5. FONKSYONLARIN ÇFT DZLERNN DEAL YAKINSAKLII
5.4. Fonksiyonlarn Çift Dizilerinde Düzgün deal Yaknsaklk
Bu ksmda, fonksiyonlarn çift dizileri için düzgün ideal yaknsaklk tanm ve ilgili teoremleri ispatlaryla verece§iz.
Tanm 5.4.1. S ⊂ R üzerindeki fonksiyonlarn bir {fmn}çift dizisini ve S ⊂ R
üzerinde f fonksiyonunu alalm. Her ε > 0 için,
{(m, n) ∈ N × N : |fmn(x) − f (x)| ≥ ε}
cümlesi tüm x ∈ S için I2 snfna ait ise fonksiyonlarn {fmn} çift dizisi f fonksiyo-
nuna düzgün I2-yaknsaktr denir ve bu
(∀ε > 0) (∃H ∈ I2) (∀(m, n) 6∈ H) (∀x ∈ S) |fmn(x) − f (x)| < ε
ile ifade edilebilir. Düzgün I2-yaknsaklk
fmn ⇒I2 f
³eklinde de gösterilir.
Teorem 5.4.1. I2, N × N üzerinde bir kuvvetli uygun ideal ve (m, n = 1, 2, ...)
için {fmn} ve f, D = [a, b] ⊂ R üzerinde sürekli fonksiyonlar olsunlar. D = [a, b]
üzerinde,
fmn ⇒I2 f
olmas için gerek ve yeter ³art
cmn =maks x∈D |fmn(x) − f (x)| olmak üzere, I2− lim m,ncmn= 0 bulunmasdr.
spat. D = [a, b] ⊂ R üzerinde
fmn ⇒I2 f
olsun. {fmn} ve f, D = [a, b] üzerinde sürekli fonksiyonlar oldu§undan,
|fmn(x) − f (x)|
D = [a, b]üzerinde her m, n ∈ N için sürekli olup, düzgün I2-yaknsaklk gere§i, her
ε > 0için n (m, n) ∈ N × N : |fmn(x) − f (x)| ≥ ε 2 o cümlesi tüm x ∈ D için I2 snfna aittir. Buradan, her ε > 0 için
cmn =maks
x∈D |fmn(x) − f (x)| ≥ |fmn(x) − f (x)| ≥
ε 2 e³itsizli§i tüm x ∈ D için sa§lanr. Böylece,
I2− lim
m,n→∞cmn = 0
e³itli§i elde edilir.
imdi I2− limm,ncmn = 0 oldu§unu kabul edelim. Bu durumda, ε > 0 için
A(ε) =
(m, n) ∈ N × N : maks
x∈D |fmn(x) − f (x)| ≥ ε
cümlesi tüm x ∈ D için I2 snfna aittir. ε > 0 için
B(ε) = {(m, n) ∈ N × N : |fmn(x) − f (x)| ≥ ε}
cümlesini tanmlayarak,
B(ε) ⊂ A(ε)
kapsamasnn geçerli oldu§unu gösterelim. Her (m, n) ∈ B(ε) için maks
x∈D |fmn(x) − f (x)| ≥ |fmn(x) − f (x)| ≥ ε
e³itsizli§i sa§lanr. Böylece, her (m, n) ∈ B(ε) için (m, n) ∈ A(ε) yani B(ε) ⊂ A(ε) kapsamas elde edilir. Bu ise, B(ε) cümlesinin I2 snfna ait oldu§unu gösterir.
Tanm 5.4.2. I2, N × N üzerinde bir gerçek ideal, {fmn}, S üzerindeki fonksi-
yonlarn bir çift dizisi ve f, S üzerinde bir fonksiyon olsun. Her ε > 0 için, lim
m,n→∞ (m,n)∈M
fmn(x) = f (x)
e³itli§ini tüm x ∈ S için sa§layan bir M ∈ F(I2)(yani N×N\M ∈ I2) cümlesi varsa,
S üzerindeki fonksiyonlarn {fmn} çift dizisi S üzerinde f fonksiyonuna düzgün I2∗-
yaknsaktr denir ve
fmn⇒I∗ 2 f
Teorem 5.4.2. I2, N × N üzerinde bir kuvvetli uygun ideal ve (m, n = 1, 2, ...)
