FSM Kullanılarak Kesir Dereceli Transfer Fonksiyonların Zaman

26

Şekil 2.2. GL nümerik yöntemi ile hesaplanan birim basamak cevabı

Şekil 2.1’de verilen Matlab Fomcon aracına ait komutlar kullanılarak 1 s^0.1 için birim basamak cevabı GL nümerik metodu ile Şekil 2.2’de görüldüğü gibi hesaplanmıştır.

2.2.3. FSM Kullanılarak Kesir Dereceli Transfer Fonksiyonların Zaman

27

Bir periyodik x t( ) sinyalinin Fourier serisi gösterimi üstel veya trigonometrik formda yazılabilir ve burada periyodik kare dalga sinyali için trigonometrik Fourier serisi gösterimi tercih edilmiştir. -1’den 1’e genlik salınımı olan ve _s 2 / T frekanslı bir kare dalganın Fourier serisi Denklem 2.24 gibi yazılabilir.

1(2)

4 1

( ) sin( _s )

k

x t k t

k 











(2.24)

Burada, T tanımlanan kare dalganın periyodunu belirtir. Eğer x t( ) girişi G s( ) transfer fonksiyonunun girişine uygulanırsa, bu durumda birim basamak cevabının meydana getirdiği çıkış Denklem 2.25’te verildiği gibi elde edilir.

 

1(2)

4 1

( ) Re ( ) sin( )

s s s

k

y t G jk k t

k  











(2.25)

Denklem 2.25’in ispatı konvolusyon işlemi gerçekleştirilerek yapılabilir. Bu ispat için ^{g t( )L1}



^{G s( )}



ve konvolusyon integralini kullanarak çıkış eşitliği Denklem 2.26 gibi yazılabilir.

 

0 0 1(2)

0 0

0

1 2 3

4 1

( ) ( ) ( ) ( ) sin( ( ))

( ) sin( ( )) 1 ( ) sin(3 ( )) 4 3

1 ( ) sin(5 ( )) 5

4

s k

s s

s

y t g x t d g k t d

k

g t d g t d

g t d

A A A

      



       

    



  



 



 

     

 

 

  

 

 

  

    

 

 

    

  

 



(2.26)

Denklem 2.27’de görülen ilk integral dikkate alınırsa;

( ) ( )

1

0 0

0 0

( ) sin( ( )) 1 ( )( )

2

( ) ( )

2 2

s s

s s

s s

j t j t

s

j t j t

j j

A g t d g e e d

j

e e

g e d g e d

j j

   

 

   

     

   

 

  

  



   

 

 

 

(2.27)

28

Buradan, A₁ ifadesi Denklem 2.28 gibi yazılabilir.

1 ( ) ( )

2 2

1 1

cos( ) sin( ) ( ) cos( ) sin( ) ( )

2 2 2 2

s s

j t j t

s s

s s s s s s

e e

A G j G j

j j

j j

t t G j t t G j

 

 

     



  

   

      

(2.28)

Re (G j_s)Re (G j_s) ve Im (G j_s) Im (G j_s) olduğu için, A₁ ifadesini Denklem 2.29 gibi yazabiliriz.

1 Re ( _s) sin( _s ) Im ( _s) cos( _s )

A  G j t  G j t (2.29)

Böylece birim basamak cevabı Denklem 2.30’da görüldüğü gibi elde edilir.

 

1(2)

4 1 1

( ) Re ( _s) sin( _s ) Im[ ( _s)]cos( _s )

k

y t G jk k t G jk k t

k   k  







 

   

 



(2.30)

İdeal birim basamak cevabı için T   ve _s 0 olması gerektiğinden ve ( _s)

G j ’ın sanal kısmının payı  tarafından çarpım durumunda olacağından, _s

 

0

lim Im ( ) 0

s

G j s

 

  olur. Böylece Denklem 2.30 sadeleştirilerek Denklem 2.25 elde edilir. Bu denklem G s( )’in birim basamak cevabıdır. Benzer şekilde birim basamak cevabının türevi olan birim darbe cevabı ise Denklem 2.31’de verildiği gibi hesaplanabilir.

