SONUÇLAR VE TARTIŞMA
3.2. GaAs Bulk Oluşturulması ve Yakınsaması
3.2.3. GaAs Đçin k point Yakınsaması
Sistemi tanımlamak açısından önemli olan bir diğer parametre ters uzayda k noktalarını temsil eden kpoint düzlem dalga baz setleridir. Değişik kpoint değerleri için
toplam enerji hesabı yapılmıştır. Yapılan hesaplamalar sonucu toplam enerjinin kpoint
görüldüğü gibi toplam enerji değeri 4, 6 ve 8 değerlerinde bir limit minimum enerji durumuna yaklaşmaktadır. Yani sistem bu değerlerde minimum enerji değerine sahiptir.
2 4 6 8 10 12 -213.96 -213.92 -213.88 -213.84 -213.80 -213.76 E ( R y d .) kpoint
Şekil 3.11. GaAs bulk yapısı için toplam enerjinin kpoint değerlerine göre
değişimi.
GaAs için yapılan bu yakınsama çalışmasında örgü sabiti ve kinetik enerji kesim değerleri sırası ile 10.836 a.u. ve 30 alınmıştır. Bunun yanında ters uzayda k noktalarını temsil eden düzlem dalga baz setlerinin değerleri değişmiştir.
Şekil 3.11 incelendiğinde, kpoint 6 ile 8 değeri yakınlarında enerji değerleri belli
bir minimum limitine yakınsamaktadır. Buradan yola çıkarak sistem minimum kpoint
değerini belirlemek için 4, 6 ve 8 değerlerindeki örgü sabiti yakınsama çalışması yapılmış ve bu Şekil 3.12’de verilmiştir.
10,6 10,7 10,8 10,9 11,0 11,1 -213,948 -213,944 -213,940 -213,936 -213,932 -213,928 E ( R y d .) a (a.u.) 4 6 8
Şekil 3.12. GaAs bulk yapısı için farklı kpoint değerlerindeki toplam enerjinin
örgü sabitine göre değişimi.
Şekilden de görüldüğü gibi kpoint’in 6 ve 8 değerleri minimum enerjiye en yakın
durumdadır. 6 ve 8 değerleri için hesaplanan örgü sabitleri arasında çok küçük bir fark olduğundan ikisinden biri sistem için uygun bir parametre olarak kabul edilebilir. Hesaplamaların kolay olması ve zaman ekonomik kullanmak açısından kpoint’in 6 olan
değeri sistemin en uygun kpoint parametresi olarak kabul edilmesi uygun görülmüştür.
3.3. AlAs/GaAs Katmanlı Bulk Heteroyapısı
Bu bölümde, AlAs/GaAs için tek, ikişer ve üçer katmanlı bulk yapıları oluşturulmuştur. Tekli yapı (1+1) bir katman AlAs bir katman GaAs, ikişerli yapı (2+2) iki katman AlAs iki katman GaAs ve üçerli yapı (3+3) üç katman AlAs üç katman GaAs bulk katmanlarının (001) yönünde ard arda gelmesi şeklinde dizilerek, katmanlı bulk heteroyapıları oluşturulmuştur. Bu AlAs/GaAs katmanlı bulk heteroyapılarında iki
farklı katman arasında ara yüzey oluşmaktadır. Bu ara yüzeyden dolayı katmanlar arasında bir potansiyel fark meydana gelir. Hetero-yapılardaki bu özellik optik ve elektronik açıdan önemli bir durum oluşturmaktadır. Tek, ikişer ve üçer katmanlı
şeklinde olan bu bulk heteroyapılar Şekil 3.13‘de gösterilmektedir.
Şekil 3.13. a) Tek katmanlı yapı ( (1+1) bir katman AlAs bir katman GaAs), b)
Đkişer katmanlı yapı ((2+2) iki katman AlAs iki katman GaAs), c)
Üçer katmanlı yapı ((3+3) üç katman AlAs üç katman GaAs) bulk heteroyapıları.
a)
b)
Şekilden de görüldüğü gibi AlAs ve GaAs’ in bulkların örgü yapıları yüzey merkezli kübik yapı şeklindedir. Bunun yanı sıra örgü sabitleri daha önce belirlendiği gibi AlAs için 10.835 a.u.ve GaAs 10.836 a.u. değerlerindedir. Bu değerlerin çok yakın olduğu görülmektedir. Yapılan bu hesaplamalarda da görüldüğü gibi örgü sabitleri arasında yaklaşık olarak 0.001a.u.’lik bir fark olduğu saptanmıştır. Bu fark çok küçük bir değer olduğundan bu iki yarıiletken malzeme için örgü sabiti uyuşan malzemeler denilebilir.
