Farmakokinetik özellikler

O modelo do acelerador de Fermi foi, aqui, proposto em um novo contexto onde o principal objetivo foi estudar os efeitos que uma pequena dissipac¸˜ao podem causar no sistema.

Nosso ponto de partida foi apresentar uma breve revis˜ao do modelo Fermi-Ulam conservativo. Descrevemos os mapeamentos completo e simplificado para o modelo e constru´ımos seus espac¸os de fases. A estrutura do espac¸o de fases de um sistema caracteriza os poss´ıveis comportamentos dinˆamicos daquele sistema. No modelo Fermi-Ulam conservativo os espac¸os de fases mostraram uma estrutura mista, formada por ilhas KAM, envoltas por mares ca´oticos e curvas invariantes spanning. Neste modelo, o fenˆomeno da acelerac¸˜ao de Fermi n˜ao foi observado. A primeira curva invariante divide o espac¸o de fases em duas regi˜oes distintas: a de mais baixa energia (abaixo da primeira curva) e a de mais alta energia (acima da primeira curva). O mar de caos da regi˜ao de mais baixa energia do espac¸o de fases foi caracterizado por um expoente de Lyapunov positivo. Tanto a vers˜ao completa quanto a vers˜ao simplificada do modelo apresentaram determinantes das matrizes Jacobianas que preservam medida do espac¸o de fases.

Continuamos nossos estudos na revis˜ao do modelo Fermi-Ulam dissipativo, cuja forc¸a de dissipac¸˜ao ´e introduzida via arrasto viscoso, de modo que a part´ıcula vai perdendo energia `a me- dida que atravessa o fluido. A forc¸a de dissipac¸˜ao introduzida no sistema ´e do tipo <sub>F = −ηV</sub>γ e dois modelos foram descritos: (i) para γ = 1, onde a forc¸a de dissipac¸˜ao ´e proporcional `a ve-

locidade da part´ıcula e (ii) para γ = 2, onde a forc¸a de arrasto ´e proporcional ao quadrado da

velocidade da part´ıcula. No caso (i), as equac¸˜oes dos mapeamentos para as vers˜oes completa e simplificada do modelo apresentaram resultados diferentes. Na vers˜ao completa, o determinante da matriz Jacobiana mostrou que o sistema apresenta contrac¸˜ao de medida do espac¸o de fases. A consequˆencia disto foi a destruic¸˜ao total da t´ıpica estrutura mista encontrada no modelo conserva- tivo. J´a na vers˜ao simplificada, o determinante mostrou que o sistema preserva medida do espac¸o de fases em algumas regi˜oes. Essas regi˜oes preservadas foram as ilhas KAM, que sobreviveram `a introduc¸˜ao da forc¸a de arrasto. Determinamos o comportamento linear m´edio de decaimento da velocidade da part´ıcula e mostramos os detalhes da passagem de uma ´orbita perto da ilha KAM. Para o caso (ii), mostramos que os determinantes das matrizes Jacobianas para as vers˜oes com- pleta e simplificada do modelo contraem medida do espac¸o de fases. Os espac¸os de fases das duas

vers˜oes apresentaram um grande n´umero de pontos fixos atrativos (atratores) que foram classifica- dos de acordo com suas ´orbitas. Observamos que o n´umero de atratores encontrados no sistema depende da combinac¸˜ao de parˆametros de controle. Estimamos o n´umero de atratores observados no nosso modelo e apresentamos os resultados num histograma de frequˆencias. Vimos que, quanto maior a grade de condic¸˜oes iniciais usada, maior o n´umero de atratores encontrados. Constru´ımos a bacia de atrac¸˜ao dos atratores observados no espac¸o de fases do nosso modelo simplificado e, o que encontramos, foi uma rica e complexa estrutura de bacia de atrac¸˜ao, cujas fronteiras suge- rem uma fractalidade. Tanto para_{F = −ηV quanto para F = −ηV}2, mostramos que no limite de

δ → 0, o sistema recupera todos os resultados do modelo conservativo.

Propusemos um estudo gen´erico para o modelo Fermi-Ulam, com forc¸a dissipativa introduzida via arrasto viscoso, _{F = −ηV}γ. Constru´ımos cuidadosamente os mapeamentos que descrevem a dinˆamica do modelo, a fim de investigar o comportamento do sistema para qualquer valor de veloci- dade. Neste modelo, o expoenteγ pode assumir qualquer valor dentro dos n´umeros reais positivos

e n˜ao nulos, ou seja, _{γ ∈}ℜ∗₊. Por uma quest˜ao matem´atica, este mapeamento n˜ao ´e v´alido para

