Esnek Süreklilik

Esnek topolojik uzayda, esnek açk kümeler yardmyla tanmlanabilen esnek süreklilik, ilk kez esnek nokta yardmyla, tanm ve de§er kümesi esnek metrik uzaylar içinde olan esnek fonksiyonlarla tanmland. Esnek açk ve esnek kapal kümeler yardmyla da esnek süreklili§in ayr bir karaktarizasyonu verildi. Çe³itli teorem ve sonuçlarla, esnek sürekli fonksiyon özellikleri incelendi.

Tanm 5.4.1. (f, ˜d1) ve (g, ˜d2) iki esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V ) bir

esnek fonksiyon olsun. ei_fi∈f˜ ve ∀ > 0 saysna kar³lk ej_fj∈f˜ ve ˜d1(ei_fi, ej_fj) < δ

oldu§unda ˜d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) <  olacak biçimde bir δ > 0 varsa ϕψ esnek

fonksiyonu esnek süreklidir denir.

Bu tanm geometrik olarak, ej_fj∈B˜ _d˜₁(ei_fi, δ) oldu§unda ϕψ(ej_fj)˜∈B_d˜₂(ϕψ(ei_fi), )

veya

ϕψ(B_d˜₁(ei_fi, δ)) ˜⊆B_d˜₂(ϕψ(ei_fi), )

anlamndadr.

Uyar 5.4.1. E§er ϕψ esnek fonksiyonu yukardaki tanm f esnek kümesinin her

esnek noktasnda gerçekliyorsa, ϕψ esnek fonksiyonuna her noktada esnek sürekli

bir fonksiyon veya ksaca esnek sürekli fonksiyon denir.

Uyar 5.4.2. Yukardaki tanmdan da görülmektedir ki δ > 0 says hem ei_fi esnek

noktasna, hem de  saysna ba§ldr.

Önerme 5.4.1. Bir (f, ˜d1) esnek metrik uzayndan bir (g, ˜d2) esnek metrik uzay

içine tanml bir ϕψ esnek fonksiyonunun bir ei_fi∈f˜ esnek noktasnda esnek sürekli

olmas için gerek ve yeter ³art ∀ > 0 için

B_d˜₁(ei_fi, δ) ˜⊆ϕψ−1(Bd˜2(ϕψ(eifi), ))

olacak ³ekilde bir δ > 0 olmasdr.

spat . ϕψ : SE(U ) → SK(V ) esnek fonksiyonunun ei_fi∈f˜ esnek noktasnda esnek

sürekli olmas için gerek ve yeter ³art ∀ > 0 için ˜d1(ei_fi, ej_fj) < δ ko³ulunu sa§layan

∀ej_fj∈f˜ için ˜d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) <  olmasdr. Buradan,

veya

ϕψ(B_d˜₁(ei_fi, δ)) ˜⊆B_d˜₂(ϕψ(ei_fi), )

olacak ³ekilde δ > 0 vardr. Buradan,

B_d˜₁(ei_fi, δ) ˜⊆ϕψ−1(Bd˜2(ϕψ(eifi), ))

elde edilir.

Tanm 5.4.2. (f, ˜d1) esnek metrik uzaynn tüm esnek açk alt kümelerinin ailesi

˜

τ_d˜₁, tüm esnek kapal alt kümelerinin ailesi ˜z_d˜₁; (g, ˜d2) esnek metrik uzaynn tüm

esnek açk alt kümelerinin ailesi ˜τ_d˜₂, tüm esnek kapal alt kümelerinin ailesi ˜z_d˜₂ ile

gösterilecektir.

Örnek 5.4.1. Bir esnek ayrk metrik uzay üzerinde tanml her esnek fonksiyon esnek süreklidir. Bunu göstermek için, (f, ˜d1) ve (g, ˜d2) iki esnek metrik uzay ve

ϕψ : SE(U ) → SK(V )olsun. ei_fi∈f˜ alnrsa, e§er her ej_fj∈f˜ için ˜d1(ei_fi, ej_fj) < 1ise

f bir esnek ayrk metrik uzay oldu§undan ˜d1(ei_fi, ej_fj) = 0 olmaldr. O halde her

ej_fj∈f˜ için ei_fi = ej_fj olmak zorundadr. Bu, B_d˜₂(ej_fj, 1) = {ei_fi}anlamna gelir. O

halde her ej_fj∈f˜ için ϕψ(ej_fj) = ϕψ(ei_fi)olur ve buradan da

˜

d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) = 0 < 

elde edilir. Buna göre δ = 1 almak yeterlidir. Bu da ϕψ esnek fonksiyonunun

ei_fi esnek noktasnda esnek sürekli oldu§unu verir. ei_fi esnek noktas, f uzaynn

herhangi bir esnek noktas oldu§undan ϕψ esnek fonksiyonu, f üzerinde esnek

süreklidir.

Örnek 5.4.2. Herhangi bir esnek sabit fonksiyon esnek süreklidir. Gerçekten de, (f, ˜d1) ve (g, ˜d2) esnek metrik uzaylar ve ϕψ : SE(U ) → SK(V ) esnek sabit bir

fonksiyon olsun. Bu durumda, Tanm 3.2.3' den ej_fj∈g˜ olmak üzere her ei_fi, ej_fj∈f˜

için ϕψ(ei_fi) = ϕψ(ej_fj) elde edilir. Bu nedenle her zaman,

˜

olur. O halde herhangi bir ej_fj∈f˜ ve  > 0 verildi§inde δ olarak herhangi bir

pozitif sayy alabiliriz. Bu da ϕψ esnek sabit fonksiyonunun esnek sürekli oldu§unu

gösterir.