3.3.1. AlAs/GaAs Arayüzeyinin z Yönünde Örgü Sabiti Optimizasyonu
Tekli AlAs/GaAs bulk heteroyapıdaki hücresinin z yönünde bir kuvvet etkisinde çekilmesi sonucu bu yönde uzama ve diğer yönlerde de buna bağlı olarak kısalma olur. Bunun tersi yani bu yapının z yönünde bir kuvvet etkisinde sıkıştırılması sonucu bu yönde kısalması ve diğer yönlerde de buna bağlı olarak genişleme olacaktır. Bu olay Poisson etkisi olarak bilinir. Bu etki sistemin çekilme miktarının Poisson oranı ile çarpımının x, y boyutlarına uyarlanması ile sisteme yansıtılmıştır. Genel olarak bir yapının Poisson oranı -0.1 ile 0.5 arasında değişmektedir. Bu sabit her katı yapı için farklı bir değere sahip olduğundan bu özellik katılar için ayrıt edici bir özellik olarak ifade edilebilir. Esnek olan malzemeler için daha belirgin bir özellik olarak bilinir. Tekli yapıdaki AlAs/GaAs bulk yapı için bu özellik göz önüne alınarak, sistemin z yönünde sıkıştırması ve çekilmesi işlemine z yönündeki optimizasyonu denir.
Poisson etkisi dikkate alınarak yapılan hesaplamalar, z yönünde optimizasyon çalışması, hesaplanan örgü sabiti ve enerji değerleri Tablo 3.1’de listelenmiştir.
Tablo 3.1. AlAs/GaAs için tekli bulk heteroyapının z konumu, örgü sabiti ve buna karşılık toplam enerji değerleri.
a (a.u.) z(a.u.) E (Ryd.)
10.896 1.96 -1049.8539
10.866 1.98 -1049.8557
10.835 2.00 -1049.8562
10.799 2.02 -1049.8554
Tablodaki bu değerlere göre sistemin toplam enerjisinin z yönü konumuna göre değişimi Şekil 3.14’te gösterilmiştir. Bu hesaplarda sistemin örgü sabiti 10.835 a.u. enerji kesim değeri 30 Ryd. ve sistemi ters uzayda temsil eden düzlem dalga baz seti ise 6x6x6 olarak alınmıştır. Bu parametre değerleri ikişer ve üçer katmanlı AlAs/GaAs bulk heteroyapılar için de aynı alınacaktır.
1,94 1,96 1,98 2,00 2,02 2,04 2,06 -1049,856 -1049,855 -1049,854 -1049,853 -1049,852 E (R y d .) z (a.u.)
Şekil 3.14. AlAs/GaAs (1+1) tekli bulk yapısının toplam enerjisinin z konum değerinin sıkıştırma ve çekme durumlarına göre değişimi.
Şekil dikkatlice incelendiğinde, minimum enerji değerine karşılık gelen z değeri 1.9981 a.u. olarak belirlenmiştir. Buna karşılık gelen minimum örgü sabiti değeri 10.825 a.u olarak belirlenmiştir. Bu ise AlAs/GaAs tekli heteroyapının minimum enerji seviyesindeki en son örgü sabiti değerini verir.
Benzer şekilde, AlAs/GaAs ikişerli bulk heteroyapı için Poisson etkisi dikkate alınarak yapılan hesaplamalar, z yönünde optimizasyon çalışması, hesaplanan örgü sabiti ve enerji değerleri Tablo 3.2’de listelenmiştir.
Tablo 3.2. AlAs/GaAs için ikişerli bulk heteroyapının z konumu, örgü sabiti ve buna karşılık toplam enerji değerleri.
a (a.u.) z (a.u.) E (Ryd.)
10.618 3.92 -2099.7107
10.727 3.96 -2099.7143
10.835 4.00 -2099.7154
10.943 4.04 -2099.7139
11.051 4.08 -2099.7098
Tablodaki bu değerlere göre sistemin toplam enerjisinin z yönü konumuna göre değişimi Şekil 3.15’de gösterilmiştir.
3,88 3,92 3,96 4,00 4,04 4,08 4,12 -2099,716 -2099,714 -2099,712 -2099,710 -2099,708 E (R y d .) z (a.u.)