için {fmn}, S üzerindeki sürekli fonksiyonlarn bir çift dizisi ve f, S üzerinde bir
fonksiyon olsun. Her x ∈ S için
fmn ⇒I∗ 2 f
ise f fonksiyonu S üzerinde süreklidir. spat. S üzerinde fmn ⇒I∗
2 f olsun. Bu durumda, her ε > 0 için tüm m > k0 ve
n > l0 oldu§unda,
|fmn(x) − f (x)| <
ε
3, (m, n) ∈ M
e³itsizli§ini tüm x ∈ S için sa§layan bir M ∈ F(I2) (yani H = N × N\M ∈ I2)
cümlesi ve k0 = k0(ε), l0 = l0(ε) ∈ N saylar vardr. imdi key x0 ∈ S alalm.
{fk0l0}, x0 ∈ S noktasnda sürekli oldu§undan, her x ∈ S için,
|x − x0| < δ
iken,
|fk0l0(x) − fk0l0(x0)| <
ε 3
e³itsizli§ini sa§layan bir δ > 0 says vardr. Böylece, tüm x ∈ S için |x − x0| < δ oldu§unda, |f (x) − f (x0)| ≤ |f (x) − fk0l0(x)| + |fk0l0(x) − fk0l0(x0)| + |fk0l0(x0) − f (x0)| < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε
e³itsizli§i elde edilir. x0 ∈ S key oldu§undan f, S üzerinde süreklidir.
Teorem 5.4.3. I2, N × N üzerinde (AP2) ³artn sa§layan bir kuvvetli uygun
ideal, S cümlesi R' nin bir kompakt alt cümlesi ve {fmn}, S üzerindeki fonksiyonlarn
bir çift dizisi olsun. S üzerinde, f fonksiyonunun sürekli ve I2− lim
m,n→∞fmn(x) = f (x)
oldu§unu kabul edelim. Fonksiyonlarn {fmn} çift dizisi S üzerinde monoton azalan,
yani her x ∈ S için
f(m+1),(n+1)(x) ≤ fmn(x), (m, n = 1, 2, ...)
ise, S üzerinde
fmn ⇒I2 f
spat. S üzerindeki fonksiyonlarn bir
gmn = fmn− f
(5.4.1)
çift dizisini alalm. S üzerindeki fonksiyonlarn {fmn} çift dizisi sürekli ve monoton
azalan ve f fonksiyonu da sürekli oldu§undan, {gmn}, S üzerinde sürekli ve monoton
azalan fonksiyonlarn bir çift dizidir. I2− lim
m,n→∞fmn(x) = f (x)
oldu§undan, (5.4.1) e³itli§i gere§i S üzerinde I2− lim
m,n→∞gmn(x) = 0
olup ve I2 ideali (AP2) ³artn sa§lad§ndan, S üzerinde
I2∗− lim
m,n→∞gmn(x) = 0
e³itli§i geçerli olur. Bu durumda, her ε > 0 için m ≥ m(x) ve n ≥ n(x) oldu§unda, 0 ≤ gmn(x) <
ε
2, ((m, n), (m(x), n(x)) ∈ Kx)
e³itsizli§ini tüm x ∈ S için sa§layan bir Kx ∈ F (I2) cümlesi vardr. Fonksiyonlarn
{gmn} çift dizisi x ∈ S noktasnda sürekli oldu§undan, her ε > 0 için x noktasn
eleman kabul eden ve
|gm(x)n(x)(t) − gm(x)n(x)(x)| <
ε
2, (t ∈ A(x))
e³itsizli§ini sa§layan bir A(x) açk cümlesi vardr. Böylece ε > 0 verildi§inde, mono- tonluktan dolay her t ∈ A(x) için m ≥ m(x) , n ≥ n(x) oldu§unda,
0 ≤ gmn(t) ≤ gm(x)n(x)(t)
= gm(x)n(x)(t) − gm(x)n(x)(x) + gm(x)n(x)(x)
≤ |gm(x)n(x)(t) − gm(x)n(x)(x)| + gm(x)n(x)(x), ((m, n) ∈ Kx)
e³itsizli§i elde edilir. S ⊂ Sx∈SA(x) ve S kompakt oldu§undan, Heine - Borel Te-
oremi gere§ince,
S ⊂ A(x1) ∪ A(x2) ∪ A(x3) ∪ ... ∪ A(xi)
kapsamas geçerli olacak ³ekilde S, sonlu bir açk örtüye sahiptir. imdi, K = Kx1 ∩ Kx2 ∩ Kx3 ∩ ... ∩ Kxi
cümlesini ve
M =maks m(x1), m(x2), m(x3), ..., m(xi) ,
N =maks n(x1), n(x2), n(x3), ..., n(xi)
saylarn tanmlayalm. Her Kxi ∈ F (I2) oldu§undan K ∈ F(I2) elde edilir. Bu
durumda, her t ∈ A(x) için (m, n) ≥ (M, N) oldu§unda, 0 ≤ gmn(t) < ε, (m, n) ∈ K
e³itsizli§i sa§lanr. Böylece, S üzerinde gmn ⇒I∗
2 0
olup, Teorem 5.2.1 gere§i, S üzerinde
gmn⇒I2 0
elde edilir ki, bu da (5.4.1) e³itli§i gere§i S üzerinde fmn ⇒I2 f
oldu§unu gösterir. Böylece ispat tamamlanm³ olur.