γ = 1 nem para γ = 2. Mostramos, analiticamente e confirmamos numericamente, que o decai-

mento da velocidade da part´ıcula ´e do tipo linear paraγ = 1, do tipo exponencial para γ = 2 e do

tipo polinomial para valores deγ intermedi´arios. O procedimento anal´ıtico foi feito para a vers˜ao

simplificada do modelo e as simulac¸˜oes num´ericas para validarem a aproximac¸˜ao anal´ıtica foram feitas na vers˜ao completa. Mostramos que o decaimento da velocidade obedece `a seguinte equac¸˜ao polinomial geralV (n, γ) = [a(γ) + b(γ)n]c(γ). Durante o decaimento, eventualmente, a part´ıcula atinge um regime constante. Tal comportamento ´e marcado pela convergˆencia da part´ıcula para um atrator peri´odico. Os pontos fixos atrativos e suas caracterizac¸˜oes foram feitas na vers˜ao sim- plificada para trˆes valores de γ diferentes: γ = 1.5, γ = 3.0 e γ = 4.1. Mostramos tamb´em que

em todos os espac¸os de fases, um grande n´umero de pontos fixos atrativos foram observados e que quanto menor o valor de γ usado, maior o n´umero de atratores encontrados no sistema. Os

resultados obtidos deste modelo gen´erico est˜ao atualmente submetidos para publicac¸˜ao na revista Physica A.

Demos continuidade aos nossos estudos propondo o modelo Fermi-Ulam misto. Neste mo- delo, o espac¸o entre as paredes ´e dividido em duas regi˜oes diferentes. Numa delas, a part´ıcula n˜ao sofre qualquer forc¸a dissipativa e, na outra, a presenc¸a de dissipac¸˜ao ´e sentida. Um parˆametro adimensional foi introduzido para controlar o tamanho das regi˜oes conservativa e dissipativa. Na regi˜ao dissipativa foram consideradas_{F = −ηV e F = −ηV}2. Em ambos os casos, observamos que a velocidade da part´ıcula decai devido a forc¸a dissipativa, por´em torna-se constante `a me- dida que a regi˜ao conservativa comec¸a a ficar dominante. Com esta observac¸˜ao, desenvolvemos um m´etodo sistem´atico para estudar um caso unidimensional simples, como o Fermi-Ulam, mas com v´arias possibilidades onde a part´ıcula pode atravessar regi˜oes de fluidos diferentes, com vis-

cosidade ou forc¸a de arrasto. Constru´ımos os espac¸os de fases e observamos que, para os casos extremos, ξ = 0 e ξ = 1, o sistema se comporta como um ´unico meio, ou seja, para ξ = 1, nos

dois modelo estudados, o caso conservativo foi recuperado e para ξ = 0, no primeiro modelo, o

caso dissipativo _{F = −ηV foi recuperado em sua vers˜ao simplificada e, no segundo modelo, o} caso dissipativo _{F = −ηV}2 tamb´em foi recuparado em sua vers˜ao simplificada. Nos casos de

ξ intermedi´ario, o comportamento do sistema mostrou preservac¸˜ao parcial da estrutura mista do

espac¸o de fases conservativo que, devido `a dissipac¸˜ao, `a medida que_{ξ → 0, cada vez menos regi˜oes} preservadas eram observadas. Este comportamento foi previsto pelos determinantes das matrizes Jacobianas para colis˜oes m´ultiplas e simples dos modelos completos, que mostraram preservac¸˜ao de medida para um tipo de colis˜ao (as colis˜oes m´ultiplas) e contrac¸˜ao de medida para o outro tipo de colis˜ao (as colis˜oes simples). Na construc¸˜ao dos espac¸os de fases, os mapeamentos completos foram iterados, exceto paraξ = 0, onde o mapeamento para a vers˜ao simplificada foi utilizado. Os

resultados obtidos destes modelos mistos est˜ao atualmente submetidos para publicac¸˜ao na revista Chaos - An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science.

Os resultados obtidos e as ferramentas utilizadas neste estudo podem ser aplicadas em sistemas em que a intensidade da dissipac¸˜ao seja pequena. Processos envolvendo acelerac¸˜ao de Fermi s˜ao de grande interesse em sistemas onde part´ıculas devem ser aceleradas at´e atingirem velocidades altas, como as que devem ser obtidas no Large Hadron Collider (LHC).

Como perspectivas, abrimos a possibilidade de estudar este problema com um software, o Fluent, que pode estudar bilhares sob a influˆencia de um campo de velocidade. Outra perspectiva ´e o estudo de outros modelos Fermi-Ulam mistos, como por exemplo, combinando duas regi˜oes dissipativas com forc¸as de dissipac¸˜ao diferentes ou ainda subdividir o modelo em mais de duas regi˜oes distintas e investigar o comportamento da velocidade da part´ıcula. Outros tipos de bilhares tamb´em podem ser estudados, como por exemplo o bilhar magn´etico. Nele, podemos estudar formalismos de escala, tempo de escape e as situac¸˜oes que levam a part´ıcula a escapar por este orif´ıcio feito no bilhar.