Şekil 3.15. AlAs/GaAs (2+2) ikişerli bulk heteroyapısının toplam enerjisinin z sıkıştırma ve çekme durumlarına göre değişimi.
Şekil incelendiğinde, minimum enerji değerine karşılık gelen z değeri 3.9968 a.u olduğu belirlenir. Buna karşılık gelen minimum örgü sabiti değeri 10.826 a.u. olarak belirlenmiştir. Bu da bize AlAs/GaAs ikişerli bulk heteroyapının en son minimum enerji seviyesindeki örgü sabiti değerini verir.
Đkişerli yapı için yapılan hesaplamalar benzer şekilde, AlAs/GaAs üçerli bulk heteroyapı için Poisson etkisi dikkate alınarak, z yönünde optimizasyon çalışması ile, örgü sabiti ve enerji değerleri hesaplanarak Tablo 3.3’de listelenmiştir.
Tablo 3.3. AlAs/GaAs için üçerli bulk heteroyapının z konumu, örgü sabiti ve buna karşılık toplam enerji değerleri.
Tablodaki bu değerlere göre sistemin toplam enerjisinin z yönü konumuna göre değişimi Şekil 3.16’da verilmiştir. Şekille dikkatlice bakıldığında, minimum enerji değerine karşılık gelen z değeri 5.9957 a.u. ve örgü sabiti değeri 10.827 a.u. olarak belirlenmiştir.
a (a.u.) z (a.u.) E (Ryd.)
10.618 5.88 -3149.5673
10.726 5.94 -3149.5727
10.835 6.00 -3149.5744
10.943 6.06 -3149.5723
5,82 5,88 5,94 6,00 6,06 6,12 6,18 -3149,576 -3149,574 -3149,572 -3149,570 -3149,568 -3149,566 -3149,564 -3149,562 E ( R y d .) z (a.u.)
Şekil 3.16. AlAs/GaAs (3+3) Üçerli bulk heteroyapısının toplam enerjisinin z konumunun sıkıştırma ve çekme durumlarına göre değişimi.
Bu durumda AlAs/GaAs üçerli bulk heteroyapının minimum enerji seviyesindeki en son örgü sabiti değerini vermektedir. Tekli, ikişerli ve üçerli yapılarda, yapılan hesaplamalar sonucun da materyalin Poisson oranı sabittir ve yaklaşık 0.281
±
0.06 değerindedir.3.3.2. AlAs/GaAs Arayüzeyinin Etkin Potansiyel Eğrisi
Tekli yapıdaki AlAs/GaAs arayüzeylerde yapılan hesaplamalar sonucunda potansiyel değerleri elde edilmiştir. Bu değerler üzerinden makroskobik averaj tekniği kullanılarak yapılan 2. ortalama hesapları sonucunda elde edilen etkin potansiyelin z yönüne göre değişimleri Şekil 3.17’de verilmiştir.
0 5 10 15 20 25 -0,405 -0,400 -0,395 -0,390 -0,385 -0,380 -0,375 V ( R y d .) z (a.u.) GaAs AlAs
Şekil 3.17. AlAs/GaAs (1+1) tekli bulk heteroyapısı için etkin potansiyelin z yönüne göre değişimi.
Şekil incelendiğinde, sistemin arayüzeyinden kaynaklanan bir potansiyel farkı görülmektedir. Bundan dolayı bu sistemlerde düşük boyutta kuantum kuyuları oluşmaktadır. Heteroyapıların bu özelliğinden dolayı elektronik ve opto-elektronik aletlerin yapımında kullanılması oldukça önemlidir.
Benzer şekilde ikişerli ve üçerli yapılardaki AlAs/GaAs arayüzeylerde yapılan hesaplamalar sonucunda potansiyel değerleri elde edilmiştir. Bu değerler üzerinden makroskobik averaj tekniği kullanılarak yapılan 2. ortalama hesapları sonucunda elde edilen etkin potansiyelin z yönüne göre değişimleri sırasıyla Şekil 3.18 ve Şekil 3.19’da verilmişlerdir.
0 10 20 30 40 50 -0,405 -0,400 -0,395 -0,390 -0,385 -0,380 -0,375 V ( R y d .) z (a.u.) GaAs AlAs
Şekil 3.18. AlAs/GaAs (2+2) ikişerli bulk heteroyapısı için etkin potansiyelin z yönüne göre değişimi.