 

 

 

1(2)

1(2)

( ) 4

( ) Re ( ) cos( ) Im[ ( )]sin( )

4 Re ( ) cos( )

s

i s s s s s s

k

s s s

k

y t dy t G jk k t G jk k t

dt

G jk k t

     



  











  







^(2.31)

FSM yöntemi kullanılarak bir G s( ) transfer fonksiyonunun birim basamak cevabını hesaplamak için Denklem 2.25 kullanılarak bir Matlab programı geliştirilmiştir. Transfer fonksiyon verilerinin yanı sıra program için gerekli olan diğer giriş parametreleri, kare dalganın frekansı  , yüksek frekans değeri _s  , kare _h

29

dalga için alınabilecek en büyük tek harmonik sayısı n ve simülasyon zaman parametreleri t ve t_m dir. Çıkış t zaman aralıkları ile t  ’dan 0 t_m’ye kadar olan zaman dilimi için hesaplanır. Bu parametreler program kullanıcısı tarafından seçilip girilebileceği gibi, varsayılan değerlerde mevcuttur ve bu durumda program aşağıdaki şekilde ilerlemektedir.

1. G s( ) girilir.

2.  frekansı, sonlu olduğu varsayılarak _s _s 0.01_3dBolarak hesaplanır, burada

 ,3dB G(0)’ın altında ilk 3dB noktasındaki frekans değeridir.

3.  frekansı _h _h 100_3dB olarak hesaplanır ve n değeri ( _h / _s) 1 10001  ’e eşittir.

4. Simülasyon süresi varsayılan olarak T / 4 aralığında 200 nokta olarak alınır.

Böylece ^t



^{0 :T/ 800 :T / 4}



şeklinde ifade edilir.

5. k ’nın 1,3,5,....,10001 değerleri için Denklem 2.25 veya 2.31 kullanılarak sırasıyla birim basamak veya birim darbe cevapları hesaplanabilir.

Örnek 2.2: Bu örneğin amacı Denklem 2.32’de verilen tamsayı dereceli transfer fonksiyonunu dikkate alarak FSM yönteminin doğruluğunu kanıtlamaktır.

2

4 3 2

1.5 3 1.5

( ) 3 3.5 3 1.5

s s

G s s s s s

 

     (2.32)

Verilen transfer fonksiyonunun frekans cevabı üzerinden _3dB 1.601 rad/s, 0.01601

s  rad/s ve _h 160.1 rad/s olarak hesaplanmıştır. Bu örnek için simülasyon süresi ise t [0 : 0.5 : 40] olarak alınmıştır. Matlab ve FSM programı tarafından elde edilen birim basamak ve birim darbe cevapları sırasıyla Şekil 2.3 a ve b’de görülmektedir. Matlab ve FSM sonuçlarının birbirine çok yakın olması sebebiyle Şekil 2.3 c ve d’de görülen hata grafikleri çizdirilmiştir. Bu grafikler üzerinden birim basamak cevabı için hata miktarının 2.31 10 ^7 değerinden ve birim darbe cevabı için ise 7.42 10 ^5 değerinden daha düşük olduğu görülmektedir. FSM programının hesaplama süresi, n harmonik sayısına ve simülasyon süresine bağlıdır.

Bu örnek için farklı n değerleri ile birlikte varsayılan değer (n 10001) için

30

programın hesaplama süreleri ve maksimum hata değerleri Çizelge 2.4’te verilmiştir.

Çizelge 2.4 incelendiğinde 3.5-5 saniye hesaplama sürelerinde yaklaşık olarak 10^3 den daha düşük hata değerlerinde çıkışlar elde edilebildiği görülmektedir.

Çizelge 2.4. Farklı harmonik sayıları ( n ) için FSM programı hesaplama performansı Harmonik sayısı ( n ) Hesaplama süresi (s) Maksimum hata

201 1.30 _{2.10 10} ^2

501 2.38 _{2.71 10} ^3

1001 4.50 _{2.22 10} ^4

5001 19.60 _{2.37 10} ^6

10001 38.36 _{2.31 10} ^7

Şekil 2.3. a) Denklem 2.32’nin birim basamak cevabı b) Denklem 2.32’nin birim darbe cevabı c) Birim basamak cevaplarındaki hata miktarı d) Birim darbe cevaplarındaki hata miktarı

Örnek 2.3: Bu örnekte Denklem 2.33’te verilen transfer fonksiyon dikkate alınarak, Oustaloup ve Matsuda yöntemlerinin karşılaştırması verilmiştir.