Örnek 5.4.3. Herhangi (f, ˜d1) ve (g, ˜d2) esnek metrik uzaylar için ϕψ : SE(U ) →

SK(V )esnek izometri fonksiyonu f üzerinde esnek süreklidir. Bunu göstermek için

∀ei_fi, ej_fj∈f˜ alnrsa, esnek izometri özelli§inden,

˜

d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) = ˜d1(ei_fi, ej_fj)

elde edilir. esfs∈f˜ olsun.  > 0 için δ =  seçilsin. Bu durumda ekfk∈f˜ olmak üzere

˜

d1(es_fs, ek_fk) < δ oldu§unda,

˜

d2(ϕψ(esfs), ϕψ(ekfk)) = ˜d1(esfs, ekfk) < 

olur. O halde ϕψ, f üzerinde esnek süreklidir.

Teorem 5.4.1. (f, ˜d) bir esnek metrik uzay olsun. f in herhangi ayrk ve esnek kapal g1 ve h1 esnek alt kümeleri için g1⊆g˜ 2 ve h1⊆h˜ 2 olacak ³ekilde g2 ve h2 ayrk

ve esnek açk esnek alt kümeleri vardr.

spat . E§er g1 = Φ veya h1 = Φ ise g2 = Φ ve h2 = f ayrk ve esnek açk alt

kümeleri alnarak ispat tamamlanr. Di§er yandan,

g1 6= Φ ve h1 6= Φ olsun. ei_fi∈g˜ 1 için ei_fi∈h˜/ 1 ve h1 esnek kapal oldu§undan

˜

d(ei_fi, h1) = re_if

i

> 0 bulunur. Benzer ³ekilde ek_fk∈h˜ 1 için ˜d(ek_fk, g1) = re_kf

k > 0 olur. g2 = ˜∪{B(ei_fi, re_if i 3 ) : eifi∈g˜ 1} ve h2 = ˜∪{B(ek_fk, re_kf k 3 ) : ekfk∈h˜ 1}

olarak tanmlansn. Buradan, g1⊆g˜ 2 ve h1⊆h˜ 2 elde edilir. Ayrca g2 ve h2 nin

her ikisi de esnek açk yuvarlarn esnek birle³imi oldu§undan esnek açktr. Di§er taraftan, kabul edelim ki, esfs∈g˜ 2∩h˜ 2 olsun. O halde,

esfs∈B(e˜ jfj, re_jf j 3 ) ˜∩ B(ejfj, re_jf j 3 )

olacak ³ekilde bir ej_fj∈g˜ 1 ve ej_fj∈h˜ 1 vardr. Buradan,

˜

d(ej_fj, ej_fj) ≤ ˜d(ej_fj, esfs) + ˜d(esfs, ejfj) <

re_jf j 3 + re_jf j 3 ≤ 2 3 ˜ d(g1, h1)

bulunur ki, g1 ve h1 esnek ayrk oldu§undan bu bir çeli³kidir. O halde g2∩h˜ 2 = Φ

olmak zorundadr.

Teorem 5.4.2. (f, ˜d1)ve (g, ˜d2) iki esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V )bir

esnek fonksiyon olsun. ϕψ nin f üzerinde esnek sürekli olmas için gerek ve yeter

³art (g, ˜d2) içindeki her h esnek açk kümesi için ϕ−1ψ (h) esnek kümesinin (f, ˜d1)

içinde esnek açk olmasdr.

spat . ⇒: ϕψ, f üzerinde esnek sürekli ve h, (g, ˜d2) içinde esnek açk bir küme

olsun. Φ ve f esnek açk oldu§undan ϕ−1

ψ (h) 6= Φ ve ϕ −1

ψ (h) 6= f olmak üzere

ei_fi∈ϕ˜ −1ψ (h)alnsn. Bu durumda ϕψ(ei_fi)˜∈holur. h esnek açk oldu§undan (ϕψ(ei_fi), ) ˜⊆h

olacak biçimde bir  > 0 vardr. ϕψ, ei_fi de esnek sürekli oldu§undan,

B_d˜₁(ei_fi, δ) ˜⊆ϕ−1ψ (Bd˜2(ϕψ(eifi), )) ˜⊆ϕ

−1

ψ (h)

olacak ³ekilde δ > 0 vardr. O halde ϕ−1

ψ (ei_fi) in herbir esnek noktas birer esnek iç

noktadr ve bu nedenle ϕ−1

ψ (h), f içinde esnek açktr.

⇐: gY nin her h esnek açk kümesi için ϕ−1ψ (h), f içinde esnek açk olsun. O halde,

hipotezden, ϕ−1

ψ (Bd˜2(ϕψ(eifi), )), f içinde esnek açktr.

ei_fi∈ϕ˜ −1ψ (Bd˜2(ϕψ(eifi), ))

oldu§undan,

B_d˜₁(ei_fi, δ) ˜⊆ϕψ−1(Bd˜2(ϕψ(eifi), ))

olacak ³ekilde δ > 0 vardr. Sonuç olarak, ϕψ, ei_fi de esnek süreklidir ve böylece

ei_fi∈f˜ key oldu§undan ϕψ, f üzerinde esnek süreklidir.

Teorem 5.4.3. (f, ˜d1)ve (g, ˜d2) iki esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V )bir

esnek fonksiyon olsun. ϕψ nin f üzerinde esnek sürekli olmas için gerek ve yeter

³art (g, ˜d2) içindeki her k esnek kapal kümesi için ϕ−1_ψ (k) esnek kümesinin (f, ˜d1)

spat . ⇒: ϕψ, f üzerinde esnek sürekli ve k, (g, ˜d2) içinde esnek kapal bir küme

olsun. Bu durumda g˜\k, g içinde esnek açktr ve böylece ϕ−1

ψ (g˜\k), f içinde esnek

açktr.

