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Tarski inicia comentando o caráter intuitivo dos quatro primeiros axiomas e o não intuitivo do quinto axioma:

[p.174]-1 O sentido intuitivo dos AXS. 1-4 não requer elucidação a mais. O AX. 5 ga-

rante uma formulação precisa do fato de que toda expressão consiste em um número finito de signos.

105 O próprio Tarski dá os problemas de uma crença absoluta na obviedade dos axi-

omas de 1-4 como vimos na nota de rodapé 60 neste trabalho. Um interessante artigo de autoria do professor Bhupinder Singh Anand, intitulado A constructive definition of the

intuitive truth of the Axioms and Rules of Inference of Peano Arithmetic(ANAND,B.S.,

[2007]), procura resolver exatamente este ponto do trabalho de Tarski. O artigo é curtís-

simo (apenas uma página e meia) e não é fora de sentido citar-lhe longos trechos que somados e exponham aqui na íntegra. A respeito de axiomas da Aritmética de Peano (que equivalem aos axiomas 1-4 vistos anteriormente na exposição de Tarski), Bhupin- der Anand escreve (ANAND,B.S., [2007], p.6):

“Há uma notável, embora despercebida, conseqüência do artigo original de Turing de 1936 (‘On computable nunmbers, with an application to the Entscheidungsproblem’ (...)). Ele admite uma definição construtiva do que se entende intuitivamente pela afirmação de que os axi- omas e regras de inferência de primeira ordem da Aritmética de Peano são intuitivamente verda- deiros sob a interpretação padrão, no sentido de Tarski (1936 (...).)76_.

Especificamente:

Meta-teorema: Se uma fórmula, e.g. [R(x1, x2, ..., xn)], é um teorema de primeira ordem

de uma Aritmética de Peano, então há uma máquina de Turing, T, tal que, dado qualquer conjun- to de números naturais (a1, a2, ..., an) como entrada, T computará a proposição aritmética R(a1,

a2, ..., an) como VERDADE em um número finito de passos.

Prova: Considere os PA-axiomas77_:

A1: [(x1 = x2) → ((x1 = x3) → (x2 = x3))]; A2: [(x1 = x2) → (x’1 = x’2)]; A3: [0 ≠ x’1]; A4: [(x’1 = x’2) → (x1 = x2)]; A5: [(x1 + 0 = x1)]; A6: [(x1 + x’2) = (x1 + x2)’]; A7: [(x1* 0 = x1)]; A8: [(x1* x’2) = ((x1* x2) + x1)];

A9: Para qualquer fórmula bem formada [F(x)] de PA: [(F(0) → ( x)(F(x)) → (F(x’)))

→ ( x)F(x)].

Agora, cada um dos PA-axiomas pode intuitivamente vir a ser Turing-computado sem- pre como VERDADE no seguinte, definicional, sentido:

D1: Uma relação totalmente número-teorética, R(x1, x2, ..., xn), quando tratada como

uma função Booleana, é Turing-computável se, e somente se, há uma máquina de Turing T tal que, para qualquer sequência dada de números naturais, (a1, a2, ..., an) como ou VERDADE, ou

como FALSO.

D2: Se [R] é uma fórmula atômica [R(a1, a2, ..., an)] de PA, então [R] é Turing-

computável como VERDADEIRO/FALSO para o número natural de entrada (a1, a2, ..., an) se, e

76 _{Trata-se do artigo TARSKI,A.; [1983b], que vimos estudando neste livro.} 77 _{PA abrevia “Aritmética de Peano”.}

106

somente se, a relação aritmética R(a1, a2, ..., an) é Turing-computável como VERDADEI-

RO/FALSO nos números de entrada (a1, a2, ..., an).

D3: A PA-fórmula [¬R] é Turing-computável como VERDADEIRO para os números

naturais de entrada (a1, a2, ..., an) se, e somente se, [R] é Turing-computável como FALSO para

os números naturais de entrada (a1, a2, ..., an).

D4: A PA-fórmula [R → S] é Turing-computável como VERDADE para os números

naturais de entrada (a1, a2, ..., an) se, e somente se, ou [R] é Turing-computável como FALSO

para os números naturais de entrada (a1, a2, ..., an), ou [S] é Turing-computável como VERDA-

DEIRO para os números naturais de entrada (a1, a2, ..., an).

D5: A PA-fórmula [R] é Turing-computável sempre como VERDEIRA se, e somente

se, [R] é Turing-computável como VERDADEIRO para quaisquer dados números naturais de entrada (a1, a2, ..., an).

D6: A PA fórmula [¬R] é Turing-computável sempre como VERDADEIRA se, e so-

mente se, [R] é Turing-computável como FALSO para quaisquer dados números naturais de en- trada (a1, a2, ..., an).

D7: A PA-fórmula [( xi)R] é Turing-computável como VERDADEIRO se, e somente

se, [R] é Turing-computável como VERDADEIRO para quaisquer dados números naturais de entrada (a1, a2, ..., an) .