imdi fonksiyonlarn çift dizileri için, kompakt metrik uzaylar üzerinde sürek- lilik, e³ süreklilik ve I2 -yaknsaklk ile ilgili a³a§daki teoremi verece§iz.
Teorem 5.4.4. I2, N × N üzerinde bir kuvvetli uygun ideal, (X, dx) ve (Y, dy)
metrik uzaylar, fmn : X → Y, (m, n ∈ N), fonksiyonlar e³ sürekli ve f : X → Y bir
fonksiyon olmak üzere,
fmn →I2 f
oldu§unu kabul edelim. Bu durumda f, X üzerinde süreklidir. X kompakt ise fmn ⇒I2 f
önermesi geçerlidir.
spat. Önce f fonksiyonunun sürekli oldu§unu gösterelim. x0 ∈ X ve ε > 0 alalm.
fmn' ler e³ sürekli oldu§undan, her m, n ∈ N ve x ∈ Bδ(x0)için
dy fmn(x), fmn(x0) <
ε 3
olacak ³ekilde bir δ > 0 says vardr. x ∈ Bδ(x0)key olsun. fmn →I2 f oldu§undan,
n (m, n) ∈ N × N : dy(fmn(x0), f (x0)) ≥ ε 3 o ∪n(m, n) ∈ N × N : dy(fmn(x), f (x)) ≥ ε 3 o cümlesi I2 idealine aittir ve N × N cümlesinden farkldr. Buradan, (m, n) ∈ N × N
için dy fmn(x0), f (x0) < ε 3 ve dy fmn(x), f (x) < ε 3
e³itsizlikleri geçerlidir. Bu durumda, dy f (x0), f (x) ≤ dy f (x0), fmn(x0) + dy fmn(x0), fmn(x) + dy fmn(x), f (x) < ε 3+ ε 3+ ε 3 = ε
elde edilir ki, bu da f fonksiyonunun sürekli oldu§unu gösterir. imdi X uzayn kompakt alp,
fmn ⇒I2 f
oldu§unu gösterelim. ε > 0 olsun. X kompakt oldu§undan f düzgün süreklidir ve fmn' ler X üzerinde e³ - düzgün süreklidir. Bu nedenle, x, x0 ∈ X için
dx(x, x0) < δ iken dy fmn(x), fmn(x0) < ε 3 ve dy f (x), f (x 0) < ε 3
olacak ³ekilde bir δ > 0 says vardr. X uzaynn kompaktl§ndan, X uzaynn {Bx(δ)}x∈X örtüsünden sonlu bir
Bx1(δ), Bx2(δ), ..., Bxk(δ)
alt örtüsü seçilebilir. fmn →I2 f oldu§undan bütün (m, n) 6∈ M ve i ∈ {1, 2, ..., k}
için
dy fmn(xi), f (xi) <
ε 3
olacak ³ekilde bir M ∈ I2 cümlesi vardr. (m, n) 6∈ M ve x ∈ X olsun. Böylece baz
i ∈ {1, 2, ..., k} için x ∈ Bxi(δ) olur. Buradan,
dy fmn(x), f (x) ≤ dy fmn(x), fmn(xi) + dy fmn(xi), f (xi) + dy f (xi), f (x) < ε 3+ ε 3+ ε 3 = ε elde edilir ki, bu da
fmn ⇒I2 f
önermesini sa§lar.