Şekilden de görüldüğü gibi, sistemin arayüzeyinden kaynaklanan bir potansiyel
farkı tekli yapıdaki gibi mevcuttur. Fakat arayüzeydeki etkin potansiyel daha keskin bir
şekil almıştır. Ayrıca arayüzeyin her iki tarafında da etkin potansiyelde daha fazla dalgalanmalar görülmektedir.
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 -0,405 -0,400 -0,395 -0,390 -0,385 -0,380 -0,375 V ( R y d .) z (a.u.) AlAs GaAs
Şekil 3.19. AlAs/GaAs (3+3) üçerli bulk heteroyapısı için etkin potansiyelin z yönüne göre değişimi.
Şekilden de görüldüğü gibi, sistemin arayüzeyinden kaynaklanan bir potansiyel
farkı diğer yapılardaki gibidir. Fakat arayüzeydeki etkin potansiyel çok keskin bir şekil almıştır. Ayrıca arayüzeyin her iki tarafında da etkin potansiyelde çok daha fazla dalgalanmalar görülmektedir.
3.4. Sonuç
Bu çalışmada (001) yönünde tekli, ikişer ve üçer katmanlı olarak modellenmiş AlAs/GaAs bulk hetero yapıların, taban durumundaki örgü sabiti, toplam enerjisi ve ortalama etkin potansiyeli, yoğunluk fonksiyonel teorisine kullanılarak incelenmiştir. Sistem z ekseni boyunca optimize edilerek bu bulk yapının en kararlı durumu elde edilmiştir. Hesaplamalar, temeli yoğunluk fonksiyonel teorisine dayanan düzlem dalga öz uyum alan programı kullanılarak yapılmıştır. Nano ölçek mertebesinde yapılan bu hesaplamalar her geçen gün önemini artırmaktadır. Bundan dolayı, bu sistemlerin özelliklerinin bilinmesi elektronik ve opto-elektronik aletlerin yapımında çok önemlidir. Ayrıca AlAs/GaAs bulk yapısındaki arayüzeyde etkin potansiyel fark olduğu gözlenmiştir. Fakat arayüzeyin her iki yanında da oluşan istenmeyen dalgalanmaların nedeni tarafımızdan henüz anlaşılamamıştır. Bundan sonraki çalışmalarımızda bu dalgalanmaların giderilmesi sağlanacak ve bu sistemin elektronik bant yapısı hesaplanacaktır.
KAYNAKLAR
Akkuş H., ‘SbSI Kristalinin Elektronik Ve Optik Özellikleri: Yoğunluk Fonksiyoneli Teorisinin Uygulaması’ Doktora Tezi, Fizik Anabilim Dalı. Adana, (2007).
Alferov I. ve Kazarinov R.F., "Semiconductor laser with electrical pumping", U.S.S.R. Patent 181737 (1963).
Antoncık E., Approximate formulation of the orthogonalized plane-wave method. J. Phys. Chem. Solids, 10: 314-320 (1959).
Baldereschi A., Phys. Rev. B 12 5212 (1973).
Baldereschi A., Baroni S. ve Resta R., Phys. Rev. Lett. 61 734 (1988).
Baldereschi A., Peressi M., Baroni S. ve Resta R., Proc. Int. School of Physics ‘Enrico Fermi’ (Course CXVII, Varenna, 1991): Semiconductor Superlattices and Interfaces ed L Miglio and A Stella (New York: Academic) p 59 (1993).
Baroni S, Resta R, Baldereschi A. ve Peressi M., Proc. NATO Advanced Research Workshop on Spectroscopy of Semiconductor Microstructures ed G Fasol et al (New York: Plenum) p 251 (1989).
Baroni S., Peressi M., Resta R. ve Baldereschi A., Proc. 21th Int. Conf. on the Physics of Semiconductors ed Ping Jiang ve Hou-Zhi Zheng (Singapore: World Scientific) p 689 (1993).
Baroni S., Resta R., Baldereschi A. ve Peressi M., Proc. NATO Advanced Research Workshop on Spectroscopy of Semiconductor Microstructures ed G Fasol et al (New York: Plenum) p 251 (1989).
Born M. ve Oppenheimer R., Zur Quantentheorie der Molekeln. Ann. Physik, 84: 457- 484 (1927).
Ceperley D. M. ve Alder B. J., Phys. Rev. Lett. 45 566 (1980).
