P P P P 0 1 2 001 002 122 P022 P112 P012 P011 0 4 3 1 7 8 5 6 2
Figura 2.7: Exemplo de partição de um triângulo em32partes.
Para espaços de dimensão superiores a quatro, fica difícil comprovar visualmente que o algoritmo proposto para implementar a divisão de simplexo orientada pelas arestas funciona corretamente. Um teste fácil de ser realizado é verificar a propriedade deste algoritmo de divisão de que o volume d-
dimensional doskdsimplexos gerados são iguais ao volume do simplexo original dividido porkd. O
hiper-volume de umd-simplexo σ pode ser calculado a partir do seguinte determinante:
vol(σ) = 1
d!| det [P1− P0. . . Pi − P0. . . Pd− P0]| (2.4)
Por exemplo, considere o simplexo no espaço 6-dimensional definido pelo conjunto de vértices:
{[1 0,1 0 0 0 0]T;[0 1 0 0,3 0 0]T;[0,2 0 1 0 0 0]T;[0 0 0 1 0,1 0]T;[0 0,2 0 0 1 0]T;[0 0 0 0 0,1 1]T;
[0,8 1 0,9 1 1 1]T}. O volume deste simplexo é calculado como sendo 5,4276 × 10−3. Parak = 4,
os 4096 simplexos gerados pelo algoritmo de divisão proposto possuem o mesmo volume igual a
1,3251× 10−6, sendo que a soma dos volumes é igual ao volume do simplexo original. Outros testes
semelhantes envolvendo volumes foram realizados com sucesso.
2.6
Conclusões
Neste capítulo foi apresentada uma nova estratégia de partição de politopos que será útil para o emprego de algoritmos tipo branch-and-bound nos procedimentos de análise de estabilidade e de desempenho de sistemas incertos lineares invariantes no tempo que serão apresentados nos próximos dois capítulos. A estratégia proposta é baseada em malhas simpliciais. No caso de modelos dependen- tes de parâmetros, caso o politopo já não seja um simplexo, é utilizada a triangularização de Delaunay para decompor o politopo exatamente em um conjunto de simplexos. Os refinamentos posteriores são realizados por uma técnica de divisão de simplexo orientada pelas arestas. Como contribuição desta
tese é apresentado um algoritmo de simples implementação para a técnica de divisão de simplexo em qualquer dimensão. Tal algoritmo permite o emprego do algoritmo branch-and-bound para politopos de qualquer formato. Deste modo é possível tratar de modelos politópicos e modelos por dependência afim de parâmetros. Lidar com malhas simpliciais ao invés de hiper-retângulos também irá resultar em um algoritmo branch-and-bound muito mais eficiente para a aplicação que será considerada nos capítulos seguintes.
Capítulo 3
Análise de
D-Estabilidade Robusta
3.1
Introdução
A análise de estabilidade de sistemas incertos é, a princípio, um problema de difícil tratamento uma vez que é necessária a verificação de infinitos sistemas pertencentes ao domínio de incerteza. A Teoria de Lyapunov tem sido empregada intensivamente para a análise de estabilidade robusta uma vez que o problema de dimensão infinita é reduzido a um problema de dimensão finita sendo que apenas os vértices do domínio politópico de incerteza necessitam ser verificados. A análise de estabilidade pela Teoria de Lyapunov é caracterizada por um problema de factibilidade, formulado em termos de LMIs, que pode ser facilmente resolvido por um dos programas “LMI-solvers” dis- poníveis (ver Peaucelle, Henrion, Labit e Taitz (2002) para uma lista de “solvers” e interfaces). A condição de estabilidade quadrática, baseada em uma única função de Lyapunov, é a formulação mais simples, porém a mais conservadora. Para reduzir o conservadorismo, podem-se utilizar funções de Lyapunov dependentes de parâmetros (de Oliveira, Bernussou e Geromel, 1999; de Oliveira, Gero- mel e Hsu, 1999; de Oliveira e Skelton, 2002; Ramos e Peres, 2001; Ramos e Peres, 2002; de Oli- veira, 2004; Kau et al., 2005; Oliveira e Peres, 2005c) e funções de Lyapunov com dependência polinomial de parâmetros (Henrion et al., 2004; Chesi et al., 2005b; Oliveira e Peres, 2005a; Oli- veira e Peres, 2006). A vantagem destas últimas formulações é que o conservadorismo da condição suficiente