Nous commen¸cons par la formule de Courant-Fischer [Cou20, Fis05], qui g´en´eralise une formule similaire pour les matrices hermitiennes.
Th´eor`eme 5.41(Courant-Fischer). Soit A un op´erateur auto-adjoint born´e inf´erieurement sur son domaine D(A)⊂ H et
Σ(A) := min σess(A)∈ R ∪ {+∞} le bas de son spectre essentiel. Alors
µk(A) := inf W⊂D(A) dim(W )=k max v∈W kvkH=1 hv, Avi = inf W⊂Q(A) dim(W )=k max v∈W kvkH=1 qA(v) (5.26) est ´egal `a
• la ki`eme valeur propre de A compt´ee avec multiplicit´e si 1]−∞,Σ(A)[(A) est de rang au moins ´egal `a k ;
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• le bas du spectre essentiel Σ(A) si A poss`ede moins de k valeurs propres sousΣ(A).
Siµk(A) < Σ(A), l’infimum de (5.26) est exactement atteint pour les espaces W qui sont engendr´es par k vecteurs propres de A, dont les valeurs propres associ´ees sont toutes inf´erieures ou ´egales `a µk(A).
Une autre formule pour µk(A) est donn´ee par
µk(A) = sup W⊂D(A) dim(W⊥)=k inf v∈W kvkH=1 hv, Avi = sup W⊂Q(A) dim(W⊥)=k inf v∈W kvkH=1 qA(v). (5.27)
La formule de Courant-Fischer est souvent appel´ee Rayleigh-Ritz [Str71, Rit09] en physique et Hylleraas-Undheim-McDonald (HUM) [HU30, Mac33] en chimie quantique, du nom de ceux qui l’ont utilis´ee les premiers pour calculer une approximation des valeurs propres d’un op´erateur auto-adjoint. Divers autres auteurs ont en fait utilis´e des formules similaires auparavant, comme Weyl [Wey12] et mˆeme Poincar´e [Poi90] `a la fin du XIX`eme si`ecle. La formule implique que
µk(A)≤ inf W⊂D dim(V )=k max v∈W kvkH=1 qA(v) (5.28)
pour tout espace D ⊂ Q(A) de dimension d ≥ k. En prenant une base (e1, ..., ed) de D, on voit que le terme de droite n’est autre que la ki`eme valeur propre λk(MD) de la matrice d× d
(MD)ij := ϕA(ei, ej)
et l’in´egalit´e (5.28) assure que cette derni`ere sera toujours une borne sup´erieure pour la v´eritable valeur propre de A. En pratique on cherche `a augmenter l’espace D de sorte que cette valeur propre converge vers celle de A, voir par exemple [Lew17] pour une discussion plus d´etaill´ee de la convergence de ces m´ethodes num´eriques. En autorisant l’espace `a D `a varier on peut aussi exprimer µk(A) sous la forme
µk(A) = inf
D⊂Q(A) dim(D)≥k
λk(MD). (5.29)
Exercice 5.42 (Principe variationnel pour la somme des valeurs propres). Justifier la formule (5.29) puis montrer que
k X j=1 µj(A) = inf D⊂Q(A) dim(D)=k Tr MD. (5.30)
Chapitre 5. Spectre des op´erateurs auto-adjoints 191
Ceci fournit une caract´erisation de la somme desk premi`eres valeurs propres d’un op´erateur (lorsqu’elles existent), qui est tr`es utile pour les particules fer-mioniques, comme nous le verrons plus tard au chapitre 6. La formule (5.30) est g´en´eralement attribu´ee `a Fan [Fan49].
La preuve du th´eor`eme 5.41 repose essentiellement sur la propri´et´e fon-damentale que tout espace de dimension k doit intersecter l’orthogonal d’un espace de dimension < k.
D´emonstration. L’´egalit´e des deux formules `a droite de (5.26) se montre en utilisant la densit´e de D(A) dans Q(A) pour la norme associ´ee. Les nombres µk(A) ainsi d´efinis forment une suite croissante :
µ1(A)≤ µ2(A)≤ · · · .
Notons λk(A) la ki`eme valeur propre de A sous Σ(A), compt´ee avec multi-plicit´e, en supposant qu’elle existe. Soit alors W le sous-espace engendr´e par k vecteurs propres vj correspondant aux valeurs propres λj(A) avec j≤ k. Pour tout v dans W , nous avons
hv, Avi = k X j=1 λj(A)|hv, vji|2 ≤ λk(A) k X j=1 |hv, vji|2= λk(A)kvk2,
de sorte que µk(A) ≤ λk(A). Si A poss`ede moins de k valeurs propres inf´erieures `a Σ(A), nous pouvons utiliser que 1]−∞,Σ(A)+ε](A) est de rang infini pour tout ε > 0 (comme vu dans la preuve du th´eor`eme 5.12). En prenant W n’importe quel sous-espace de dimension k dans l’image du pro-jecteur spectral 1]−∞,Σ(A)+ε](A), nous avons par le th´eor`eme spectral
hv, Avi ≤ (Σ(A) + ε)kvk2
pour tout v∈ W . En prenant ε → 0 nous avons donc montr´e que µk(A)≤ Σ(A) pour tout k.
