Uma primeira e importante conclusão que pode ser extraída dessa tese é a de que a mecânica de sistemas de massa variável depende fortemente da interpretação e resposta de três perguntas: i) qual é o sistema de massa variável de interesse? ii) como se dá o processo de agregação-ejeção de massa desse sistema de interesse? iii) qual o significado físico dos termos envolvidos nas equações de movimento de um sistema de massa variável, equação geral de balanço, teorema do transporte, etc.?
No Capítulo 2, foi apresentada uma análise de pontos relevantes dos primeiros trabalhos que fundamentaram a dinâmica de sistemas de massa variável. Isso incluiu desde o trabalho de Buquoy, de 1814, até o de Reynolds (1903) e Truesdell e Toupin (1960). Mas a principal conclusão desse Capítulo é o fato de que, dependendo da maneira com que o processo de agregação-ejeção de massa é interpretado, o sistema pode ser considerado como dissipativo ou não; como um volume material com fontes de massa, ou um volume de controle, ou sistema de massa instantaneamente constante. A análise apresentada nesse Capítulo foi feita a partir do trabalho de Mikhailov (1975), deixando-se então como sugestão a leitura dos trabalhos originais de Buquoy, Poisson, Tait e Steele, e Mechtcherskii, assim como também o levantamento de novas referências sobre a história da mecânica de sistemas de massa variável. Sem dúvida, isso pode vir a contribuir ainda mais para o entendimento dos fundamentos desse ramo da mecânica.
No Capítulo 3, discutiu-se a concepção e aplicação da equação de Lagrange a sistemas de massa variável. O trabalho de Cayley, um dos primeiros sobre o tópico, foi reinterpretado, e uma interpretação física coerente para a chamada função dissipação de Rayleigh para sistemas de massa variável foi apresentada. Nesse Capítulo, aparece claramente a questão da interpretação física dos termos envolvidos nas diferentes formas da equação de Lagrange. É então a principal conclusão desse Capítulo a de que, a partir da interpretação do trabalho de Irschik e Holl (2002) como sendo a equação de Lagrange para um volume de controle cuja
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massa varia com o tempo, pode-se demonstrar a equação de Lagrange para um volume de controle cuja massa varia com as coordenadas e velocidades generalizadas. Sob esse aspecto, uma sugestão para trabalho futuro, ao menos para fins didáticos, é a busca de exemplos envolvendo sistemas cuja massa varia com a velocidade, que são bastante difíceis de ser encontrados, e a de exemplos envolvendo sistemas cuja massa varia do modo mais geral, i.e. com a posição e com a velocidade. Vale ressaltar que, segundo o melhor conhecimento do autor dessa tese, acerca desse segundo caso, nenhum exemplo foi ainda encontrado.
Por fim, a parte teórica desta tese encerrou-se com a apresentação da extensão do princípio variacional de Seliger e Whitham (1968), originalmente formulado para um volume fechado, para um volume de controle, mas restrito a problemas potenciais. Esse resultado foi obtido através do conceito de partículas fictícias de Truesdell e Toupin (1960), mas que, essencialmente, baseia-se na técnica de McIver (1973) para a obtenção do princípio de Hamilton para sistemas mecânicos de massa variável. Seliger e Whitham (1968), implicitamente, adotam a hipótese de processo adiabático e reversível. Sendo assim, sugere-se então a busca de princípios variacionais para volumes de controle cujos processos envolvidos não sejam adiabáticos.
Na segunda parte dessa tese, buscou-se apresentar casos de aplicação para aquilo que foi discutido nos Capítulos anteriores. E nesse sentido não podia haver exemplos melhores do que o chamado ‘problema da corrente em queda’ e o ‘problema de Wagner’, problemas esses, inclusive, de grande relevância prática. Enquanto o primeiro pode ser considerado como uma importante peça no entendimento da dinâmica de correntes e cabos, o segundo está envolvido no processo de avaliação da segurança de estruturas que se chocam com a superfície livre da água. Mas o quê coloca esses problemas na posição de exemplo didático é o fato de que ambos exigem um cuidado ‘especial’ no que diz respeito à interpretação do processo de agregação-ejeção de massa, dissipação de energia, e aplicação da equação de Lagrange para recuperação da equação de movimento associada. O quê bem pode ilustrar toda a dificuldade em se interpretar consistentemente tais problemas é o que foi discutido nos Capítulos 4 e 5 sobre a aplicação da equação de Lagrange. Ou seja, se o sistema de massa variável de interesse não for adequadamente considerado, a aplicação da equação de Lagrange conduz a resultados significativamente incorretos, como assim foi mostrado para o problema de Cayley e o de Wagner. Cumpre ressaltar que a tese permitiu resgatar a validade da análise de Cayley
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(1857) para o problema que leva seu nome. Um outro interessantíssimo aspecto a ser notado é o resultado ‘falso-positvo’ obtido por Wong e Yasui (2006), ao empregar a equação de Lagrange clássica no problema da corrente em U. Na verdade, Wong e Yasui (2006) e Wu (1998) cometem tautologias.