Buraya kadar olan incelemelerimizden ve düzgün yaknsaklk ile yaknsaklk hakkndaki temel bilgilerimizden a³a§daki teoremi bir sonuç olarak ispatsz verebi- liriz.
Teorem 5.4.5. I2, N×N üzerinde bir kuvvetli uygun ideal, {fmn}, S üzerindeki
fonksiyonlarn bir çift dizisi ve f, S üzerinde bir fonksiyon olsun. Bu durumda S üzerinde; (i)fmn ⇒ f ⇒ fmn → f ⇒ fmn →I2 f ve (ii)fmn ⇒ f ⇒ fmn ⇒I2 f ⇒ fmn →I2 f olur.
Tanm 5.4.3. I2, N × N üzerinde bir kuvvetli uygun ideal ve {fmn}, S ⊂ R
üzerinde tanml fonksiyonlarn bir çift dizisi olsun. Her ε > 0 için, {(m, n) ∈ N × N : |fmn(x) − fst(x)| ≥ ε} ∈ I2
önermesini tüm x ∈ S için sa§layan s = s(ε) ve t = t(ε) ∈ N saylar varsa, fonksiyonlarn {fmn} çift dizisine düzgün I2-Cauchy dizi denir.
imdi düzgün I2-yaknsaklik için I2-Cauchy kriterini verelim.
Teorem 5.4.6. I2, N × N üzerinde (AP 2) ³artn sa§layan bir kuvvetli uygun
ideal olsun. Terimleri S ⊂ R üzerinde tanml fonksiyonlarn bir {fmn}çift dizisinin
düzgün I2-yaknsak olmas için gerek ve yeter ³art her ε > 0 için
{(m, n) ∈ N × N : |fmn(x) − fst(x)| < ε} 6∈ I2
(5.4.2)
önermesini her x ∈ S için sa§layan s = s(ε) ve t = t(ε) ∈ N saylarnn bulunmas- dr.
spat. Teoremin gereklilik ksmnn ispat, Teorem 5.3.1'deki tart³malara benzer ³ekilde yaplr.
Tersine, fonksiyonlarn {fmn} çift dizisi S üzerinde düzgün I2-Cauchy dizi
olsun. Bu durumda, her ε > 0 için
{(m, n) ∈ N × N : |fmn(x) − fst(x)| < ε} 6∈ I2
önermesini tüm x ∈ S için sa§layan s = s(ε) ve t = t(ε) ∈ N saylar vardr. Fonksiyonlarn bir {fmn} çift dizisinin S üzerinde I2-Cauchy dizi iken I2-yaknsak
oldu§unu Teorem 5.3.1' de göstermi³tik. S üzerinde I2 − limm,n→∞fmn(x) = f (x)
I2, (AP 2) ³artn sa§lad§ndan, (5.4.2) gere§i, her ε > 0 için m, n, s, t ≥ N
oldu§unda,
|fmn(x) − fst(x)| < ε, (m, n, s, t ∈ M )
(5.4.3)
e³itsizli§ini tüm x ∈ S için sa§layan bir M 6∈ I2 cümlesi ve N = N(ε) ∈ N says
vardr. (5.4.3) e³itsizli§inde, s, t → ∞ için limit ald§mzda, I2− lim
s,t→∞fst(x) = f (x)
olaca§ndan, her ε > 0 için m, n > N oldu§unda
|fmn(x) − f (x)| < ε, (m, n ∈ M )
e³itsizli§ini tüm x ∈ S için sa§lanr. Böylece S üzerinde, fmn ⇒I∗
2 f
elde edilir. I2, N × N üzerinde bir kuvvetli uygun ideal oldu§undan
fmn ⇒I2 f
önermesi geçerlidir.
Fonksiyonlarn çift dizileri için I2-Cauchy kriterini a³a§daki teorem ile de ifade
edebiliriz.