31

2.5

4 4

( ) 2 5 4

G s s

s s

 

  (2.33)

Bu transfer fonksiyon için FSM programının çalıştırılmasında gerekli olan frekans değerleri, transfer fonksiyonun frekans cevabı üzerinden elde edilen _3dB 2.908 rad/s frekansı kullanılarak, _s 0.02908 rad/s ve _h 290.8 rad/s olarak hesaplanmıştır.

Denklem 2.33’te s^0.5’in Çizelge 2.3’ten elde edilen Oustaloup üçüncü ve beşinci dereceden yaklaşık transfer fonksiyonları yerine koyulduğunda sırasıyla Denklem 2.34 ve 2.35’te verilen G s( )’in yaklaşık transfer fonksiyonları elde edilir.

3 2 0.5

4 3 2

5 4 3 2

4 4

( ) 2 ( ) 5 4

4 198.68 614.28 459.6 40 20 214.8 344.69 721.18 469.6 40

ous

G s s

s s s

s s s s

s s s s s

 

 

   

     

(2.34)

5 2 0.5

6 5 4 3 2

7 6 5 4 3 2

4 4

( ) 2 ( ) 5 4

4 303.9 3373.9 7946 6066 1234 40

20 602 2814.85 5679.38 9313.94 6366.5 1244 40

ous

G s s

s s s

s s s s s s

s s s s s s s

 

 

     

       

(2.35)

3( )

Gous s , G_ous5( )s ve FSM yöntemi kullanılarak elde edilen birim basamak cevapları Şekil 2.4’te gösterilmiştir. Oustaloup metodu ve FSM arasındaki hata grafikleri ise Şekil 2.5’te verilmiştir.

Denklem 2.33’te s^0.5’in Çizelge 2.2’den elde edilen Matsuda üçüncü ve dördüncü dereceden yaklaşık transfer fonksiyonları yerine koyulduğunda sırasıyla Denklem 2.36 ve 2.37’de verilen G s( )’in yaklaşık transfer fonksiyonları elde edilir.

3 2 0.5

4 3 2

5 4 3 2

4 4

( ) 2 ( ) 5 4

4 439.2 1454.4 1093.5 74.3 37.16 514.6 765.6 1711.2 1112.1 74.3

mat

G s s

s s s

s s s s

s s s s s

 

 

   

     

(2.36)

32

4 2 0.5

5 4 3 2

6 5 4 3 2

4 4

( ) 2 ( ) 5 4

0.0342 19.85 102.868 135.34 55.98 4 2 26.4275 66.407 133.46 148.506 56.98 4

mat

G s s

s s s

s s s s s

s s s s s s

 

 

    

      

(2.37)

Aynı şekilde G_mat3( )s , G_mat4( )s ve FSM yöntemi kullanılarak elde edilen birim basamak cevapları Şekil 2.6’da gösterilmiştir. Matsuda metodu ve FSM arasındaki hata grafikleri ise Şekil 2.7’de verilmiştir.

Grafikler incelendiğinde her bir yaklaşım yöntemi için yüksek dereceli yaklaşımlarda normal olarak hataların daha düşük olduğu görülmektedir. Ayrıca en büyük hata değerleri üst ve alt aşım civarlarında gerçekleşmektedir. Bu örnekte zaman cevabı üzerindeki en büyük hata Matsuda dördüncü dereceden yaklaşım için Oustaloup beşinci dereceden yaklaşıma göre daha küçüktür. Fakat t 0.8 anında, Oustaloup yöntemi sıfır hata verirken, Matsuda yöntemi 1.04 10 ^3 değerinde bir hata vermektedir.

Şekil 2.4. FSM, G_ous3( )s ve G_ous5( )s kullanılarak hesaplanan birim basamak cevapları

33

Şekil 2.5. Oustaloup ve FSM arasındaki hata grafikleri

Şekil 2.6. G_mat3( )s , G_mat4( )s ve FSM ile hesaplanan birim basamak cevapları

34

Şekil 2.7. Matsuda ve FSM arasındaki hata grafiği

Örnek 2.4: Bu örnekte Denklem 2.38’de verilen KDTF’nun birim basamak cevabı çalışılmıştır ve sonuçlar üçüncü dereceden Oustaloup yaklaşımı ile karşılaştırılmıştır.

