalıştırılmış ve aşağıda verilen sonuçlar elde edilmiştir.
1 2 3 4 5 6 7
48 Çizelge 5.10 Parametre Tahmin Sonuçları
EKK EÇOB Bayes MZMC Bayes Lindley
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
0.838815 0.984079 0.925888 1.0094 0.927982 0.993965 0.947262 1.049954
Sonuçlara bakıldığında EKK ile edlde edilen değerler diğer yöntemlere göre elde edilenlerden dah düşüktür. EÇOB, MZMC kullanılarak elde edilen Bayes ve Lindley kullanılarak elde edilen Bayes tahminleri birbirine oldukça yakındır. Elde edilen bu tahmin sonuçlarına göre olışturulan olasılık yoğunluk fonksiyonları ve dağılım fonksiyonları ile ve bunların veriye uyumlarına ilişkin grafikler aşağıda verilmiştir.
Şekil 5.3 Histogram ve Tahminlerle Elde Edilen Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları
Grafiklerin birbirleri ile ve verilere ilişkin histogram ile uyumları görülmektedir.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
x
Histogram ve Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Grafikleri
Ekk Eçob MZMC Lindley
49
Şekil 5.4 Ampirik Dağılım Fonksiyonu ve Elde Edilen Birikimli Dağılım Foksiyonları
Grafikler incelendiğinde yöntemlerin birbirine yakın sonuçlar verdiği görülmektedir.
EÇOB ile Lindley sonuçları neredeyse aynı olup grafikleri üst üste gelmektedir. MZMC yöntemi kullanılarak elde edilen Bayes tahminleri de bunlara oldukça yakındır. EKK yönteminin sonuçları diğer yöntemlere göre daha altta kalmıştır.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x
F(x)
Birikimli Dağılım Fonksiyonu Grafikleri
Veri Ekk Eçob Bayes Bayes Lindley
50 6. SONUÇ
Weibull dağılımı son yıllarda popularitesini daha da artırmış istatistik, fizik gibi bilimlerin yanı sıra biyolojide canlıların ölüm oranlarını hesaplamada, makine mühendisliği alanında makinelerin bozulma oranları ve makinelerin dayanma sürelerinin ölçülmesinde, elektrik ve endüstri mühendisliği alanlarında ve hatta hidrojeolojide nehirlerin taşma süreleri ve maksimum yıllık yağış miktarını hesaplamada bile kullanılmaktadır. Bu dağılımın son yıllarda kullanımının artması, küçük örneklemlerde bile çok etkili sonuçlar verebilmesidir. Küçük örneklemlerde analiz yapmak normal şartlarda diğer istatistik dağılımları için sağlıklı sonuçlar vermeyebilir; ancak Weibull dağılımı kullanarak yapılan analizler çoğunlukla istenilen sonuçlar vermektedir. Bu da zaman ve maliyet kaybı için önemli bir durumdur.
Çalışmada Weibull Dağılımının parametrelerini tahmin etmek için kullanılan parametre tahmin yöntemleri araştırılmış ve yapılan simülasyon çalışmaları ile bu yöntemler uygulanarak dağılımın parametreleri tahmin edilmiştir. Bu tahmin yöntemleri; en çok olabilirlik yöntemi, momentler yöntemi, en küçük kareler yöntemi ve Bayesci yöntemdir. Elde edilen tahmin yöntemlerini karşılaştırmak için hata kareler ortalaması ölçütü alınmıştır. Yapılan simülasyon çalışması farklı örneklem boyutları ve farklı parametre değerleri için tekrarlanarak sonuç çıkarımında bulunulmuştur.
Elde edilen sonuçlara göre, en çok olabilirlik yöntemi ile elde edilen sonuçların en küçük kareler yöntemine göre elde edilen sonuçlardan daha iyi olduğu söylenebilir.
Tüm örneklem boyutları için ise en iyi tahmini MZMC yöntemi kullanılarak elde edilen Bayes tahmininin verdiği söylenebilir. Lindley yaklaşımında en çok olabilirlik tahminlerinin kullanılmasına rağmen küçük örneklemler de Lindley ile elde edilen sonuçlar en çok olabilirlik yöntemi ile elde edilenler kadar iyi değildir. Örneklem sayısı arttığında elde edilen tahminler tüm yöntemler için iyileşmektedir.