ϕ−1_ψ (g˜\k) = f ˜\ϕ−1_ψ (k) oldu§undan f˜\ϕ−1

ψ (k) esnek açktr. O halde ϕ −1

ψ (k), f içinde esnek kapaldr.

⇐: ∀k˜∈ ˜z_d˜₂ olsun. Bu durumda, g˜\˜∈˜τ_d˜₂ olur. Hipotezden, k˜∈ ˜z_d˜₂ için, ϕ−1_ψ (k)˜∈ ˜z_d˜₁

oldu§undan f˜\ϕ−1

ψ (k), f içinde esnek açktr. Böylece,

f ˜\ϕ−1_ψ (k) = ϕ−1_ψ (g˜\k) oldu§undan ϕ−1

ψ (g˜\k)˜∈˜τd˜1 olur. O halde ϕψ, f üzerinde esnek süreklidir.

Teorem 5.4.4. (f, ˜d1)ve (g, ˜d2) iki esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V )bir

esnek fonksiyon olsun. g ˜⊆f için a³a§daki önermeler denktir:

i. ϕψ esnek süreklidir.

ii. ϕψ(g) ˜⊂ ϕψ(g)

spat . (i) ⇒ (ii) : ϕψ esnek sürekli olsun. ϕψ(g)˜∈ ˜z_d˜₂ dir. Buradan, ϕ−1_ψ (g)˜∈ ˜z_d˜₁

olur. Ayrca,

g ˜⊆ ϕ−1_ψ (ϕψ(g)) ˜⊆ ϕ−1ψ (ϕψ(g))

oldu§undan ve g, g yi içeren esnek kapallarn en küçü§ü oldu§undan,

g ˜⊆ ϕ−1_ψ (ϕψ(g))

ve buradan da,

ϕψ(g) ˜⊂ ϕψ(ϕ−1ψ (ϕψ(g))) ˜⊂ ϕψ(g)

elde edilir.

(ii) ⇒ (i) : ϕψ(g) ˜⊂ ϕψ(g) ve k˜∈ ˜z_d˜₂ olsun. Bu durumda k = k dr. g = ϕ−1_ψ (k)

olsun.

elde edilir ve buradan,

g, ˜⊆ ϕ−1_ψ (ϕψ(g)), ˜⊆ ϕ−1ψ (k) = g

bulunur.

g ˜⊆ g oldu§undan g = g dr ve böylece g, f içinde esnek kapaldr. O halde ϕψ esnek

süreklidir.

Teorem 5.4.5. (f, ˜d1)ve (g, ˜d2) iki esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V )bir

esnek fonksiyon olsun. h ˜⊆g olmak üzere a³a§daki önermeler denktir:

i. ϕψ esnek süreklidir.

ii. ϕ−1

ψ (h) ˜⊂ ϕ −1

ψ (h)

spat . (i) ⇒ (ii) : ϕψ esnek sürekli olsun. h˜∈ ˜z_d˜₂ oldu§undan ϕ−1_ψ (h)˜∈ ˜z_d˜₁ olur.

h ˜⊂ h oldu§undan ϕ−1_ψ (h) ˜⊂ϕ−1_ψ (h) bulunur. ϕ−1_ψ (h), ϕ−1_ψ (h) esnek kümesini içeren en dar esnek kapal küme oldu§undan,

ϕ−1_ψ (h) ˜⊂ϕ−1_ψ (h) elde edilir.

(ii) ⇒ (i) : h ˜⊆g için ϕ−1_ψ (h) ˜⊂ϕ−1_ψ (h) ve ∀k˜∈ ˜z_d˜₂ alnsn. Bu durumda, k = k ve

buradan da,

ϕ−1_ψ (k) ˜⊂ϕ−1_ψ (k) = ϕ−1_ψ (k) bulunur ve böylece,

ϕ−1_ψ (k) = ϕ−1_ψ (k) elde edilir. O halde ϕψ, esnek süreklidir.

Sonuç 5.4.1. (f, ˜d1) ve (g, ˜d2) iki esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V ) bir

esnek fonksiyon olsun. Bu durumda a³a§daki önermeler denktir:

i. ϕψ esnek süreklidir.

ii. ∀h ˜⊆g için ϕ−1

ψ (h) ˜⊂ ϕ −1

iii. ∀g ˜⊆f için ϕψ(g) ˜⊂ ϕψ(g)

5.4.2 Esnek Düzgün Süreklilik

Bu bölümde esnek düzgün süreklilik tanmlanarak, esnek süreklilik ile ili³kisi ara³trl- d. Esnek düzgün sürekli her fonksiyonun esnek sürekli oldu§u fakat tersinin genellikle do§ru olmad§ örnekle gösterildi. Esnek çap yardmyla, esnek düzgün süreklili§in yeni bir karaktarizasyonu verildi. Ayrca, esnek izometri, esnek birim ve esnek sabit fonksiyonun esnek düzgün sürekli oldu§u gösterildi.

Tanm 5.4.3. (f, ˜d1) ve (g, ˜d2) iki esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V ) bir

esnek fonksiyon olsun. E§er ∀ > 0 saysna kar³lk ∀ei_fi, ej_fj∈f˜ için

˜

d1(ei_fi, ej_fj) < δ ⇒ ˜d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) < 

olacak biçimde bir δ > 0 varsa ϕψ esnek fonksiyonu esnek düzgün süreklidir denir.

