FABER POLİNOMLARI VE FABER SERİLERİ

Bilindiği gibi | − | < , > 0 diskinde analitik bir fonksiyon

( ) = ∑ ( − )

Taylor serisine açılabilir. Bu seri disk üzerinde mutlak ve bu diskin her kompakt alt kümesi üzerinde düzgün yakınsar. Faber serileri, birim disk durumunda ifade edilen Taylor serilerinin basit bağlantılı bölgeler durumuna genelleştirilmesidir.

5.1 Faber Polinomları ve Örnekleri

Kompleks düzlemde Γ ile sınırlı, basit bağlantılı bölgesi verilsin. , = ∞ noktasını içeren, = G ∪ Γ kapalı bölgesinin tümleyeni olan basit bağlantılı bir bölge, := (0,1) , := ∂ ve := ℂ olsun.

Riemann konform dönüşüm teoremine göre bölgesini bölgesine, (∞) = ∞ ve (∞) := lim

→ ( )

= > 0 (5.1) koşulları altında resmeden bir tek konform dönüşümü vardır.

(5.1)’deki bağıntılardan (z) = fonksiyonu bölgesinde ∞ noktası dışında analitik ve = (z) fonksiyonu ∞ noktasında bir basit kutba sahiptir. Bu nedenle, fonksiyonunun ∞ noktasının çıkarılmış komşuluğundaki Laurent açılımı, w = (z) =

γz + +

+ + ⋯ +

+⋯

şeklindedir. = 0,1,2…… için [ ( )] = γz + + + + ⋯ + + ⋯ = + ( ) + ( ) + ⋯ + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ⋯+ ( ) +⋯

26

eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte ’nin pozitif kuvvetlerinden oluşan ve +1 tane terim içeren grup,

Φ ( ) ∶ = + ( ) + ( ) + … …. + ( ) + ( ) ile, ’nin negatif kuvvetlerinden oluşan ve sonsuz terim içeren grup da

−

( ) := ( )

+

( )

+⋯.+

( )

+ ⋯

ile gösterilirse,

[ ( )]

=

Φ ( )

−

( )

,

z ∈ (5.2) eşitliği elde edilir. [ ( )] fonksiyonu bölgesinde ∞ noktası dışında analitiktir ve ∞ noktasında dereceli bir kutba sahiptir. Bu nedenle, (5.2) eşitliğinde Φ ( ) , dereceli bir polinom, ( ) fonksiyonu ise bölgesinde analitik olup (∞) = 0 dır.

5.1.1 Tanım: Φ ( ) ( =0,1,2….) polinomlarına bölgesinin .dereceden

Faber polinomları denir.

∈ için (5.2) eşitliğinden,

Φ ( ) = [ ( )] + ( ) ( ) = Φ ( ) − [ ( )] eşitlikleri elde edilir.

Γ := { z ϵ : | ( )| = R > 1 } olsun.

Γ eğrilerine bölgesinin seviye eğrileri denir. = ( ) dönüşümü konform ve univalent (bire-bir ve analitik) olduğundan, Γ kapalı analitik bir eğridir. Bu nedenle Γ seviye eğrisi ℂ düzlemini iki bölgeye ayırır. Bu bölgelerden biri Γ ile sınırlı olan sınırlı bölgedir. Bu bölgeyi ile gösterelim. Diğer bölge ise sınırı Γ olan sonsuzluğu içeren bir bölgedir. Bunu ise ile gösterelim. ve bölgelerine kanonik veya doğal bölgeler denir.

27

∫

[ ( )] =

∫

( ) −

∫

( ) eşitliği elde edilir.

Burada ∈ olduğundan sınırsız bölgeler için Cauchy integral formülünden,

∫

( ) = 0

Dolayısıyla ∈ için ,

Φ ( ) =

∫

[ ( )] (5.3) eşitliği elde edilir.

= (w) fonksiyonu = ( ) fonksiyonunun ters fonksiyonu olsun. Bu durumda, fonksiyonu bölgesini bölgesine konform ve univalent olarak resmeder.

(∞) = ∞ ve (∞)= lim

→ ( )

= > 0 olduğu göz önüne alınırsa,

(∞) = ∞ ve (∞) =

( )= = β > 0

dır. O halde, fonksiyonu bölgesinde ∞ noktası dışında analitiktir ve ∞ noktasında bir basit kutba sahiptir. Bu durumda fonksiyonunun ∞ noktasındaki Laurent açılımı,

z = (w)

= βw +

+

+

+ ⋯ +

+ ⋯ ,

| | > 1 şeklindedir. (5.3) integralinde ζ = (t) dönüşümü yapılırsa,

Φ ( ) =

∫

_{∣ ∣ ( )}( )

,

z ∈

eşitliği elde edilir. Son eşitlikten görüldüğü gibi {Φ ( )} Faber polinomları , ′( )

( )

fonksiyonunun ∞ noktasının çıkarılmış komşuluğundaki Laurent açılımının Laurent katsayılarıdır. O halde ,

( )

( )

= ∑

( )

28 elde edilir.