Teorem 5.4.7. I2, N × N üzerinde bir kuvvetli uygun ideal olsun. Terimleri
S ⊂ R üzerinde tanml ve reel de§erli fonksiyonlarn {fmn} çift dizisi düzgün I2-
yaknsak de§ildir gerek ve yeter ³art her ε > 0 için
{(m, n) ∈ N × N : |fmn(x) − fst(x)| ≥ ε} 6∈ I2
KAYNAKLAR
[1] A. PRINGSHEIM, Elementare Theorie der unendliche Doppelreihen, Sitsungs berichte der Math. Akad. der Wissenschatenzu Münch. Ber. 7 (1898), 101153. [2] G. H. HARDY, On the convergence of certain multiple series, Proc. Cambridge
Philos. Soc. 19 (1917), 8695.
[3] G. M. ROBISON, Divergent double sequences and series, Trans. Amer. Math. Soc. 28 (1) (1926), 5073.
[4] T. KOJIMA, On the theory of double sequence, Tôhoku Math. J. 21 (1922), 314.
[5] H. J. HAMILTON, Transformations of multiple sequences, Duke Math. J. 2 (1936), 2960.
[6] J. BOOS, T. LEIGER, K. ZELLER, Consistency theory for SM-methods, Acta Math. Hungar. 76 (1997), 83116.
[7] M. ZELTSER, Investigation of Double Sequences Spaces by Soft and Hard Analytical Methods, Dissertationes Mathematicae Universitatis Tartuensis, Tartu (2001).
[8] F. MÓRICZ, Extensions of the spaces c and c0 from single to double sequences,
Acta Math. Hungar. 57 (1-2) (1991), 129136.
[9] A. GÖKHAN, M. GÜNGÖR and M. ET, Statistical convergence of double se- quences of real-valued functions, Int. Math. Form 2 (8) (2007), 365374. [10] J. D. HILL, On perfect summability of double sequences, Bull. Amer. Math. Soc.
46 (1940), 327331.
[11] MURSALEEN, O. H. H. EDELY, Statistical convergence of double sequences, J. Math. Anal. Appl. 288 (2003), 223231.
[12] B. ALTAY, Baz Yeni Çift Dizi Uzaylar, Doktora Tezi, nönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Malatya (2002).
[13] H. FAST, Sur la convergenc statistique, Colloq. Math. 2 (1951), 241244. [14] I. J. SCHOENBERG, The integrability of certain functions and related summa-
[15] T. SALÁT, On statistically convergent sequences of real numbers, Math. Slovaca 30 (1980), 139150.
[16] J. A. FRIDY, On statistical convergence, Analysis 5 (1985), 301313.
[17] J. A. FRIDY, Statistical limit points, Poc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), 1187 1192.
[18] D. RATH, B. C. TRIPATY, On statistically convergence and statistically Ca- uchy sequences, Indian J. Pure Appl. Math. 25 (4) (1994) 381386.
[19] C. ÇAKAN, B. ALTAY, Statistically boundedness and statistical core of double sequences, J. Math. Anal. Appl. 317 (2006), 690697.
[20] J. A. FRIDY, C. ORHAN, Statistical limit superior and limit inferior, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), 36253631.
[21] J. CONNOR, K. DEMRC, C. ORHAN, Multipliers and factorizations for bounded statistically convergent sequences, Analysis 22 (2002), 321333.
[22] E. SAVAS, M. MURSALEEN, On statistically convergent double sequences of fuzzy numbers, Inform. Sci. 162 (2004), 183192.
[23] M. BALCERZAK, K. DEMS, A. KOMSARSK, Statistical convergence and ideal convergence for sequences of functions, J. Math. Anal. Appl. 328 (2007), 715729.
[24] J. CONNOR, On strong matrix summability with respect to a modulus and statistical convergence, Canad. Math. Bull. 32 (1989), 194198.
[25] F. MÓRICZ, Statistical convergence of multiple sequences, Arch. Math. (Basel) 81 (2003), 8289.
[26] F. NURAY, W. H. RUCKLE, Generalized statistical convergence and conver- gence free spaces, J. Math. Anal. Appl. 245 (2000), 513527.
[27] P. KOSTYRKO, T. SALÁT and W. WILCZYSKI, I-convergence, Real Anal. Exchange 26(2) (2000), 669686.
[28] P. KOSTYRKO, M. MAAJ, T. SALÁT and M. SLEZIAK, I-convergence and extremal I-limit points, Math. Slovaca 55 (2005), 443464.
[29] K. DEMS, On I-Cauchy sequence, Real Anal. Exchange 30 (2004/2005), 123 128.