Esnek süreklilik ile esnek düzgün süreklilik tanmlar birbirine benzer görünse de, aralarnda önemli farkllklar vardr.A³a§da bu farkllklar ara³trlm³tr:

Uyar 5.4.3. ∀ei_fi, ∀ > 0, ∃δ > 0 öyle ki,

˜

d1(ei_fi, ej_fj) < δ

ko³ulunu sa§layan ∀ej_fj∈f˜ için,

˜

d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) < 

ise ϕψ ye f üzerinde esnek süreklidir denir. Farkllk, δ saysnn hesaplanmasnda

ortaya çkmaktadr:

Esnek süreklilik tanmda δ says ei_fi den sonra hesaplanmaktadr ve bu nedenle

δ, hem , hem de ei_fi esnek noktasna ba§l olabilir. Esnek düzgün süreklilikte

ise, δ says ei_fi den önce hesaplanmaktadr ve bu nedenle seçilen δ says her ei_fi

says alnabilir ve bu nedenle δ,  saysna ba§ldr fakat ei_fi esnek noktasndan

ba§mszdr.

Bu sebeple bir esnek küme üzerinde esnek düzgün sürklilikten bahsedilebilir ve asla bir esnek noktada esnek düzgün süreklilikten bahsedilemez.

Uyar 5.4.4. Esnek düzgün sürekli her fonksiyon esnek süreklidir fakat tersi genellikle do§ru de§ildir. A³a§da buna ait bir örnek verilmi³tir:

Örnek 5.4.4. f ve g üzerinde Önerme 5.1.2'de verilen esnek metrik uzaylar tanmlansn.

ϕψ : (f, ˜d1(ei_fi, ej_fj) = |aki− akj|) → (gY, ˜d2(ei_fi, ej_fj) = |aki− akj|)

ile verilen ϕψ(aki) = a2ki kuralna sahip esnek fonksiyon esnek süreklidir fakat esnek

düzgün sürekli de§ildir.

Esnek sürekli oldu§unu göstermek için,  > 0 ve ∀ei_fi∈f˜ için δ > 0 verildi§inde

˜

d1(ei_fi, ej_fj) < δ ko³ulunu sa§layan ∀ej_fj∈f˜ alnsn. ||aki| − |akj|| ≤ |aki − akj| < δ

olur. Buradan, −(|aki| − |akj|) < δ ve |akj| < δ + |aki| olur.

˜ d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) = |a2ki− a2kj|) = |a2 ki− akiakj+ akiakj − a2kj| = |aki(aki− akj) + akj(aki− akj)| 6 |aki||aki− akj| + |akj||aki− akj|

|akj| = c0 olmak üzere δ ≤ min{_2|a

ki|,



2c0} olur. O halde,

|aki||aki− akj| + |akj||aki− akj| < |aki||aki− akj| + c0|aki− akj|

< |aki|_2|a

ki| + c0

 2c0 = 

O halde ϕψ esnek süreklidir.

Esnek düzgün sürekli olmad§n göstermek için, esnek düzgün sürekli oldu§unu kabul edelim.  > 0, δ > 0 için ˜d1(ei_fi, ej_fj) < δ ko³ulunu sa§layan ∀ei_fi, ej_fj∈f˜ için,

˜ d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) = |a2ki− (aki+ akj)2|) = |a2 ki− (a2ki+ 2akiakj + a2kj)| = |a2 ki− a2ki− 2akiakj− a2kj| = | − 1||2akiakj|

olur. ϕψ esnek düzgün sürekli oldu§undan, | − 1||2akiakj| <  kalr. Buradan, 2|aki||akj| <  ve |akj| <  2|aki| = δ

olur. δ, hem , hem de aki ye ba§l oldu§undan ϕψ esnek düzgün sürekli olamaz.

Tanm 5.4.4. (f, ˜d)bir esnek metrik uzay ve ∀ei_fi∈f˜ olsun. ∀ej_fj∈f˜ için sup ˜d(ei_fi, ej_fj)

saysna ei_fi esnek noktasnn ˜d esnek metri§inde esnek çap denir ve δ_d˜(ei_fi) ile

gösterilir.

Teorem 5.4.6. (f, ˜d1)ve (g, ˜d2) iki esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V )bir

esnek fonksiyon olsun. Bu durumda a³a§daki önermeler denktir:

i. ϕψ esnek düzgün süreklidir.

ii.  > 0 için ∃µ > 0 vardr öyle ki, δ_d˜₁(ei_fi) ≤ µ ko³ulunu sa§layan ∀ei_fi∈f˜ için

δ_d˜₂(ϕψ(ei_fi)) ≤ olur.

spat . (i) ⇒ (ii) : ϕψ esnek düzgün sürekli olsun. ∀ > 0, ∃µ > 0 için δ_d˜₁(ei_fi) < µ

ko³ulunu sa§layan ∀ei_fi∈f˜ için δ_d˜₁(ei_fi) ≤ µ oldu§undan ∀ek_fk∈f˜ için,

sup ˜d1(ei_fi, ek_fk) ≤ µ

olur. ϕψ esnek düzgün sürekli oldu§undan, ∀ei_fi, ek_fk∈f˜ için,

δ_d˜₂(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ek_fk)) ≤ 

kalr. ∀ej_fj, ej_fj∈ϕ˜ ψ(ei_fi) için,

olur. Buradan,

sup ˜d2(ej_fj, ej_fj) ≤ µ

elde edilir. Bu da esnek çap tanm oldu§undan,

δ_d˜₂(ϕψ(ei_fi)) ≤ 

elde edilir.

(ii) ⇒ (i) : ∀ei_fi, ek_fk∈f˜ için, δ_d˜₁(ei_fi) < µoldu§undan,

sup ˜d1(ei_fi, ek_fk) ≤ µ

olur. (ii) önermesinden,

δ_d˜₂(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ek_fk)) ≤ 

kalr. O halde,

sup ˜d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ek_fk)) ≤ 

olur. Buradan,

δ_d˜₂(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ek_fk)) ≤ 

elde edilir. O halde ϕψ esnek düzgün süreklidir.