Geleneksel istatististik çıkarımında örneklemin sabit ve bilinmeyen parametreye sahip bir kitleden geldiği varsayılır ve verileri yorumlamak için en çok olabilirlilik yöntemi kullanılır. Buna karşılık Bayesci yaklaşımda parametreler bir olasılık dağılımına sahip
51
rasgele değişken olarak görülür. Bu nedenle kendilerine ait dağılımları vardır, bu dağılım ilk başta önsel bilgiyi oluşturmaktadır. Bayesci yaklaşım bu önsel bilgiyi ve örneklem bilgisini kullanarak sonuç çıkarımı yapar. Ayrıca, Bayesci yaklaşımda verileri yorumlamak için hipotez testleri, nokta ve güven aralıkları da kullanılmaktadır.
Bayesci yaklaşım, hesaplanması bilgisayar olmadan uzun ve zahmetli sonuç veren bir yöntem olduğu için daha önceleri pek tercih edilmemekteydi fakat son zamanlarda MZMC yöntemleri ve gelişen teknoloji sayesinde kullanımı artmış hatta klasik yöntemlerin önüne geçmiştir. Bunun asıl sebebi, tahminlerin diğer yöntemlere göre daha iyi sonuçlar vermesidir. Sigorta, e-ticaret, finans ve sağlık hizmetleri gibi birçok alanda analiz ve tahminler için Bayesci yaklaşım kullanmaktadır.
52 KAYNAKLAR
A., F. R. (2001). The Weibull Model And An Ecological Application: Describing The Dynamics Of Foliage Biomass On Scots Pine.
A., R. C. (2011). Short History of Markov Chain Monte Carlo: Subjective Recollections from Incomplete Data1. Statistical Science,Vol. 26, No. 1, 102–115.
Abdulabaas vd., A. (2013). A Comparison Between the Bayesian and the Classical Estimators of Weibull Distribution. Journal of Kufa for Mathematics and Computer Vol.1, No.8, 21- 28.
Abernethy, R. B. (2010). The New Weibull Handbook. Florida: Paul Barringer.
Akdi, Y. (2005). Matematiksel İstatistiğe Giriş. Ankara: Bıçaklar Kitabevi.
Al- Hasan M., N. R. (2003). Identification Of The Generalized Weibull Distribution in Wind Speed Data By The Eigen-Coordinates Method. R. R. Renewable Energy 1, 93-110.
Bayılmış, D. C. (2019). Sayısal Analiz. Sakarya Üniversitesi.
Bebbington M. S., L. C. (1996). On Nonhomogeneous Models For Volcanic Eruptions.
Mathematical Geology, Vol. 28 No:5.
Brooks S., G. A. (2011). Handbook of Markov Chain Monte Carlo.
Burden R.L., F. J. (1993). Numerical Analysis.
Cengiz vd., C. (2012). Lojistik Regresyonda Parametre Tahmininde Bayesci Bir Yaklaşım. Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi, 15-22.
Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2003). Yazılım ve Programlama Uygulamalarıyla Mühendisler İçin Sayısal Yöntemler. Literatür Yayıncılık.
Chib S., G. E. (1995). Understanding the Metropolis-Hastings Algorithm. The American Statistician, Vol. 49, No. 4, 327-335.
Cooray K., A. M. (2008). A Generalization of the Half-Normal Distribution with Applications to Lifetime Data. Communications in Statistics—Theory and Methods, 37:9, 1323-1337.
53
Demir, E. (2015). İlerleyen tür tip II sağdan sansürleme altında bazı yaşam zamanı dağılımları için parametre tahmini. . Yüksek Lisans Tezi. Konya: Selçuk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, İstatistik Anabilim Dalı.
Durham S. D., P. W. (1997). Cumulative Damage Model For System Failure With Application To Carbon Fibers And Composites.
Elitok, Ö. (2006). Weibull Dağılımı ve Uygulamaları. Yüksek Lisans Tezi. Kırıkkale:
Kırıkkale Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı.
Fok S. L., M. B. (2001). A Numerical Study on The Application of The Weibull Theory to Brittle Materials.
Guure vd., G. (2012). Bayesian Estimation of Two-Parameter Weibull Distribution Using Extension of Jeffreys’ Prior Information with Three Loss Functions.
Hindawi Publishing Corporation Mathematical Problems in Engineering Vol:2012, 1-13.
Hamedani G.G., A. E. (2018). A New Extended G Family of Continuous Distributions with Mathematical Properties, Characterizations and Regression Modeling.