Chadı D. J. ve Cohen M. L., Special Points in the Brillouin Zone. Phys. Rev. B, 8: 5747-5753. hi A, Baroni S and Resta R 1988 Phys. Rev. Lett.61 734 (1973).
Cohen M. L. ve Heıne V., The fitting of pseudopotentials to experimental data and their subsequent application. Solid State Physics, 24: 37-248 (1970).
Drexler K. E., Engines of Creation: The Coming Era of Nanotechnology New York: Anchor Press/Doubleday (1986).
Froyen S., Phys. Rev. B 39 3168 (1989).
Herrıng C., A New Method for Calculating Wave Functions in Crystals Phys. Rev., 57: 1169-1177 (1940).
Hohenberg P. ve Kohn W., ‘Inhomogeneous elektron gas’, Phys. Rev. Lett 136, B864 (1964).
Hybertsen M. S. ve Louie S G., Phys. Rev. B 355585 (1987). Hybertsen M. S. ve Louie S. G., Phys. Rev. B 345390 (1986). Hybertsen M. S. ve Louie S. G., Phys. Rev. B 345602 (1987).
Jackson J. D., Classical Electrodynamics (New York:Wiley) (1975).
Koh W. in Highlights of Condensed Matter Theory, edited by Bassani F., Fumi F. ve M. P. Tosi (North-Holland, Amsterdam), p.11 (1985).
Kohn W. ve Sham L. J., Phys. Rev. 140A 1133 (1965). Kohn W. ve Sham L. J., Phys. Rev., 140 (1965).
Kroemer H., "A proposed class of heterojunction lasers", Proc. IEEE, 51,1782 (1963). Levy M. ve Perdew J. P., in Density Functional Methods in Physics, edited by R. M. Dreizler ve J. da Providencia (Plenum, New York). p.11 (1985).
Levy M., "Electron Densities in Search of Hamiltonians", Phys. Rev. A., 26, 1200 (1982).
Monkhorst H. J. ve Pack J. D., Special Points for Brillouin-zone Integrations. Phys. Rev. B, 13: 5188-5192 (1976).
Neamen, Donald A., Semiconductor Physics and Devices, Basic Principles. Universty of New Mexico. D. IRWIN. INC. (1992).
Nielsen O. H. ve Martin R. M., Phys. Rev. B 32 3780 (1985). Nielsen O. H. ve Martin R. M., Phys. Rev. B 32 3792 (1985). Nielsen O. H. ve Martin R. M., Phys. Rev. Lett. 50 697 (1983).
Payne M. C., Teter M. P., Allan D. C., Arıas T. A. ve Joannopoulos J. D., Iterative Minimization Techniques for ab initio Total-Eenergy Calculations: Molecular Dynamics and Conjugate Gradients. Rev. Mod. Phys., 64: 1045-1097 (1992).
Perdew J. ve Zunger A., Phys. Rev. B 23 5048 (1981).
Peresi M., Binggeli N., ve Baldereschi A., Band engineering at interfaces: theory and numerical experiments, J. Phys. D: Appl. Phys. 31, 1273 (1998).
Phıllıps J. C. ve Kleınman, Crystal Potential and Energy Bands of Semiconductors. I. Self-Consistent Calculations for Diamond. Phys. Rev., 116: 880-884 (1959b).
Phıllıps J. C., Energy-Band Interpolation Scheme Based on a Pseudopotential. Phys. Rev., 112: 685-695 (1958).
Phıllıpsj. C. ve Kleınman L., New Method for Calculating Wave Functions in Crystals and Molecules. Phys. Rev., 116: 287-294 (1959a).
Pickett W. E., Computer Phys. Rep. 9 115 (1989).
Richard M. Martin, Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods, Cambrige University Press, (2004).
Robert G. Parr and Weitao Yang, Density-Functional Theory of Atoms and. Molecules, Oxford University Press (1989).
Srivastava G.P., ‘The Physics of Phonons’ , Adam Hilger, Bristol (1990).
Troullıer N. ve Martıns J. L., Efficient pseudopotentials for plane-wave calculations. Phys. Rev B, 43: 1993-2006 (1991).
Yın M. T. ve Cohen M. L., Theory of ab initio pseudopotential calculations. Phys. Rev.B, 25: 7403-7412 (1982).
Zhang S. B., Tom´anek D., Louie S. G., Cohen M. L. ve Hybertsen M. S., Solid State Commun. 66 585 (1988).