Önerme 5.4.2. Herhangi (f, ˜d1)ve (g, ˜d2)esnek metrik uzaylar için ϕψ : SE(U ) →

SK(V ) esnek izometri fonksiyonu f üzerinde esnek düzgün süreklidir.

spat . ϕψ bir esnek izometri oldu§undan ∀ei_fi, ej_fj∈f˜ için,

˜

d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) = ˜d1(ei_fi, ej_fj)

özelli§ine sahiptir. ∀ > 0 için δ = 0 olmak üzere ei_fi, ej_fj∈f˜ için ˜d1(ei_fi, ej_fj) < 

oldu§unda,

˜

d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) = ˜d1(ei_fi, ej_fj) < 

oldu§undan, ϕψ esnek düzgün süreklidir.

Tanm 5.4.5. (f, ˜d) bir esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V ) bir esnek

fonksiyon olsun. ∀ei_fi∈f˜ için,

oluyorsa, ϕψ esnek fonksiyonuna esnek birim fonksiyon denir. Özel olarak if ile

gösterilir.

Önerme 5.4.3. Bir esnek metrik uzay üzerinde tanml esnek birim fonksiyon, esnek düzgün süreklidir.

spat . (f, ˜d) bir esnek metrik uzay ve ϕψ bir esnek birim fonksiyon olsun. ϕψ nin

tanmndan ∀ei_fi, ej_fj∈f˜ için,

˜

d(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) = ˜d(ei_fi, ej_fj)

olur. O halde,  > 0 verildi§inde δ =  seçilerek,

˜

d(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) = ˜d(ei_fi, ej_fj) < δ

sa§land§ndan ϕψ esnek düzgün süreklidir.

Önerme 5.4.4. Herhangi bir esnek sabit fonksiyon esnek düzgün süreklidir. spat . (f, ˜d1) ve (g, ˜d2) esnek metrik uzaylar ve ϕψ : SE(U ) → SK(V ) bir esnek

sabit fonksiyon olsun. Bu durumda ∀ei_fi, ej_fj∈f˜ ve ef∈g˜ için

ϕψ(ei_fi) = ϕψ(ej_fj) = ef

olur. Bu nedenle daima, ˜

d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj)) = 0

dr. O halde  > 0 verildi§inde ∀ei_fi, ej_fj∈f˜ için δ herhangi bir pozitif say olarak

seçilebilece§inden ϕψ esnek düzgün süreklidir.

5.4.3 Esnek Homeomorzm Dönü³ümü

Bir esnek metrik uzaydan bir ba³ka esnek metrik uzaya tanml esnek sürekli bir esnek fonksiyon verildi§inde, e§er varsa esnek ters fonksiyonun süreklili§ini ara³trma ihtiyac do§maktadr. Bu da esnek homeomorzm dönü³ümünün tanmlanmasna yardmc olmaktadr.

Bu bölümde, esnek metrik uzaylar arasnda, esnek homeomorzm tanmlanarak çe³itli esnek homeomorzm örnekleri verildi. Esnek denk metriklerin, varlklarn esnek topolojik özelliklerini koruyan esnek metrikler oldu§u gösterildi. Esnek açk ve esnek kapal kümeler yardmyla, esnek homeomorzm tanmlanarak, özellikleri teoremlerle ispatland.

Tanm 5.4.6. (f, ˜d1) ve (g, ˜d2) esnek metrik uzaylar ve ϕψ : SE(U ) → SK(V ) bir

esnek fonksiyon olsun. E§er ϕψ esnek birebir, esnek örten ve esnek sürekli ise ve g

üzerinde esnek sürekli bir ters fonksiyona sahipse, ϕψ ye bir esnek homeomorzm

denir.

Tanm 5.4.7. E§er (f, ˜d1)esnek metrik uzayndan (g, ˜d2)esnek metrik uzay üzerine

en az bir esnek homeomorzm varsa, f ile g esnek homeomorktir ya da esnek homeomorftur denir. Bu durumda g ye f in esnek homeomorf görüntüsü denir. Burada esnek üzerine, esnek örten yani ϕψ(f ) = g anlamnda kullanlm³tr.

Uyar 5.4.5. Esnek homeomorzmler uzaylarn esnek topolojik özelliklerini koru- duklarndan esnek topolojik dönü³üm de denilmektedir.

Teorem 5.4.7. Herbir esnek örten olan esnek izometri bir esnek homeomorzmdir. spat . ϕψ, (f, ˜d1)esnek metrik uzayndan (g, ˜d2)esnek metrik uzay üzerine esnek

örten bir esnek izometri olsun. ∀ei_fi, ej_fj∈f˜ için ϕψ(ei_fi) = ϕψ(ej_fj) olsun.

ϕψ(ei_fi) = ϕψ(ej_fj) ⇒ d˜1(ei_fi, ej_fj) = d˜2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ej_fj) = d˜2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ei_fi) = 0 oldu§undan, ei_fi = ej_fj

elde edilir. ϕψ esnek birebir ve esnek örten oldu§undan, ϕ−1ψ tanmldr.

∀ei_gi, ej_gj∈g˜ için,

˜

d1(ϕ−1ψ (ei_gi), ϕ−1ψ (ej_gj) = d˜2(ϕψ(ϕ−1ψ (ei_gi)), ϕψ(ϕ−1ψ (ej_gj)))

oldu§undan ϕ−1

ψ bir esnek izometridir. Örnek 5.4.3'den her esnek izometri, esnek

sürekli oldu§undan ϕψ ve ϕ−1ψ esnek süreklidir. O halde Tanm 5.4.6' dan ϕψ bir

esnek homeomorzmdir.

