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Outra importante proposta de soluc¸˜ao para os paradoxos da Teoria dos Conjuntos foram as

teorias axiom´aticas dos conjuntos. A primeira delas foi proposta por Ernst Zermelo em 1908,

o mesmo ano em que Russell propˆos a sua Teoria dos Tipos.9 Como vimos anteriormente, a situac¸˜ao criada pelos paradoxos exigia que fosse especificado quais propriedades definiam e quais n˜ao definiam conjuntos; al´em disso, o pr´oprio conceito de conjunto dado por Cantor era impreciso: “uma colec¸˜ao, considerada como um todo (isto ´e, um ´unico objeto), de certos objetos bem determinados das nossas percepc¸˜ao ou pensamento”.10 A abordagem axiom´atica veio justamente para eliminar estas imprecis˜oes: ela deixava de lado a tarefa de definir o que

eram conjuntos, se restringindo a especificar quais existiam e que propriedades eles tinham.11

Os axiomas de Zermelo eram apenas sete, dos quais o terceiro, o axioma da separac¸˜ao,

9_{Traduc¸˜ao do artigo em [35], p´ags. 199-215.} 10_{[35], p´ag. 200.}

11_{Essa abordagem ´e an´aloga `a adotada por Peano em relac¸˜ao aos n´umeros naturais (veja a sec¸˜ao 2.2, p´ag. 31).}

Este ´e, na verdade, um trac¸o caracter´ıstico do m´etodo axiom´atico: os conceitos primitivos s˜ao deixados indefinidos, sendo caracterizados apenas pelas propriedades a eles impostas atrav´es dos axiomas; estas, por sua vez, passam a ser os ´unicos pressupostos em que um argumento pode se basear para chegar a alguma conclus˜ao. Nesse sentido, conceitos passam a ser, de certa forma, apenas termos, destitu´ıdos de qualquer significado. Naturalmente, ainda se pode atribuir sentido a eles, mas isso passa a se dar por meio de uma interpretac¸˜ao; al´em disso, interpretac¸˜oes diferentes podem atribuir significados diversos a um mesmo conceito. Um bom exemplo desse fato ´e encontrado na teoria dos grupos: formalmente, um grupo ´e definido como uma estrutura matem´atica que satisfaz 3 axiomas b´asicos “abstratos”, mas eles podem ser interpretados em termos de n´umeros inteiros, matrizes e diversos outros objetos matem´aticos.

era particularmente importante no que dizia respeito aos paradoxos: basicamente, dados um conjunto C e uma propriedade P, ele garantia a existˆencia de um subconjunto CP de C que

contivesse exatamente os elementos de C que possu´ıssem a propriedade P. Esse axioma era o substituto do pressuposto pr´e-axiom´atico de que a cada propriedade correspondia um conjunto: observe que ele garante a existˆencia do conjunto CP desejado, mas somente no caso em que j´a

se conhece um conjunto C contendo todos os elementos que devem estar em CPe possivelmente

outros; isso impedia a definic¸˜ao de um conjunto a partir apenas de uma propriedade, evitando assim a construc¸˜ao daqueles que levavam aos paradoxos. Outros axiomas tamb´em garantiam a existˆencia de um conjunto a partir de outros j´a conhecidos, mas apenas dois asseguravam independentemente a existˆencia de algum conjunto. Um deles, o segundo, garantia a existˆencia do conjunto vazio, e, a partir deste, por meio tamb´em dos demais axiomas, uma infinidade de outros conjuntos passava a existir. Por si s´o, por´em, isso ainda n˜ao garantiria a existˆencia de um conjunto infinito: para tanto, havia o axioma da infinidade, n´umero sete, que garantia a existˆencia de um conjunto Z que possu´ısse pelo menos o conjunto vazio e, para cada elemento

A seu, tamb´em o conjunto _{{A}; Z possu´ıa portanto pelo menos os conjuntos /0, {/0}, {{/0}},}

etc.12

A axiomatizac¸˜ao de Zermelo tinha, entretanto, suas limitac¸˜oes. Uma delas dizia respeito `a

ausˆencia de conjuntos cuja existˆencia seria esperada: se chamarmos de Z0o conjunto{/0,{/0},{{/0}},...}

e de Zi+1 o conjunto P(Zi), ent˜ao cada um dos conjuntos Z0, Z1, Z2, . . . tinha existˆencia ga-

rantida pelos axiomas, mas n˜ao o conjunto _{Z0, Z1, Z2, . . .}. Outra limitac¸˜ao dizia respeito ao

axioma da separac¸˜ao: nele, Zermelo fazia menc¸˜ao ao conceito de propriedade definida, o qual era importante para eliminar certas classes de paradoxos e que ele definia de forma bastante im- precisa. Emendas para ambas as limitac¸˜oes foram propostas por Abraham Fraenkel e Thoralf Skolem, dando assim origem `a teoria hoje conhecida como ZFC.13

Em 1925, John von Neumann propˆos outra axiomatizac¸˜ao para a Teoria dos Conjuntos,14 cujo objetivo era “dar uma apresentac¸˜ao axiom´atica logicamente inquestion´avel da teoria dos conjuntos”.15 Um dos pontos em que se podia argumentar contra a axiomatizac¸˜ao de Zermelo era a inexistˆencia de certas “totalidades”: nela, era poss´ıvel se provar, por exemplo, que n˜ao existia um conjunto que possu´ısse todos os conjuntos; assim, n˜ao havendo objetos de outro

12_{Zermelo deveu esse axioma a Dedekind, por causa do seu teorema 66 (veja a p´ag. 20).}

13_{As iniciais de Zermelo, Fraenkel e Choice, esta ´ultima palavra em referˆencia ao axioma da escolha (n´umero}

seis na axiomatizac¸˜ao de Zermelo). Alguns dos principais artigos em que esses 3 pesquisadores apresentaram suas contribuic¸˜oes est˜ao traduzidos em [35], iniciando nas p´aginas 199, 284 e 290.

14_{Traduc¸˜ao em [35], p´ags. 393–413.}

15_{“O sistema apresentado por von Neumann ([35], p´ags. 393–413) foi simplificado, revisado e expandido por}

R. M. Robinson (1937), Bernays (1937–1954, 1958) e G¨odel (1940), e veio a ser conhecido como a teoria dos conjuntos von Neumann–Bernays–G¨odel”, ou simplesmente NBG ([35], p´ag. 394).

tipo, a essa totalidade simplesmente n˜ao se era poss´ıvel referir. Esta situac¸˜ao era diferente, por exemplo, daquela na teoria de Cantor, onde, embora houvesse imprecis˜ao na distinc¸˜ao, haviam as multiplicidades consistentes e as inconsistentes, e portanto n˜ao apenas os conjuntos de fato. A axiomatizac¸˜ao de von Neumann deu substˆancia a esta distinc¸˜ao, que posteriormente ficaria conhecida como aquela entre conjuntos e classes; em particular, todo conjunto era tamb´em uma classe, mas algumas classes, como a de todos os conjuntos e a de todos os n´umeros ordinais, n˜ao eram conjuntos. Outra importante vantagem da axiomatizac¸˜ao de von Neumann em relac¸˜ao `a de Zermelo estava no n´umero finito dos seus axiomas—o “axioma da separac¸˜ao” de Zermelo era, na realidade, um infinito esquema de axiomas, j´a que, para cada propriedade P, haveria uma vers˜ao do axioma para ‘separar’ CPde C.16

4.3

Correntes de pensamento sobre os fundamentos da Ma-