6. ÖLÇÜMDE KULLANILAN EKİPMANLAR
6.3 dBFA Suite Paket Programı
6.3.1 FFT analizör
FFT analiz dijital spektrum analiz türlerinden bir tanesidir ve vibrasyon alanında en çok kullanılan sinyal analiz yöntemidir.
Spektrum analiz zaman domenindeki sinyal gösteriminin frekans domeni sinyal gösterimine dönüştürülmesi işlemidir, kökleri 19. yüzyılda birkaç matematikçinin teorik temelleri üzerine çalışmasına dayanır.
İyi bir matematik bilgisi olan mühendis Jean Baptiste Joseph Fourier Napolyon’un Mısır seferi sırasında topların aşırı ısınması problemi için ısı iletim çözümü olan Fourier Serilerini ortaya koydu. Topların aşırı ısınması frekans analizinden çok farklı gibi görünebilir, fakat her iki durum için aynı eşitliklerin uygulanması söz konusudur. Fourier daha sonra Fourier serilerini Fourier Integral dönüşümü şeklinde genelleştirdi. Dijital sinyal analizinin gelişimi doğal olarak DFT (Discrete Fourier Transform (Ayrık Fourier Dönüşümü(AFD))) ve FFT’yi (Fast Fourier Transform (Hızlı Fourier Dönüşümü(HFD))) ortaya çıkardı.
Fourier dönüşümünün Fourier serileri, Fourier integral dönüşümü, ayrık Fourier dönüşümü ve hızlı Fourier dönüşümü olmak üzere dört biçimi vardır.
6.3.1.1 Fourier serileri
Fourier, herhangi bir keyfi periyodik fonksiyonun, frekansla harmonik bağlantılı bir sonsuz sinüs serisiyle ifade edilebileceğini göstermiştir. Periyodu T olan bir fonksiyon için sürekli Fourier serisi aşağıdaki şekilde yazılabilir:
0 1 0 1 0 2 0 2 0
( ) cos( ) sin( ) cos(2 ) sin(2 ) ...
f t a a w t b w t a w t b w t (6.1)
veya daha genel formda:
0 1 0 0 ( ) kcos( ) ksin( ) k f t a a kw t b kw t (6.2)Burada w0 = 2π/T olup esas frekans adını alır ve 2w0, 3w0, vb... gibi sabit katsayılı katlarına harmonikler denir.
yapılabilmesi için mükemmel şekilde uygundur, bu durum deterministik sinyaller içinde söylenilebilir.
Fourier serilerinin varlığı Dirichlet koşullarına dayanır. Bu koşullara göre, periyodik bir fonksiyonun sonlu sayıda minimumları ve maksimumları vardır ve sonlu sayıda ani süreksizlik gösterir. Genel anlamda, fiziksel olarak türetilen bütün periyodik fonksiyonlar bu koşulları sağlar [9].
6.3.1.2 Fourier integral dönüşümü
Sonsuz uzunluktaki zaman sinyallerini kapsayabilmek için yapılmış Fourier serilerinin doğal bir uzantısıdır, yani tekrarlı olmayan sürekli sinyallerin Fourier integral dönüşümü ya da basitçe Fourier dönüşümüdür. Bu integral herhangi bir keyfi biçimdeki sürekli zaman işaretlerini sonsuz frekansa uzanan sürekli spektruma dönüştürecektir. Fourier dönüşümünün ilginç bir karakteristiği kısa zaman aralığı içindeki olayları kapsayarak geniş frekans aralığına yayması ve tersi işlemi de yapmasıdır.
Fourier serilerinin üstel yazılışından türetilebilir: 0 ( ) k ikw t k f t c e
(6.3) Burada; 0 / 2 / 2 1 ( ) T ikw t k T c f t e dt T
(6.4) olup w0=2π/T ve k=0,1,2,…’dir.Periyodik bir fonksiyondan periyodik olmayana geçiş, periyodun sonsuza yaklaşması sağlanarak elde edilebilir. Başka bir deyişle, T sonsuz olursa fonksiyon kendisini asla tekrarlamaz ve böylelikle aperiyodik olur. Eğer bu sağlanabiliyorsa, Fourier serisinin aşağıdaki şekle indirgeneceği gösterilebilir:
0 0 0 1 ( ) ( ) 2 iw t f t F iw e dw
(6.5)Buradaki katsayılar, aşağıda yazıldığı gibi frekans değişkeninin, w'nın sürekli bir fonksiyonudur: 0 0 ( ) ( ) iw t F iw f t e dt
(6.6)Eşitlik 6.6'da tanımlanan, F(iw0) fonksiyonu f(t)'nin Fourier integrali diye adlandırılır. Ayrıca, Eşitlik 6.5 ve 6.6 birlikte Fourier dönüşüm çifti diye bilinir. Bu nedenle, Fourier integrali adı verilmekle birlikte, F(iw0)'ye f(t)'nin Fourier dönüşümü de denir. Aynı mantıkla, Eşitlik 6.5 ile tanımlanmış olan f(t) de F(iw0)'in ters Fourier dönüşümü diye bilinir. Dolayısıyla, bu Fourier dönüşüm çifti, bir aperiyodik sinyal için zaman ve frekans bölgesi arasında ileri ve geri dönüşüm yapmamıza olanak verir [9].