5.1.2 Tanım: ( )

( ) fonksiyonuna {ϕ ( )} Faber polinomlarının üreteç

fonksiyonu denir.

5.1.3 Örnek: Eğer bölgesi | − | < diski ise bu diskin dışını birim diskin dışına, (∞) = ∞ ve ′_{(∞) = lim}

→∞ ( )

= > 0 koşulları altında resmeden konform dönüşüm

= (z) = dır. Bu durumda her doğal sayısı için, Φ ( ) = ( − )

olur. Görüldüğü gibi ∣ z− ∣< diski için Faber polinomları, konform dönüşüm fonksiyonunun negatif olmayan tam kuvvetleridir ve ( ) ≡ 0’ dır.

5.1.4 Örnek: := { z ∈ ℂ : | | < 1} olması durumunda, diskin dışını birim

diskin dışına (∞) = ∞ ve ′(∞) = lim

→∞ ( )

= > 0 koşulları altında resmeden konform dönüşüm (z) = şeklindedir. O halde (t) = olduğundan

( )

( )

= =

=

∑

=

∑

eşitliği elde edilir. Öyleyse bölgesinin birim disk olması durumunda Φ ( ) = dir.

Faber polinomlarının tanımından görüldüğü gibi bölgesi ile bölgesinin Faber polinomları aynıdır. Buna göre çoğu zaman bölgesinin Faber polinomları yerine kompaktlığının ifadesi kullanılır.

29

5.2 Faber Polinomlarının Asimptotik Özellikleri

Önceki bölümlerde belirtildiği gibi | ( )| = > 1 için her Γ seviye eğrisi, bu eğrinin içi ve dışı G olmak üzere iki doğal bölge tanımlar. ( ) fonksiyonu kapalı bölgesinde analitik ve (∞) = 0 olduğundan Γ pozitif yönlü olmak üzere sınırsız bölgeler için Cauchy integral formülüne göre, her ∈ için ( ) =

−

∫

( ) , ∈ yazılabilir. ( ) = Φ ( ) − [ ( )] olduğundan, ( ) =

−

∫

( ) [ ( )]

,

∈

olur. Φ ( ) , bölgesinde analitik olduğundan Cauchy integral teoreminden,

−

∫

( )

=

0 dır. Bu durumda ,

( )=

∫

[ ( )]

,

∈ (5.4) eşitliği bulunur. Böylece,

Φ ( ) =

∫

[ ( )]

,

∈ ve

( )=

∫

[ ( )]

,

∈ şeklinde benzer iki bağıntıya sahip olmuş oluruz.

bağlantılı tümleyene sahip sınırlı kontinyum olsun. Amacımız Faber polinomlarını kontinyumunda değerlendirmektir.

30

Bunun için, eğer ∈ ise yeteri kadar küçük sabit ε > 0 sayısı için (5.3) ifadesinde = 1 + alınabilir. Bu durumda,

Φ ( ) =

∫

[ ( )]

,

∈ integralinden,

|Φ ( )|

=

∫

[ ( )]

≤

∫

∣ ( )∣ ∣ ∣

|

|

=

( )

∫

_∣∣ ∣_∣ elde edilir.

Burada, kontinyumunun Γ seviye eğrisine olan uzaklığını ρ ( , Γ ) olarak ve Γ eğrisinin uzunluğunu da ℓ ( Γ ) olarak işaretleyelim. Γ kapalı ve kümesi kompakt olduğundan aralarındaki ρ ( , Γ ) uzaklığı sıfırdan büyüktür. Ayrıca ζ ∈ Γ ve ∈ olduğundan ρ ( , Γ ) < | − | olur. O halde,

|Φ ( )|

≤

( )

( , ) ∫ | |

=

( )

( , ) ℓ(Γ )

(5.5) eşitsizliği elde edilir. ( ) := ℓ( )