Ambos os problemas foram abordados a partir de uma série de hipóteses de idealização. Sendo assim, sugere-se, por exemplo, abordar o problema da corrente em queda levando em conta a dimensão de seus elos, suas possíveis formas, e as propriedades mecânicas dos mesmos. Com relação ao problema de Wagner, questões acerca da compressibilidade do líquido e da elasticidade do corpo de impacto também são sugeridas para ser incluídas em trabalhos futuros.
A conclusão final dessa tese é a de que a mecânica de sistemas de massa variável como aqui apresentada é, em sua essência, um ramo da mecânica que depende fortemente das respostas às três perguntas mencionadas no início desse Capítulo. Exemplos didáticos e práticos onde um sistema de massa variável possa ser identificado serão sempre concebíveis. Veja, por exemplo, o problema do carretel, o da corrente em queda, o da bola de neve, etc. Mas é também possível reconhecer um sistema de massa variável em problemas que envolvem situações de risco. Um exemplo é o problema de Wagner, onde se está preocupado com a avaliação da segurança de estruturas marítimas que se chocam contra a superfície da água do mar. Outro que indubitavelmente é um notável exemplo de tais situações é o problema do colapso vertical de edifícios, em particular o caso das torres gêmeas do World Trade Center.
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A.1 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA UM VOLUME MATERIAL
COM FONTES DE MASSA ESCRITA EM TERMOS DE SUAS
POSIÇÕES E VELOCIDADES CARACTERÍSTICAS (ver IRSCHIK;
HOLL, 2004, p. 152)
Seja = V cm V m ~ ~ d r r ρ , (A.1)onde rcm é a posição do centro de massa das partículas de V~, e r a posição dessas partículas
medidas com relação a um referencial inercial. Seja também = V V m ~ ~ d ρ (A.2) e = V cm V t m ~ ~ d d d ~ r r* ρθ , (A.3) onde * cm
r é a posição do centro de massa dos elementos d , que então são gerados a partir das µ
partículas que compõe o volume material V~. Considere adicionalmente que (ver Eq. (2.24))
159 = V V t m ~ ~ d d d ~ u w ρθ . (A.4)
Derivando-se a Eq. (A.1) sob o operador ~d(.)/dt, obtém-se que
= + V cm cm V t t m t m ~ ~ d d d ~ d d ~ d d r r r ρ . (A.5)
Da equação geral de balanço (ver Eq. (2.19)) para ψ = r, e assumindo-se que, nesse caso, seus termos são
+ = V V V V V V s ~ ~ ~ ~ d ~ d ~ d ] [r ρv ρθr ρ (A.6) e 0 ~ d ] [ ~ ≡ ∂ ⋅ ∂V V ir n , (A.7) mostra-se que + = V V V V V V t ~ ~ ~ ~ d ~ d ~ d d d ~ r v r ρ ρθ ρ . (A.8)
Então, das Eqs. (A.8) e (A.5), chega-se a
+ = + V V cm cm V V t m t m ~ ~ ~ d ~ d d d ~ d d r v r r ρθ ρ . (A.9)
160 = − + V cm cm cm V t m t m ~ * ) d~ ( d d ~ d d v r r r ρ . (A.10)
Por fim, derivando-se a Eq. (A.10) sob o operador d~(.)/dt, e tomando-se as Eqs. (A.4) e (2.24), obtém-se ) ( d d ~ d d d d 2 d d ~ d d * 2 2 * 2 2 cm cm cm cm cm t m t t t m t m r = F + w − r + r − r −r , (A.11) que é a Eq. (2.25).
161