Uyar 5.4.6. Her esnek homeomorzm bir esnek izometri olmak zorunda de§ildir. A³a§da buna ait bir örnek verilmi³tir:

Örnek 5.4.5. (f, ˜d1) ve (g, ˜d2) birer esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V )

bir esnek fonksiyon olsun. ∀ei_fi, ej_fj∈f, e˜ i_gi∈g˜ için

ϕψ(ei_fi) = aki 1 + |aki| ³eklinde tanmlansn. ∀`˜<sub>∈N için u</sub>k∈f˜ A(e`)olsun. ϕψ(ei_fi) = aki 1 + |aki| = aki 1 + aki = a0_k i

olur. Bu e³itlik aki ye göre çözülürse,

a_ki 1+a_ki = a 0 ki ⇒ aki = a 0 ki + akia 0 ki ⇒ aki − akia 0 ki = a 0 ki ⇒ aki = a0_ki 1−a0 ki bulunur. Buradan, ϕ−1_ψ (ei_fi) = aki 1 − aki oldu§undan ϕ−1

ψ esnek süreklidir. Hem ϕψ, hem de ϕ−1ψ esnek sürekli oldu§undan

ϕψ bir esnek homeomorzmdir.

Di§er yandan, uk∈f˜ A(ei) ve uk ∈ f/ A(ej) olsun. Bu durumda, aki = 1 ve akj = 0

olur. ˜ d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ei_fi)) = | aki 1 + |aki| − akj 1 + |akj| | = |1 2| = 1 2 olur. Ayrca, ˜ d1(ei_fi, ej_fj) = |aki − akj| = |1| = 1

bulunur.

˜

d2(ϕψ(ei_fi), ϕψ(ei_fi)) 6= ˜d1(ei_fi, ej_fj)

oldu§undan ϕψ bir esnek izometri de§ildir.

Önerme 5.4.5. f esnek kümesi üzerinde tanmlanan iki esnek metrik ˜d ve ˜d0 ve bunlarn ürettikleri esnek topolojiler srasyla, ˜τ_d˜ ve ˜τ_d˜0 olsun. if ile esnek birim

fonksiyon gösterilmek üzere, a³a§daki önermeler denktir:

i. if bir esnek homeomorzmdir.

ii. ˜τ_d˜= ˜τ_d˜0

spat . (i) ⇒ (ii) : if bir esnek homeomorzm olsun. Esnek homeomorzmler

uzaylarnesnek topolojik özelliklerini korudu§undan ˜τ_d˜= ˜τ_d˜0 olur.

(ii) ⇒ (i) : ˜τ_d˜ = ˜τ_d˜0 olsun. Esnek birim fonksiyon esnek birebir ve esnek örten

oldu§undan tersi tanmldr. ∀h ∈ ˜τ_d˜0 için,

i−1_f (h) = h ∈ ˜τ_d˜0 = ˜τ_d˜

oldu§undan if esnek süreklidir.

Di§er yandan, ∀g ∈ ˜τ_d˜için,

(i−1_f )−1(g) = if(g) = g ∈ ˜τ_d˜0

oldu§undan i−1

f esnek süreklidir. O halde if bir esnek homeomorzmdir.

Sonuç 5.4.2. ˜d ve ˜d0, f esnek kümesi üzerinde iki esnek metrik olsun. Bu durumda a³a§daki önermeler denktir:

i. if bir esnek homeomorzmdir.

ii. ˜d ve ˜d0 esnek denk metriklerdir.

Sonuç 5.4.3. Sonuç 5.4.2'den, esnek denk metriklerin matematik varlklarn esnek topolojik özelliklerini koruyan esnek metrikler oldu§u görülür.

Teorem 5.4.8. (f, ˜d1) ve (g, ˜d2) birer esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V )

esnek birebir ve esnek örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda a³a§daki önermeler denktir:

i. ϕψ bir esnek homeomorzmdir.

ii. ∀k ∈ ˜z_d˜₁ için ϕψ(k) ∈ ˜z_d˜₂

iii. ∀h ∈ ˜z_d˜₂ için ϕ−1_ψ (h) ∈ ˜z_d˜₁

spat . (i) ⇒ (ii) : ϕψ bir esnek homeomorzm olsun. Bu durumda ϕ−1_ψ esnek

sürekli oldu§undan ∀k ∈ ˜z_d˜₁ için (ϕ−1_ψ )−1(k) ∈ ˜_zd˜₂ olur. ϕψ esnek birebir oldu§undan,

(ϕ−1_ψ )−1(k) = ϕψ(k) ∈ ˜z_d˜₂

elde edilir.

Di§er gerektirmeler de, benzer ³ekilde yaplabilir.

Teorem 5.4.9. (f, ˜d1) ve (g, ˜d2) birer esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V )

esnek birebir ve esnek örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda a³a§daki önermeler denktir:

i. ϕψ bir esnek homeomorzmdir.

ii. ∀g ˜⊆ f için ϕψ(g) = ϕψ(g)

spat . (i) ⇒ (ii) : ϕψ bir esnek homeomorzm olsun. ϕψ esnek sürekli oldu§undan,

Teorem 5.4.4'den,

ϕψ(g) ˜⊂ ϕψ(g)

sa§lanr. Ayrca ∀g ˜⊆ f için g ˜⊆ f esnek kapaldr. ϕψ bir esnek homeomorzm

oldu§undan ϕψ esnek kapaldr. Buradan,

olur. Di§er yandan, g ˜⊆ g oldu§undan, ϕψ(g) ˜⊆ ϕψ(g) bulunur. ϕψ(g), ϕψ(g) yi

içeren esnek kapal kümelerin en dar oldu§undan,

ϕψ(g) ˜⊆ ϕψ(g) ˜⊆ ϕψ(g)

bulunur. O halde,

ϕψ(g) = ϕψ(g)

elde edilir.

(ii) ⇒ (i) : ∀g ˜⊆ f için ϕψ(g) = ϕψ(g) ve k ∈ ˜z_d˜₂ olsun. Bu durumda Teorem

5.5.2'den ϕψ esnek süreklidir. ∀k ∈ ˜z_d˜₁ için k = k oldu§undan,

ϕψ(k) = ϕψ(k) = ϕψ(k)

ve buradan,

ϕψ(k) = ϕψ(k)

elde edilir. O halde ϕψ(k) ∈ ˜z_d˜₁ olmaldr.