pode ser reduzido com o aumento do grau da função de Lyapunov polinomial, porém, a complexidade aumenta rapidamente tanto com o grau do polinômio como com o número de vértices do domínio incerto politópico. Em Chesi (2005) é apresentada uma condição suficiente e “assinto- ticamente” necessária para análise de estabilidade robusta de sistemas lineares contínuos no tempo, com domínio de incerteza na forma de um hiper-cubo, que pode ser verificada através de problemas convexos de otimização LMI. Em Ebihara et al. (2005) são propostas condições LMI para análise ro- busta de estabilidade de sistemas contínuos no tempo considerando funções de Lyapunov associadas
com derivadas de alta ordem do vetor de estado. No caso das formulações LMI de análise de estabi- lidade que são apenas condições suficientes, quando não é encontrada uma solução para o problema de factbilidade, nada pode ser afirmado a respeito da estabilidade do sistema. Como verificado em Leite e Peres (2003) e Kau et al. (2005), a eficiência da formulação LMI de análise diminui com o aumento do número de vértices do politopo e da ordem do sistema. É possível obter formulações menos conservadoras aumentando o número de variáveis de decisão ao custo de um maior tempo de processamento. A Teoria de Lyapunov pode ser estendida para tratar do problema deD-estabilidade robusta em que se deseja verificar se todos os pólos estão robustamente localizados em regiões conve- xas do plano complexo, denominadas regiõesLMI (Chilali e Gahinet, 1996; Peaucelle et al., 2000).
AD-estabilidade robusta pode ser caracterizada baseada em estabilidade quadrática ou baseada em
funções de Lyapunov dependentes de parâmetros (Peaucelle et al., 2000; Leite e Peres, 2003; Gao e Xue, 2004).
Neste capítulo é proposto um novo método de análise que permite determinar se um sistema linear invariante no tempo é robustamenteD-estável ou não. Para obter este resultado, o método de análise proposto é baseado em um procedimento que combina formulações LMI de análise, derivadas da Te- oria de Lyapunov, e uma técnica de partição de politopos. A idéia básica do procedimento proposto é particionar o politopo iterativamente até que todos os subpolitopos obtidos atendam à condição su- ficiente deD-estabilidade robusta, ou seja encontrado um sistema pertencente ao politopo que não
é D-estável. O método de análise proposto combina a redução do conservadorismo das condições
suficientes baseadas em LMIs, pela partição do politopo, com um método de grade (ou discretiza- ção do domínio) para verificação pontual dos autovalores dos sistemas pertencentes ao politopo. A estratégia de dividir o politopo até que possa ser afirmado se um sistema incerto é instável ou robusta- mente estável não é nova, tendo sido utilizada por DeMarco et al. (1990) para o caso de um politopo na forma de hiper-retângulo, sendo mais restrita que o novo método proposto. A contribuição deste trabalho é apresentar uma implementação completamente diferente da apresentada no início dos anos 90, considerando formulações de análise baseadas em LMIs desenvolvidas recentemente e a nova téc- nica de partição de politopos proposta nesta tese, apresentada no Capítulo 2. O grande diferencial da estratégia de partição de politopos proposta é o fato de que a mesma considera malha simplicial per- mitindo a aplicação do método tanto para modelos de incerteza politópicos como para modelos com dependência afim de parâmetros. Trabalhar com malha simplicial é mais eficiente uma vez que os simplexos são os politopos com menor número de vértices possíveis em uma determinada dimensão. O número de vértices do politopo possui influência direta na complexidade (número de variáveis de decisão e número de linhas das LMIs) das condições suficientes de estabilidade baseadas em LMIs. Parte dos resultados apresentados neste capítulo também podem ser vistos em Gonçalves, Palhares, Takahashi e Mesquita (2006d).