[30] A. NABEV, S. PEHLVAN and M. GÜRDAL,On I-Cauchy sequence, Taiwa- nese J. Math. 11 (2) (2007), 569576.
[31] . YARDIMCI, Multipliers and factorizations for bounded I-convergent sequen- ces, Math. Commun. 11 (2006), 181185.
[32] F. GEZER, S. KARAKU, I and I∗ convergent function sequences, Math.
Commun. 10 (2005), 7180.
[33] V. BALÁZ, J. CERVENANSKÝ, P. KOSTYRKO, T. SALÁT, I-convergence and I-continuity of real functions, Acta Mathematica 5, Faculty of Natural Sciences, Constantine the Philosopher University, Nitra (2004), 4350.
[34] C. ÇAKAN, H. ÇOKUN, A class of I-conservative matrices, Int. J. Math. and Math. Sci. 21 (2005), 34433452.
[35] K. DEMRC, I-limit superior and limit inferior, Math. Commun. 6 (2001), 165172.
[36] B. K. LAHIRI, P. DAS, Further remarks on I-limit superior and I-limit inferior, Math. Commun. 8 (2003), 151156.
[37] B. K. LAHIRI, P. DAS, I and I*-convergence in topological spaces, Math. Bo- hem. 130 (2005), 153160.
[38] T. SALÁT, B. C. TRIPATHY, M. ZIMAN, On I-convergence eld, Ital. J. Pure Appl. Math. 17 (2005), 4554.
[39] B. C. TRIPATHY, B. HAZARIKA, I-convergent sequence spaces associated with multiplier sequences, Math. Ineq. and Appl. 11 (3) (2008), 543548. [40] L. ZAJCEK, Porosity and I-porosity, Real Anal. Exchange 13 (1987-88), 314
350.
[41] P. DAS, P. KOSTYRKO, W. WILCZYSKI, P. MALIK I and I∗-convergence
of double sequences, Math. Slovaca 58 (5) (2008), 605620.
[42] P. DAS, P. MALIK On extremal I-limit points of double sequences, Tatra Mt. Math. Publ. 40 (2008), 91102.
[43] M. GÜRDAL, A. AHNER, Extremal I2-limit points of double sequences,
Appl. Math. E-Notes 2 (2008), 131137.
[44] V. KUMAR, On I and I∗-convergence of double sequences, Math. Commun. 12
(2007), 171181.
[45] B. TRIPATHY, B. C. TRIPATHY, On I-convergent double sequences, Soochow J. Math. 31 (2005), 549560.
[46] I. J. MADDOX, Elements of Functional Analysis Cambridge University Press, Cambridge (1970).
[47] B. CHOUDHARY, S. NANDA, Functional Analysis with Applications, John wiley-Sons, New York (1989).
[49] J. BOOS, Classical and Modern Methods in Summability, Oxford University Press, Newyork (2000).
[50] M. BALCI, Matematik Analiz cilt 2, Ankara (1997).
[51] V.G. IYER, Mathematical Analysis, 3rded.. Tata McGraw- Hill Publihing Com-
pany Ltd. New Delhi (1985).
[52] I. NIVEN, H. ZUCKERMANN, H. L. MONTGOMERY, A Introduction to the Theory of Numbers, John Willey and Jons, Inc. 529 Fifth Ed. (1991).
ÖZGEÇM
1979 ylnda Hatay ilinin Reyhanl ilçesinde do§du. lk ve Ortaö§renimini Rey- hanl' da tamamlad. 1998 ylnda nönü Üniversitesi E§itim Fakültesi Matematik Ö§retmenli§i bölümünü kazand. Be³ yllk üniversite e§itimini 2003 ylnda ba³aryla tamamlayarak, mezun oldu. Ayn yl Adyaman iline matematik ö§retmeni olarak atand. nönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalnda 2003 ylnn güz döneminde yüksek lisans e§itimine ba³lad ve Temmuz 2006 y- lnda yüksek lisans e§itimini tamamlad. 2006 güz döneminde yine ayn üniversitede ve ayn alanda doktora e§itimine ba³lad. Hâlen Malatya ilinde Milli E§itim Bakan- l§'na ba§l Fethi Gemuhluo§lu Anadolu Ö§retmen Lisesi' nde matematik ö§retmeni olarak görev yapan Erdinç Dündar evli ve iki kz çocu§u babasdr.