∀k ∈ ˜_zd˜₁ için ϕψ(k) ∈ ˜z_d˜₁ oldu§undan ϕψ esnek kapaldr. O halde ϕ−1ψ esnek

süreklidir. O halde ϕψ bir esnek homeomorzmdir.

Teorem 5.4.10. (f, ˜d1)ve (g, ˜d2) birer esnek metrik uzay ve ϕψ : SE(U ) → SK(V )

esnek birebir ve esnek örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda a³a§daki önermeler denktir:

i. ϕψ bir esnek homeomorzmdir.

ii. ∀h ∈ ˜τ_d˜₁ ⇔ ϕψ(h) ∈ ˜τ_d˜₂

iii. ∀k ∈ ˜z_d˜₁ ⇔ ϕψ(k) ∈ ˜z_d˜₂

spat . (i) ⇒ (ii) : ϕψ bir esnek homeomorzm olsun. Bu durumda ϕψ ve ϕ−1ψ

esnek süreklidir. ∀h ∈ ˜τ_d˜₁ için,

olur. (ϕ−1 ψ ) −1_{(h) = ϕ} ψ(h) oldu§undan, ϕψ(h) ∈ ˜τ_d˜₂ elde edilir.

Di§er yandan, ϕψ(h) ∈ ˜τ_d˜₂ olsun. ϕψ esnek sürekli oldu§undan,

(ϕ−1_ψ )−1(h) = ϕψ(k) ∈ ˜τ_d˜₁

olur. esnek birebir oldu§undan,

(ϕ−1_ψ )−1(h) = h e³itli§i vardr. Buradan,

h ∈ ˜τ_d˜₁

elde edilir.

(ii) ⇒ (iii) : ∀k ∈ ˜z_d˜₁ için f˜\k ∈ ˜τ_d˜₁ olur. (ii) den,

ϕψ(f ˜\k) ∈ ˜τ_d˜₂

bulunur. Buradan,

g˜\ϕψ(f ˜\k) ∈ ˜z_d˜₂

olur. ϕψ esnek örten oldu§undan,

g˜\ϕψ(f ˜\k) = ϕψ(f )˜\ϕψ(f ˜\k) = ϕψ(k)

olarak bulunur. Buradan da,

ϕψ(k) ∈ ˜z_d˜₂

elde edilir.

Di§er yandan, ϕψ(k) ∈ ˜z_d˜₂ olsun. Bu durumda,

olur. ϕψ esnek örten oldu§undan,

g˜\ϕψ(k) = ϕψ(f )˜\ϕψ(k) = ϕψ(f ˜\k)

elde edilir. O halde,

ϕψ(f ˜\k) ∈ ˜τ_d˜₂

bulunur. (ii) den,

f ˜\k ∈ ˜τ_d˜₁

ve buradan da,

k ∈ ˜_zd˜₁

elde edilir.

(iii) ⇒ (i) : (iii) önermesi sa§lansn. ∀k ∈ ˜z_d˜₁ için (iii) den,

ϕψ(k) ∈ ˜z_d˜₂

olur. (ϕ−1

ψ )

−1_{(k) = k ve k ∈ ˜z} ˜

d1 oldu§undan, ϕψ esnek süreklidir.

Di§er yandan, (iii) önermesinden, ∀k ∈ ˜z_d˜₁ için ϕψ(k) ∈ ˜z_d˜₂ sa§lanr. Buradan,

ϕψ(k) = (ϕ−1ψ ) −1

(k) ∈ ˜_zd˜₂

bulunur. Esnek kapallarn ters görüntüsü esnek kapal oldu§undan, ϕ−1

ψ esnek

Bu çal³ma, Ça§man ve Engino§lu (2010) tarafndan tanmlanan esnek küme i³lemle- rine dayal olarak yaplm³tr. Esnek topoloji, f esnek kümesi üzerine kurulmu³ ve esnek topolojik uzay, f esnek kümesinin ˜τ esnek topolojisine aitli§i esas alnarak tanmlanm³tr. Esnek baz tanmlam³ ve ayn esnek küme üzerinde ayn esnek baza sahip iki esnek topolojinin birbirine e³it iki esnek topoloji oldu§u gösterilmi³tir. Esnek alt uzay tanmlanm³ ve esnek topolojik uzayn esnek baz yardmyla alt uzayn esnek baz incelenmi³tir. Esnek alt uzay ile evrensel esnek uzay arasndaki ili³ki sunulmu³tur. Esnek kümenin esnek içi ve esnek kapan³ tanmlanm³ ve temel özellikleri incelenmi³tir. Esnek sürekli fonksiyon, esnek açk fonksiyon ve esnek kapal fonksiyon tanmlanm³ ve baz özellikleri incelenmi³tir. Esnek sürekli fonsiyon yardmyla esnek homeomorzm tanmlanm³ ve esnek homeomorf uzaylar arasnda esnek kümelerin esnek kapan³larnn yada esnek içlerinin esnek homeomorzm altndaki görüntüleri incelenmi³tir.

Son olarak, esnek nokta yardmyla esnek metrik uzay tanmlanm³ ve esnek metri§e dayal üretilen esnek açk kümelerin bir esnek topolojik uzay oldu§u gösterilmi³tir. Esnek metrik uzayda bir esnek kümenin çap, bir esnek noktannn esnek kümeye olan uzakl§ ve iki esnek kümenin birbirine uzakl§ tanmlanm³ ve baz özellikleri incelemi³tir. Esnek topolojik uzayda, esnek açk kümeler yardmyla tanmlanabilen esnek süreklilik, ilk kez esnek nokta yardmyla, tanm ve de§er kümesi esnek metrik uzaylar içinde olan esnek fonksiyonlarla tanmlanm³tr. Esnek açk yuvar ve esnek kapal yuvarlar yardmyla da esnek süreklilik tanmlanp, aralarndaki ili³kiler sunul- mu³tur.