6.3.1.3 Ayrık Fourier dönüşümü (discrete Fourier transform)
Bir işaretin frekans spektrumu hesaplanırken 2π ile periyodik olan ayrık zamanlı frekansın bir periyodunun dikkate alınması yeterlidir. Frekans spektrumu hesabı sırasında N adet frekans değeri için hesaplama yapılacaksa eğer bu frekans değerlerinin 2π’lik temel frekans bölgesinde N adet eşit aralıklı frekans değeri,
0 2 k 0,1, 2, , N 1 w k N (6.7)
olarak bulunmaktadır. Ayrık frekans dönüşümünün N adet ayrık frekans değeri için hesaplanması, 0 1 0 k 0,1, 2, , N 1 N iw n k n n F f e
(6.8)şeklindedir. Ters ayrık Fourier dönüşümü, 0 1 0 1 n 0,1, 2, , N 1 N iw n n k k f F e N
(6.9) olarak tanımlanmaktadır.6.3.1.4 Hızlı Fourier dönüşümü (fast Fourier transform)
Ayrık Fourier Dönüşümü’nü (DFT) hesaplamak için bir önceki bölümde açıklanan algoritma N2 adet işlem gerektirdiğinden hesaplama bakımından çok zahmetlidir. Dolayısıyla, orta büyüklükteki veri örneklemleri için bile DFT'nin doğrudan hesaplanması epey zaman alıcıdır.
Hızlı Fourier dönüşümü veya FFT, DFT'yi çok daha hızlı bir şekilde hesaplamak için geliştirilmiş bir algoritmadır. Hızı, işlem sayısını azaltmak için bir önceki hesap adımındaki sonuçları kullanmasından gelmektedir. Özellikle, yaklaşık olarak Nlog2N adet işlemle dönüşümü hesaplamak için trigonometrik fonksiyonların periyodikliği ve simetrisini kullanmaktadır (Şekil 6.8). Bu nedenle, N = 50 örneklem için, FFT yöntemi standart DFT'den 10 kat daha hızlıdır. N = 1000 için 100 kat daha hızlıdır [9].
Şekil 6.8 : Standart ayrık Fourier dönüşümü(AFD) ve hızlı Fourier dönüşümü(HFD) için örneklem sayısına göre işlem sayılarının grafiği [9].
İlk FFT algoritması 19. yüzyılın başında Gauss tarafından geliştirilmiştir. Diğer ana katkılar 20. yüzyıl başlarında Runge, Danielson, Lanczos ve diğer araştırmacılar tarafından yapılmıştır. Ancak, ayrık dönüşümler elle hesaplandığında çoğunlukla günler hatta haftalar aldığından modern sayısal bilgisayarların geliştirilmesinden önce pek ilgi görmemiştir.
1965 yılında J. W. Cooley ve J. W. Tukey, DFT'yi hesaplayan bir algoritmayı açıklayan önemli bir makale yayımlamışlardır. Gauss ve diğer ilk
araştırmacılarınkine benzeyen bu hesap yöntemi, Cooley-Tukey algoritması diye bilinir. Bugün, bu yönteme dayanan birçok başka yaklaşım vardır.
Bu algoritmaların hepsinin temelindeki görüş, N boyutundaki bir DFT’nin kolaylıkla daha küçük ardışık DFT'lere ayrıklaştırılabileceği veya bölünebileceğidir. Bu prensibi uygulamak için çok farklı yollar vardır. Örneğin, Cooley-Tukey algoritması, zamana göre seyreltme diye adlandırılan tekniklerden biridir.
FFT algoritması sinyal ve sonuçlanan spektrum üzerinde kesin limitlerle yer alır. Örneğin dönüştürülecek örneklenmiş sinyalin örnek sayısı 2’nin katları şeklinde olmalıdır. Çoğu FFT analizör dönüştürme işlemi için 512, 1024, 2048, ya da 4096 örnekleme sayısına izin verir. FFT analizini kapsayan frekans aralığı toplanan örnek sayısına ve örnekleme hızına bağlıdır.
Motor titreşimiyle ilgili yapılan ölçümlerde de FFT analizör dönüştürme işlemi için 4096 örnekleme sayısı kullanılarak sonuçların daha da hassaslaştırılması hedeflenmiştir [9].
6.3.2 Analog dijital dönüştürme
Şekil 6.9’da görüldüğü gibi FFT analizini uygulamanın ilk adımı gerçek örnekleme sürecidir.
seviyelerinin doğruluğu dijital kelimelerin bit sayısına bağlıdır. Büyük bit sayısı düşük gürültü seviyelerini ve daha büyük çalışma aralığı oluşturacaktır.
Şekil 6.9’dan da görüleceği gibi örnekleme hızı kodlanacak sinyalin maksimum frekansını belirler. Kodlanmış dalga formu örnekleme zamanları arasındaki sinyalde ne olduğu hakkında hiçbir şey bilemez. Claude Shannon, information teorisini adlandıran matematik dalı geliştiricisi, örneklenmiş sinyaldeki tüm bilgiyi kodlamayı belirlemiştir. Buna göre örnekleme frekansı bulunan sinyal frekansından en az iki katı olmalıdır. Bu bazen Nyquist kriteri diye adlandırılmaktadır [10].