Pak.j.stat.oper.res. Volume 14 No.3, 737-758.
Heo J. H., B. D. (2001). Regional Flood Frequency Analysis Based On A Weibull Model: Part 1. Estimation, Asymptotic Variances.
Huillet T., R. H. (1999). Rare Events İn A Log- Weibull Scenario—Application To Earthquake Magnitude Data.
J., C. K. (2003). On The Use And Utility Of The Weibull Model İn The Analysis Of Survival Data.
J.B., A. (1999). Application Of Weilbull Statistics To The Failure of Coatings. Journal of Material Processing and Technology, 93, 257-263.
Keshevan K., S. G. (1980). Statistical analysis of the Hertzian fracture of pyrex glass using the Weibull distribution function. J. Mater. Sci. 15, 839–844.
Kuş, E. (2010). Yüksek Lisans Tezi. Uzun Kuyruklu Simetrik Dağılımın Parametreleri İçin Sansürlü Örneklemlere Dayalı İstatistiksel Sonuç Çıkarımı. Konya: Selçuk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, İstatistik Ana Bilim Dalı.
Lawless, J. (1982). Statistical Models and Methods for Life Time Data. New York:
Wiley.
Li Q. S., F. J. (2003). Failure Probability Prediction Of Concrete Components.
Lindley, D. (1980). Approximate Bayes Methods. University College London.
Loganathan, A., & Uma, M. (2017). Comparison of Estimation Methods for Inverse Weibull distribution. Global and Stochastic Analysis, 4(1), 83-93.
54
Mafart P., C. O. (2002). On Calculating Sterility İn Thermal Preservation Methods:
Application Of The Weibull Frequency Distribution Mode.
Mansız, K. (2014). İki Parametreli Weibull Dağılımı Ve Parametre Tahminleri. Yüksek Lisans Tezi. Van: Yüzüncü Yıl Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Ana Bilim Dalı.
Newell J. A., K. T. (2002). Analysis Of Recoil Compressive Failure İn High Performance Polymers Using Two-, Four-Parameter Weibull Models.
Nwobi F. N., U. C. (2014). A Comparison of Methods for the Estimation of Weibull Distribution Parameter. Metodološki zvezki, Vol. 11, No. 1, 65-78.
Queeshi F. S., S. A. (1997). Probabilistic Characterization Of Adhesive Wear İn Metals.
R., D. S. (1996). Low-Flow Analysis With Aconditional Weibull Tail Model.
Roed K., Z. T. (2002). A Note On The Weibull Distribution And Time Aggregation Bias.
Sheikh A. K., B. J. (1990). Statistical Modelling Of Pitting Corrosion And Pipeline Reliability.
Skymind. (2019). 06 27, 2019 tarihinde https://skymind.ai/wiki/markov-chain-monte-carlo adresinden alındı
Steyvers, M. (2015). Advanced Matlab:Exploratory Data Analysis and Computational Statistics.
Sultan vd., S. (2014). Bayesian and Maximum Likelihood Estimations of the Inverse Weibull Parameters Under Progressive Type-II Censoring. Journal of Statistical Computation and SimulationVolume 84, Issue 10, 2248–2265.
Weibull, W. (1951). A Statistical Distribution Function Of Wide Applicability.
Yılmaz, S. (2005). Bilgisayar İle Sayısal Çözümleme. Kocaeli: Kocaeli Üniv. Yayınları.
Z., J. (2012). A Thesis Presented to the Graduate School of Clemson University. Robust Parameter Estimation in the Weibull and the Birnbaum-Saunders Distribution.
55 EKLER
EK 1 Lindley Yaklaşımı Kullanılarak İntegrallerin Yaklaşık Çözümleri EK 2 Asimptotik Normallik
EK 3 Fisher Bilgi Matrisi
EK 4 Asimptotik Güven Aralıkları EK 5 Yarılama (Bisection) Yöntemi
56
EK 1 Lindley Yaklaşımı Kullanılarak İntegrallerin Yaklaşık Çözümleri
3.3.2.1 kısmında verilen Lindley Yaklaşımı kullanılarak (31) ve (32) ile elde edilen integrallerin yaklaşık çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
g(β,γ)=
57
58 ( ) ( ∑
( ) ) ( ∑
)
∑
∑
( )
[ ]
p = 2 için Lindley yaklaşımı kullanılarak elde edilen yaklaşık Bayes tahmin edicileri aşağıdaki gibi elde edilir.