Esnek topolojik uzaylarda tanmlanamayan, esnek düzgün süreklilik kavram tanmlan- m³tr. Neden bir esnek noktada de§il, bir esnek küme üzerinde esnek düzgün süreklilikten bahsedilebilece§i detayl bir ³ekilde açklanm³tr. Ayrca, tanmlar benzer görünse de, esnek süreklilik ile esnek düzgün süreklilik arasndaki farkllklar gösterilmi³tir. Esnek düzgün sürekli fonksiyon örnekleri verilerek çe³itli esnek fonksiyon- larla arasndaki ili³ki sunulmu³tur. Esnek metrik uzaylar arasnda, esnek homeomorzm

tanmlanarak çe³itli esnek homeomorzm örnekleri verilmi³tir. Esnek topolojik özelliklerin esnek homeomorzmler altnda korundu§u örneklerle gösterilmi³tir.

Bu çal³mada incelenen esnek metrik uzaylar haricinde, esnek metrik uzaylar içinde esnek yaknsaklk ve esnek tamlk, esnek normlu vektör uzaylar, esnek Banach sabit nokta teoremi, esnek ba§lantllk ve esnek kompakt uzaylar gibi temel metrik özelliklerin incelenebilece§i dü³ünülmektedir.

Acar, U., Koyuncu, F. ve Tanay, B., 2010. Soft sets and soft rings. Computers and Mathematics with Applications, 59, 3458-3463.

Ali, M. I., Feng, F., Liu, X., Min, W. K. ve Shabir, M., 2009. On some new operations in soft set theory. Computers and Mathematics with Applications, 57, 1547-1553.

Akta³, H. ve Ça§man, N., 2007. Soft sets and soft groups. Information Sciences, 177(1), 2726-2735.

Aslm, G., 2011. Genel Topoloji. Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Yaynlar Yayn No:109, zmir.

Atanassov, K., 1986. Intuitionistic Fuzzy Sets. Fuzzy Sets and Syst. 64(2):87-96. Atagün, A. O. ve Sezgin, A., 2011. Soft substructures of rings, elds and modules.

Computers and Mathematics with Applications, 61, 592-601.

Aygüno§lu, A. ve Aygün, H., 2011. Some notes on soft topological spaces. Neural Computation and Application 521-011-0722-3.

Babitha, K. V. ve Sunil, J. J., 2010. Soft set relations and functions. Computers and Mathematics with Applications, 60, 1840-1849.

Ba³kan, T., and Bizim, O., and Cangül, I.N., 2006. Metrik Uzaylar ve Genel Topolojiye Giri³. Nobel Akademik Yaynclk E§itim ve Dan³manlk Tic. Ltd. “ti., Ankara.

Bayramov, S., ve Gündüz, Ç., 2004. Genel Topoloji. Ça§layan Kitabevi, stanbul. Bülbül, A., 2011. Genel Topoloji. Hacettepe Üniversitesi Yaynlar, Ankara. Chang, C.L., 1968. Fuzzy Topological Spaces. J. Math. Anal Appl. 24:182-190. Chen, D., Tsang, E.C.C. ve Yeung, D.S., 2003. Some notes on the parameterization

reduction of soft sets. International Conference on Machine Learning and Cybernetics, 3,1442-1445.

Chen, D., Tsang, E.C.C., Yeung, D.S. ve Wang, X., 2005. The parameterization reduction of soft sets and its applications. Computers and Mathematics with Applications, 49(1), 757-763.

Ça§man, N. ve Engino§lu, S., 2010. Soft matrix theory and its decision making. Computers and Mathematics with Applications, 59, 3308-3314.

Ça§man, N. ve Engino§lu, S., 2010. Soft set theory and uni-int decision making. European Journal of Operational Research, 207, 848-855.

Ça§man, N., Çtak, F. ve Engino§lu, S., 2010. Fuzzy parameterized fuzzy soft set theory and its applications. Turkish Journal of Fuzzy Systems, 1(1), 21-35. Ça§man, N., Engino§lu, S. ve Çtak, F., 2011. Fuzzy soft set theory and its

applications. Iranian Journal of Fuzzy Systems, 8(3), 137-147.

Ça§man, N., Çtak, F. ve Engino§lu, S., 2011. FP-soft set theory and its applications. Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 2(2), 219-226. Ça§man, N., Karata³, S. ve Engino§lu, S., 2011. Soft Topology. Computers and

Mathematics with Applications, 62, 351-358.

Çoker, D., 1996. An introdction to intuitionistic fuzzy topological spaces. Fuzzy Sets and Systems 88 (1997) 81-89.

Dönmez, A., 2000. Metrik ve Topolojik Uzaylar. Beta Yaynclk, stanbul.

Feng, F., Jun, Y. B. ve Zhao, X., 2008. Soft semirings. Computers and Mathematics with Applications, 56(10), 2621-2628.

Feng, F., Jun, Y. B., Liu, X. ve Li, L., 2010. An adjustable approach to fuzzy soft set based decision making. Journal of Computational and Applied Mathematics, 234, 10-20.

Feng, F., Li, Y. ve Leoreanu-Fotea, V., 2010. Application of level soft sets in decision making based on interval-valued fuzzy soft sets. Computers and Mathematics with Applications, 60, 1756-1767.

Feng, F., Liu, X. Leoreanu-Fotea, V. ve Jun, Y. B., 2011. Soft sets and soft rough

Belgede Esnek metrik uzaylar (sayfa 79-104)