( , ) olsun. ( ) sayısı, yalnızca ε sayısına

bağlı ve ε → 0 için artan bir sabit olmak üzere (5.5) eşitsizliğini,

|Φ ( )| ≤ ( )(1 + ) , ∈ (5.6) şeklinde yazabiliriz. (5.6) ifadesinin her iki tarafının .dereceden kökü alınırsa, → ∞ için limit durumunda

lim

→ |Φ ( )| ≤ 1+ε , ∈

ifadesi elde edilir. Bu eşitsizlikte ε yeteri kadar küçük keyfi bir sabit ve sol taraf ε’a bağlı olmadığından,

lim

31 limit bağıntısı elde edilir.

ve , 1 < < olacak şekilde iki sayı olsun. Bu durumda kapalı kümesi üzerinde ( ) fonksiyonunu belirleyebiliriz. (5.4) ifadesinden tüm z ∈ için,

| ( )|

=

∫

[ ( )]

≤

∫

∣ ( )∣_{∣ ∣}

| ζ|

= ∫

_|| |_|

olur. Γ ve Γ seviye eğrileri arasındaki ρ (Γ , Γ ) uzaklığını ile işaretleyelim. kapalı ve Γ kompakt olduğundan aralarındaki uzaklık sıfırdan büyüktür. Ayrıca ∈

ve ∈ Γ olduğundan ≤ | − | olur. Buradan,

| ( )|

≤

ℓ(Γ )

(5.8)

değerlendirilmesi elde edilir. ( , ) := ℓ(Γ )

(Γ ,Γ ) alınırsa,

| ( )| ≤ ( , ) elde edilir. Böylece ,

Φ ( ) = [ ( )] + ( ) , ∈

bağıntısından, Faber polinomları için en basit asimptotik formülü,

Φ ( ) = [ ( )] + O( ) , ∈ , 1 < < (5.9) şeklindedir.

(5.9) ifadesinin sağ tarafının hızı ∈ ise | ( )| = dir. Fakat sağ taraftaki ikinci terimin sonsuza gitme hızı değerinin sonsuza gitme hızından büyük değildir.

Hemen belirtelim ki, (5.8) ifadesinde ( ) = ( , Γ ) alırsak → ∞ için, (5.8) ifadesinin sağ tarafı sıfıra yakınsar.

32 Φ ( ) = [ ( )] + O( ) olduğunu biliyoruz. Buradan,

Φ ( ) = [ ( )] + O( ) = [ ( )] 1 +_{[ ( )]}( ) = [ ( )] 1 + ( )

( ) = [ ( )] 1 +

eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten,

( )

[ ( )]

– 1 = O

eşitliği elde edilir. Buradan da,

( )

[ ( )]

− 1 ≤

ve dolayısıyla ,

1

−

≤

| ( )|

| ( )|

≤

1

+

bağıntısı elde edilir. ( ) : = 1− ve ( ) ∶= 1+ alınırsa, ( ) ≤ |_{| ( )|}( )| ≤ ( ) , ∈

( )| ( )| ≤ |Φ ( )| ≤ ( )| ( )|

( ) ≤ |Φ ( )| ≤ ( ) , ∈ (5.10) olur. (5.10) eşitsizliğinin .dereceden kökü alınıp, → ∞ için limit alınırsa,

lim

→ |Φ ( )| = | ( )| , ∈ (5.11)

eşitsizliğini buluruz ki, burada yakınsama deki her kompakt küme üzerinde düzgündür. Yani, bölgesinde kapsanan her sınırlı kapalı kümesi üzerinde yakınsama düzgün olur.

Eğer ∈ ise bu durumda + 1 ve için (5.9) ifadesi,

( )

( ) =

[ ( )] ( )

[ ( )] ( )

33 = ( ) 1 +

= ( ) + O

şeklinde yazılabilir. Bu durumda bölgesindeki her kompakt kümesi üzerinde düzgün yakınsayan ve

( )

( )

=

( ) + , ∈ , → ∞ asimptotik bağıntısını yazabiliriz.

lim → ( ) ( )

=

( ), ∈ (5.12) olur. 5.3 Faber Serileri

5.3.1 Tanım: ϕ ( )’ler kontinyumunun Faber polinomları olsun. ( ) bir

karmaşık sayı dizisi olmak üzere

∑

Φ ( )

biçimindeki serilere kontinyumuna göre Faber serileri denir.

5.3.2 Teorem: ( ) bir karmaşık sayı dizisi ve ϕ ( )’ler

kontinyumunun Faber polinomları olsun. Eğer,

lim

→ | | =

< 1

ise ∑ Φ (z) Faber serisi, bölgesinde mutlak yakınsak, bölgesinin kompakt alt kümelerinde düzgün yakınsak ve bölgesinde ıraksaktır.