2.2 0.8

( ) 1

0.8 0.5 1

G s  s s

  (2.38)

s0.2 ve s^0.8 terimleri için Oustaloup üçüncü dereceden yaklaşık transfer fonksiyonları sırasıyla Denklem 2.39 ve 2.40’ta verilmiştir.

3 2

0.2

3 2

2.512 41.74 30.71 1 30.71 41.74 2.512

s s s

s s s s

  

    (2.39)

3 2

0.8

3 2

39.81 261.4 77.14 1 77.14 261.4 39.81

s s s

s s s s

  

    (2.40)

Bu yaklaşık transfer fonksiyonlar Denklem 2.38’de yerine koyulduğunda Denklem 2.41’de görülen yaklaşık transfer fonksiyon elde edilir.

35

6 5 4 3 2

3 8 7 6 5 4 3

2

108 2674 11351 12411 2325 100 ( ) 2 188 3150.9 11622 15450 19272

14400 2443.1 101.3

ous

s s s s s s

G s

s s s s s s

s s

     

      

 

(2.41)

Şekil 2.8. FSM kullanılarak gerçek sistemin ve Denklem 2.41’de verilen G_ous3( )s ’in birim basamak cevapları

FSM yöntemi ve G_ous3( )s transfer fonksiyonu ele alınarak hesaplanan birim basamak cevapları Şekil 2.8’de görülmektedir. İki yöntem arasındaki hata grafiği Şekil 2.9’da verilmiştir. Ayrıca FSM yöntemi ile elde edilen birim basamak cevabı

%2 lik tolerans bandına t 46 saniyede fakat Oustaloup ile elde edilen yaklaşık birim basamak cevabı ise t 73 saniyede girmektedir. Yöntemlerin kalıcı hal hataları incelendiğinde, t 100 saniyede FSM yöntemi için 0.0032 olan hata Oustaloup yaklaşım yöntemi için 0.0153 tür. Daha büyük zamanlar için Oustaloup yaklaşım yöntemine ait birim basamak cevabında 1-100/101.3=0.0129 değerinde bir kalıcı hal hata görülür.

36

Şekil 2.9. Denklem 2.41’de verilen G_ous3( )s ve FSM ile hesaplanan birim basamak cevapları arasındaki hata grafiği

Örnek 2.5: Bir kontrol sisteminin kapalı çevrim transfer fonksiyonu oldukça karmaşık bir yapıda olabilir. Bu örnekte Denklem 2.42’de verilen karmaşık yapılı kesir dereceli bir transfer fonksiyon ele alınmıştır.

1.12

5.25 3.77 2.92 1.68 1.43

0.4 0.3

( ) 4 6 4 1.3 0.3

G s s

s s s s s

 

     (2.42)

Denklem 2.42’de verilen transfer fonksiyon s^0.12, s^0.25, s^0.77, s^0.92, s^0.68 ve s^0.43 gibi üstel terimlere sahiptir. Bu tip bir transfer fonksiyonda eğer her bir üstel terim için yaklaşım yöntemlerinin formülleri kullanılarak Matlab ortamında yaklaşık transfer fonksiyonları hesaplanabilir. Hesaplanan yaklaşık transfer fonksiyonlar,

( )

G s transfer fonksiyonunda yerine koyulursa, G s( )’in yaklaşık transfer fonksiyonunun derecesi de uygun şekilde artacaktır. Böyle yüksek dereceli bir transfer fonksiyonu incelemek hem çok zaman alır hem de karmaşık işlemler