D8: A PA-fórmula [¬( xi)R] é Turing-computável como VERDADEIRA se, e somente

se [( xi)R] não é Turing-computável como VERDADEIRA.

Então se assumimos, por exemplo, que o axioma A1 é intuitivamente verdadeiro no sen-

tido Tarskiano – i.e. que a PA-fórmula, [(x1 = x2) → ((x1 = x3) → (x2 = x3))], interpretada como

uma relação aritmética, (x1 = x2) → ((x1 = x3) → (x2 = x3)), que vale para qualquer substituição

por números naturais nas variáveis nela contidas – então segue-se que A1 interpretada como uma

relação aritmética é Turing-computável sempre como VERDADEIRA. Similar argumento vale para os axiomas de A2 até A8.

Essa discussão de Bhupinder Anand a respeito da PA-axiomática esclarece bas- tante como devemos olhar a “obviedade” dos axiomas devido ao seu caráter intuitivo e, em especial, satisfaz uma excelente consideração a respeito do caráter intuitivo dos axi- oma 1-4 de Tarski. O axioma 5 ainda carrega, porém, alguma problemática.

O Axioma 5 é a garantia de que as expressões metalinguísticas têm complexidade (comprimento) finita e que também as expressões proveniente de junção (concatenação) de duas ou mais expressões também são finitas. De fato, os itens A, B, C, D, E e F vistas em [p.172]-5 caracterizam, e só eles caracterizam, expressões metalingüísticas. Se só existem na metalinguagem expressões com tais características e se elas pertencem a dada classe de expressões, qualquer expressão metalingüística pertence a essa classe. Esse axioma é importante para estabelecer mais tarde os conceitos de sentença axiomática (ou primitiva), conseqüência e sentença demonstrável. Em Tarski, A.; [1983b] essa passagem merece a seguinte nota de rodapé feita pelos editores:

107

“O conjunto axiomático formulado aqui foi publicado pela primeira vez em 1933, no original po- lonês do presente artigo. No mesmo ano também apareceu no original alemão do artigo IX (ver p.282).78 A teoria baseada neste conjunto axiomático é usualmente referida como a teoria das sequências ou teoria da concatenação. De um ponto de vista matemático ela é simplesmente a teoria dos semigrupos livres (com um número fixo, finito ou infinito, de geradores). Para maio- res informações e referências bibliográficas a respeito da axiomatização desta teoria veja Corco- ran-Frank-Maloney (14†)79_”

O leitor atento deve ter percebido que o axioma A9 da Aritmética de Peano cita-

do por Bhupinder Anand corresponde ao Axioma 5 de Tarski: tratam-se ambos do Prin- cípio de Indução. O que Bhupinder Anand escreveu para o A9 vale para o Axioma 5 de

Tarski(ANAND,B.S., [2007], p.6-7):

“Prosseguindo, se nós assumirmos que o Axioma da Indução, A9, é intuitivamente ver-

dadeiro no sentido Tarskiano, então, novamente, teremos que a relação aritmética expressada por:

(F(0) → ( x)(F(x)) → (F(x’))) → ( x)F(x)

é Turing-computável sempre como VERDADEIRO, desde que:

(a) Se F(0) é intuitivamente verdadeiro tarskianamente, então F(0) é Turing computá- vel sempre como VERDADEIRO;

(b) Se a relação aritmética, ( x)(F(x)) → (F(x’)), é intuitivamente verdadeira tarskia- namente – i.e., (F(x) → F(x’)) vale para qualquer dado número natural x – então (F(x) → F(x’) é Turing-computável sempre como VERDADEIRO;

(c) Se F(0) é Turing-computável sempre como VERDADEIRO, e (F(x) → (F(x’)) é Turing computável sempre como VERDADEIRO, então F(x) é Turing-computável sempre como VERDADEIRO.

É claro que todo sistema axiomático exige uma regra de inferência. Mesmo no caso dos axiomas 1-5 (que são metaxiomas, por seu uso pela metalinguagem), a regra de inferência será aquela do sistema Russell-Whitehead, vista em [p.173]-9. O que poderí-

78 _{Essa numeração de página é a de Logic, Semantics, Metamathematics – papers from 1923 to 1938, Se-} gunda Edição, Hackett Publishing Company, EUA e se refere ao artigo Some Observations on the Con- cepts of ω-Consistency and ω-Completeness, onde esses cinco axiomas aparecem também.

79 _{A referência (14†) é do mesmo Logic, Semantics, Metamathematics – papers from 1923 to 1938, Se-} gunda Edição, Hackett Publishing Company, EUA. (14†): J. Corcoran, W. Frank, and M. Maloney,

108 amos dizer aqui sobre a face intuitiva da regra modus ponens já foi dito na nota de roda-

pé 55 deste livro.