İspat: lim

→ | | = olduğundan, her ε > 0 için öyle bir N doğal sayısı

vardır ki, ≥ N için,

34 olur. ≔ alınırsa, ≥ N için,

| |

<

eşitsizliği elde edilir. 1 < < olmak üzere, (5.10) bağıntısından her ∈ için, ( ) ≤ |Φ ( )| ≤ ( )

olduğunu biliyoruz. ε sayısını < − olacak şekilde alalım. Bu durumda, ≥ N için,

| Φ ( )| ≤

( )

( )

olur. := alınırsa, 0 < < 1 ve ∀ ∈ için, | Φ ( )| ≤ ( )

elde edilir. ∀ z ∈ − için ∈ olacak şekilde ∈ (1, ) sayısı bulanabileceğinden bu eşitsizlik ∀ ∈ − için geçerli olur.

kompakt olduğundan ⊂ olacak şekilde bir ∈ (1, ) sayısı vardır ki ∀ ∈ için,

Φ ( ) =

∫

[ ( )] olduğunu biliyoruz. Buradan,

|Φ ( )| =

( , )

ℓ(Γ ) =

( )

elde edilir. ε sayısını < − olacak şekilde seçelim. := alınırsa 0 < < 1 ve ∀ ∈ için,

| Φ ( )| ≤ ( )

olur. ∑ | Φ (z)| serisi, ∑ serisi yakınsak olduğundan her ∈ − için, ∑ serisi yakınsak olduğu için de her ∈ için yakınsaktır. O halde ∑ Φ ( ) serisi üzerinde mutlak yakınsaktır.

, ′nin kompakt bir alt kümesi olsun. Bu durumda ∈ olacak şekilde bir 1 < < sayısı vardır. < < olmak üzere, her ∈ için

35 Φ ( ) =

∫

[ ( )]

olduğunu biliyoruz. ve Γ kapalı olduklarından ∀ ∈ ve ∀ ζ ∈ Γ için | − | ≥ ρ (Γ , ) > 0

olur. Buradan, ∀ ∈ için |Φ ( )| =

( , ) ℓ(Γ ) = ( )

elde edilir. Bir ε > 0 için = diyelim ve ε sayısını < − olacak şekilde alalım. lim

→ | | = olduğundan, ≥ N için | |

<

olacak şekilde

bir N doğal sayısı vardır. O halde, ≥ N için ve her ∈ için | Φ ( )| ≤ ( )

( − 0)

olur. = ( )

( ) alınırsa ∑ serisi yakınsak olacağından Weierstrass-M

testi gereğince

∑ Φ (z)

serisi üzerinde düzgün yakınsak olur.

∈ olsun. = | ( )| alınırsa, > ve ∈ olur. Bu durumda, ( ) ≤ |Φ ( )| ≤ ( )

olduğu bilinmektedir. lim

→ | | =

olduğundan, ∀ ε > 0 için ( ) dizisinin > – ε = olacak şekilde bir ( ) alt dizisi vardır. = alınırsa,

>

=

olur. ε sayısını, + < olacak şekilde seçelim. Bu durumda,

Φ ( )

>

( )

36

elde edilir. > 1 olduğundan ∑ serisi ıraksak olur. Buradan ∑ Φ (z) serisinin ıraksak olduğu çıkar.∎

5.4 Analitik Fonksiyonların Faber Serileri

Bu bölümde analitik olan bir (z) fonksiyonunun Faber serisine açılabileceği durumu inceleyeceğiz.

5.4.1 Teorem: ⊂ ℂ sınırlı, basit bağlantılı ve Γ = ∂G sınırı analitik olan

bir bölge olsun. fonksiyonu bölgesinde analitik ve = ∪ kontinyumunda sürekli olsun. Bu durumda kontinyumunun Faber polinomlarının bir serisine açılabilir ve bu seri ’nin her kompakt alt kümesinde fonksiyonuna mutlak ve düzgün yakınsaktır.

İspat: Γ analitik bir eğri olduğundan = ( ) konform dönüşümü Γ sınırından ’nin içine belirli bir yere kadar analitik ve birebir olarak genişletilebilir. konform dönüşümü belirli bir 0 < < 1 için bölgesinde birebir ve analitik olur. Bu durumda, = (w) fonksiyonu | | > bölgesinde ∞ noktası dışında analitiktir ve ∞ noktasında basit kutbu vardır.

∈ olsun. Bu durumda < < 1 olacak şekilde bir sayısı seçebiliriz ve ∈ olur. , ’de analitik bir fonksiyon ve ⊂ olduğundan , ’da analitikir. Cauchy formülünden,

( ) =

∫ ( ) = ∫_{| |} ( ( )) ( )

( )

(5.13)

olur.