37

sırasında cebirsel hatalar meydana gelebilir. Örnek olarak eğer her bir terim için üçüncü dereceden bir yaklaşım kullanılsa bile, G s( )’in yaklaşık transfer fonksiyonu 23. dereceden olur, daha fazla doğruluk elde etmek için beşinci dereceden yaklaşım kullanılsa G s( )’in yaklaşık transfer fonksiyonu 35. dereceden olacaktır. Diğer taraftan FSM yöntemi, böylesine karmaşık yapıda bir kesir dereceli transfer fonksiyonun birim basamak ve birim darbe cevaplarını Şekil 2.10’da görüldüğü gibi saniyeler mertebesinde hesaplayabilir ve sonuç için çok minimal hatalar ihmal edildiğinde neredeyse kesin denilebilir. Kullanıcı isterse hesaplamanın doğruluğunu daha da arttırabilmek için varsayılan parametreleri kullanmayıp, daha düşük frekanslı bir kare dalga ve yüksek harmonik sayısı ile işlemleri yaptırabilir.

Şekil 2.10. Denklem 2.42’de verilen G s( )’in FSM ile hesaplanmış: a) birim basamak cevabı b) birim darbe cevabı

Örnek 2.6: Bu örnekte Denklem 2.38 ve 2.42’de verilen KDTF’ların birim basamak cevapları çalışılmıştır ve GL nümerik yaklaşım yöntemi ile yapılan karşılaştırma sonuçları verilmiştir.

38

GL nümerik yaklaşım yöntemi [29, 120], verilen KDTF’nun tamsayı dereceli rasyonel transfer fonksiyonunu belirlemeksizin birim basamak cevabını hesaplamak için kullanılabilir. GL metodu ile elde edilen birim basamak cevabı sonuçları, genellikle simülasyon adım zaman aralığı t yeterince küçük seçildiğinde doğru sonuçlar vermektedir. GL metodunun doğruluğu çok güçlü bir şekilde t değerine bağlıdır.

Denklem 2.38’de verilen sadece kutuplardan oluşan KDTF’nun farklı adım zaman aralıkları için FSM ve GL metotları kullanılarak hesaplanan birim basamak cevapları Şekil 2.11’de gösterilmiştir.  t 0.5 ve  t 0.01 değerleri için FSM ve GL metotları arasındaki hatalar Şekil 2.12’de verilmiştir. Benzer şekilde Denklem 2.42’de verilen KDTF’nun da farklı  adım zaman aralıkları için FSM ve GL t metotları ile hesaplanan birim basamak cevapları Şekil 2.13’te sunulmuştur. Ayrıca

0.05

 t için FSM ve GL metotları arasındaki hata Şekil 2.14’te verilmiştir.

Şekil 2.11. Farklı t değerleri için FSM ve GL kullanılarak Denklem 2.38’in birim basamak cevapları

39

Şekil 2.12.  t 0.5 ve  t 0.01 için FSM ve GL arasındaki hata

Şekil 2.13. FSM ve farklı t değerleri için GL metodu kullanılarak Denklem 2.42’nin birim basamak cevapları

40

Şekil 2.14.  t 0.05 için GL ve FSM arasındaki hata

GL metodunun hesaplama süresi, t adım zaman aralığına bağlıdır. Örnek olarak Şekil 2.11’de verilen birim basamak cevaplarının hesaplama süreleri, n 1001 için FSM ve  t 0.01 için GL metotları kullanılarak sırasıyla 7.02 ve 6.92 saniye olarak tespit edilmiştir. Örnek 2.2’de gösterildiği gibi, FSM metodu için hesaplama süresi daha düşük harmonik sayıları alınarak düşürülebilir. Örneğin n 501 yapıldığında FSM metodu ile hesaplama süresi 7.02 saniyeden 3.8 saniyeye düşmektedir. Diğer taraftan Şekil 2.12’den görülüyor ki  t 0.01 için GL metodunun maksimum hatası 2.5 10 ^2 dir. Bu hata  ’nin değeri düşürülerek azaltılabilir. Ancak bu durum t hesaplama süresini artıracaktır. Örneğin  t 0.005 alındığı zaman GL metodunun hesaplama süresi 25.44 saniyeye çıkar ve hesaplamadaki maksimum hata miktarı ise 1.3 10 ^2 değerine düşer.

41

2.2.4. IFTM Kullanılarak Kesir Dereceli Transfer Fonksiyonların Zaman

Belgede Kesir dereceli kontrol sistemlerinde zaman cevaplarının hesaplanması ve kontrol uygulamaları (sayfa 43-58)