(β γ) β ı ı
̂ ̂ ( )
̂ ̂ ( ) ( )
(
∑
( ) ( ) ( ∑
( ) )
)
(β γ) γ ı ı
̂ ̂ ( ( ) )
59 ̂ ̂ ( ) ( )
(
( ) ( ∑
( ) ) ( ( ) )
(
∑
( ) ))
60 EK 2 Asimptotik Normallik
( ) rasgele değişkenlerin bir dizisi, Z, standart normal dağılıma sahip bir rasgele değişken ve
→ , dağılımda yakınsamayı göstermek üzere,
→
olacak şekilde reel sayıların ( ) ve pozitif reel sayıların ( ) dizileri varsa ( ) dizisine asiptotik normal veya daha açık olarak “ ortalaması” ve “ varyansı” ile asiptotik normal dizisi denir ve ( ) biçiminde gösterilir. Buradaki sayısı
’in beklenen değeri ve sayısı ’nin varyansı olmayabilir. Bu değerler sırasıyla
’nin asimptotik ortalama ve asimptotik varyans değerleridir (Akdi, 2005).
61 EK 3 Fisher Bilgi Matrisi
örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu ( ) olan kitleden alınan n birimlik bir örneklem olsun. Bu örneklem için Fisher bilgi matrisi (Fisher information matrix)
62 EK 4 Asimptotik Güven Aralıkları
EK 2’de tanımlanan ̂’nınen çok olabilirlilik tahmin edicisi bazı düzgünlük şartları altında,
√ ( ̂ )
→ ( ( ))
olmak üzere asimptotik normaldir, burada ( ) Ek 3’ de tanımlanan Fisher Bilgi matrisidir. Fisher Bilgi matrisinin tersi ̂’nın asimptotik varyans-kovaryans matrisidir.
Bu matrisin bilinmesi, büyük örneklemler için ̂ ̂ ̂ tahmin edicilerinin ayrı ayrı asimptotik varyanslarının bilinmesi anlamına gelmektedir. ( )’nın tutarlı tahmin edicisi, dağılımın a. kuantilidir (Kuş, 2010).
63 EK 5 Yarılama (Bisection) Yöntemi
Yarılama yöntemi, transandantal denklemleri (çözümleri olmayan ya da zor olan denklem türleri) çözmek için kullanılan yöntemlerin en basitidir. Ayrıca, sürekli bir fonksiyonun kökünün bulunması için kullanılan sistematik bir tarama tekniğidir. Kökün bulunduğu aralığı yarılayarak (ikiye bölerek) daraltma prensibine dayanır.
Yarılama yönteminin adımları aşağıda verilmiştir:
[ ] aralığında bir köke sahip f(x) fonksiyonu tanımlansın.
1) Öncelikle f(x) fonsiyonunun belirtilen aralıkta kökünün olup olmadığına bakılır.
[ ( ) ( ) ] şartı sağlanıyorsa belirtilen aralıkta kök vardır.
[ ( ) ( ) ] ise kök yoktur.
[ ( ) ( ) ] ise kök ya da ’dir.
2) İlk adımda belirtilen fonksiyon aralığının orta noktası bulunur.
3) Sıfır noktası [ ] ya da [ ] aralığından birisinde olmalıdır.
( ) ( ) ise kök [ ] aralığında
( ) ( ) ise kök [ ] aralığında
4) Bir sonraki iterasyonda kök yeni aralıkta aranır ve 2. adımdan itibaren işlemler tekrarlanır.
Tekrarlama işlemi | | şartı sağlanana kadar devam eder. ( (Yılmaz, 2005), (Chapra & Canale, 2003))
64 ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : Yasemin KOÇ Doğum Tarihi : 10/06/1985 Doğum Yeri : Ankara Medeni Hali : Evli Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu
Lise : Etlik Lisesi – İng. Ağırlıklı- Lisesi, Ankara (2003) Lisans : Kırıkkale Üni.Fen-Edeb. Fak. İstatistik Böl. Kırıkkale (2007) Lisans : Hoca Ahmet Yesevi Üni. Mühendislik Fak. Endüstri Müh. (2019) Yüksek Lisans: Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı
(Şubat 2020) Çalıştığı Kurum/Kurumlar PTT A.Ş.
Uluslararası İlişkiler Daire Başkanlığı (Memur)