∈ ve | | ≥ ρ için fonksiyonu analitik olduğundan, ( )

( ) fonksiyonu

| | ≥ için analitik olur. Ayrıca,

37 olduğundan | | ≥ için,

( ) ( )

=

∑

( )

,

∈ (5.14) olur. , bölgesinin kapalı alt kümesi olmak üzere (5.14) açılımı | | ≥ koşulunu sağlayan ’ler için ve kompakt kümesine ait olan noktaları için düzgün yakınsaktır. Gerçekten, ⊂ bir kompakt kümesi olmak üzere ∈ olsun. Bu durumda < < ve ⊂ olacak şekilde bir sayısı vardır. Bu durumda Φ ( ) Faber polinomları için,

( ) ≤ |Φ ( )| ≤ ( ) , ∈ dir. Bundan dolayı, | | ≥ ve ∈ için,

∑

( )

≤

∑

| ( )|

| |

≤

∑ ( )

=

( )

∑

<

∞

olduğundan Weierstrass-M testi gereğince

∑

( )

serisi | | ≥ olduğunda ∀ ⊂ kompakt alt kümesinde düzgün yakınsaktır.

≔ ∫_{| |} ( ( ))

=

∫ ( )

( ) ( ) (5.15)

olmak üzere, (5.14) açılımını (5.13) de dikkate alırsak ,

(z) = ∫ ( ( )) ( ) ( ) | | = ∫_{| |} ( ( )) ∑ ( ) dt = ∑ Φ ( ) ∫_{| |} ( ( )) = ∑ Φ ( ) , ∈ (5.16) açılımı elde edilir.

Şimdi ∑ Φ ( ) yakınsamasının ’nin kompakt alt kümeleri üzerinde mutlak ve düzgün yakınsama olduğunu gösterelim.

, ’nin kompakt bir alt kümesi olsun. Bu durumda ⊂ olacak şekilde bir < 1 sayısı vardır. < < 1 olmak üzere

38 Φ ( ) =

∫

[ ( )] ve ile Γ kapalı olduklarından, ∀ ∈ için |Φ ( )| ≤ ( )

elde edilir.

< < 1 biçiminde bir sayısı seçelim. ∀ ∈ için ∈ olur. Bu durumda ∀ ∈ için, (z)

=

∫

( )

=

∫ ( ( )) ( ) ( ) | | ve

( ) ( )

=

∑

( )

,

| | = , ∈ açılımı düzgün yakınsak olduğundan ∀ ∈ için,

=

∫

_{| |} ( ( )) olmak üzere

(z)

=

∑ Φ ( )

olur. M := max | ( )| ∶ ∈ olarak alınırsa | | ≤

olacağından ∀ ∈ ℕ ve ∀ ∈ için | Φ ( )| ≤ ( )M

olur. ∑ ( )M serisi yakınsak olduğundan Weierstrass-M testi gereğince ∑ Φ ( ) serisi üzerinde mutlak ve düzgün yakınsak olur.∎

5.4.2 Tanım: ∑ ϕ ( ) Faber serisindeki { } katsayılarına, kontinyumunda analitik olan fonksiyonunun Faber katsayıları denir ve

39

5.4.3 Teorem: kontinyumunda analitik olan her ( ) fonksiyonu

kontinyumunda düzgün yakınsayan bir Faber serisine açılabilir.

İspat: Bu teoremde , sınırlı ve bağlantılı tümleyene sahip olup sınırı için herhangi bir koşul yoktur. = 1 + > 1 olmak üzere, fonksiyonu ’da analitik ve kapalı olduğundan fonksiyonu analitik olarak belirli bir bölgesine genişletilebilir. 1 < < olacak şekilde bir sayısı alalım. ∀ ∈ için,

(z) =

∫

( ) = ∫ ( ( )) ( )

( )

| | (5.17)

dir. Diğer yandan ∈ ve | | = için,

_{( )}( )

=

∑

( )

açılımı özel olarak | | = çemberi üzerinde yakınsak olduğundan bunu (5.17) eşitliğinde dikkate alırsak = 1,2,… için Faber katsayıları olmak üzere,

(z)

=

∑ Φ (z) , ∈ açılımı elde edilir.∎

40

6. FABER SERİLERİNİN MAKSİMAL YAKINSAKLIK

Belgede Bazı fonksiyon uzaylarında maksimal yakınsaklık problemleri (sayfa 34-49)