Il reste `a prouver l’in´egalit´e inverse, ce que nous faisons par r´ecurrence sur k≥ 1. Pour k = 1,
µ1(A) = inf
v∈D(A) kvkH=1
hv, Avi = min σ(A),
qui suit du th´eor`eme spectral. Le bas du spectre est soit ´egal `a la premi`ere valeur propre quand elle existe (avec ´egalit´e si et seulement si v est un vec-teur propre associ´e), soit ´egal au bas du spectre essentiel. Supposons ensuite que l’assertion sur µk(A) a ´et´e d´emontr´ee et prouvons-la pour µk+1(A). Si µk(A) = Σ(A), il n’y a rien `a d´emontrer car la suite µj(A) est crois-sante et inf´erieure `a Σ(A), donc µk+1(A) = Σ(A) ´egalement. Ainsi, nous pouvons supposer que µk(A) = λk(A) < Σ(A), ce qui signifie que A a au
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moins k valeurs propres (compt´ees avec multiplicit´e) strictement inf´erieures `
a Σ(A). Par ailleurs, si λk+1(A) = λk(A) (ce qui est possible en cas de d´eg´en´erescence) alors bien sˆur µk+1(A) ≥ µk(A) = λk(A) = λk+1(A). Il nous reste donc `a traiter la situation o`u λk(A) < Σ(A) et 1]−∞,λk(A)](A) est de rang exactement k. Soit Vk l’espace engendr´e par les k premiers vec-teurs propres. Si W ⊂ D(A) est un sous-espace quelconque de dimension k + 1, alors il doit intersecter (Vk)⊥. Or pour tout v ∈ (Vk)⊥∩ Q(A) = 1]λk(A),+∞[(A)H∩Q(A) tel que kvk = 1, nous avons par le calcul fonctionnel
qA(v)≥ min σ A1]λk(A),+∞[(A)|V⊥ k .
Par le mˆeme argument que pour λ1(A), le minimum `a droite vaut λk+1(A) (la premi`ere valeur propre de A1]λk,+∞[(A) sur (Vk)⊥ si elle existe) ou Σ(A) (si A n’a que k valeurs propres sous Σ(A)). Ainsi, nous avons montr´e la formule (5.26).
Maintenant, si de plus λk(A) = µk(A) < Σ(A), tout sous-espace en-gendr´e par k vecteurs propres de valeurs propres≤ λk(A) r´ealise l’infimum `
a droite de (5.26). Soit alors j tel que λk(A) = λk+j(A) < µk+j+1(A) (qui d´epend de la multiplicit´e, finie, de la valeur propre λk(A)). Un sous-espace W ⊂ Q(A) de dimension k qui intersecte l’image du projecteur spectral 1]λk(A),+∞[(A) = 1[µk+j+1(A),+∞[(A) v´erifie pour v dans cet espace
qA(v) = qA1
[µk+j+1(A),+∞[(A)(v)≥ µk+j+1(A)kvk2 de sorte que
max
v∈W kvkH=1
hv, Avi ≥ µk+j+1(A) > λk(A).
Ainsi, on ne peut avoir ´egalit´e que si W est inclus dans l’image du projecteur spectral 1]−∞,λk(A)](A).
La preuve pour (5.27) est similaire et laiss´ee en exercice.
Une m´ethode pratique pour montrer que A poss`ede au moins k va-leurs propres sous son spectre essentiel suit imm´ediatement de la formule de Courant-Fischer.
Corollaire 5.43(Crit`ere d’existence de k valeurs propres sous Σ(A)). Soit A un op´erateur auto-adjoint born´e inf´erieurement sur son domaine D(A)⊂ Het
Σ(A) := min σess(A)∈ R ∪ {+∞}
le bas de son spectre essentiel. S’il existe un sous-espace W ⊂ Q(A) de dimensiondim(W ) = k tel que
max
v∈W kvk=1
qA(v) < Σ(A)
alors A poss`ede au moins k valeurs propres (compt´ees avec multiplicit´e) strictement inf´erieures `a Σ(A).
Chapitre 5. Spectre des op´erateurs auto-adjoints 193
La formule de Courant-Fischer permet aussi de comparer les valeurs propres d’op´erateurs (sous le spectre essentiel) en comparant leurs formes quadratiques. Le r´esultat suivant est une cons´equence imm´ediate de la for-mule de Courant-Fischer.
Corollaire 5.44(Valeurs propres d’op´erateurs ordonn´es). Soient (A, D(A)) et (B, D(B)) deux op´erateurs auto-adjoints born´es inf´erieurement, tels que A≤ B au sens de la d´efinition 5.6. Alors
µk(A)≤ µk(B) pour tout k≥ 1, et Σ(A) ≤ Σ(B), pour le bas de leur spectre essentiel.
Exemple 5.45(Valeurs propres de Dirichlet, Neumann et Robin). Soit Ω⊂ Rd un ouvert born´e dont la fronti`ere est Lipschitzienne. Soient (−∆)Rob,θ
le Laplacien avec conditions au bord de Robin. Alors les valeurs propres associ´ees, not´ees λk(θ) sont toutes des fonctions d´ecroissantes de θ∈]0, 1[. Ceci suit de la formule de Courant-Fischer, puisque la forme quadratique associ´ee q(−∆)Rob,θ(u) = Z Ω|∇u(x)|2dx + 1 tan(πθ) Z ∂Ω|u(x)|2dx, sur Q((−∆)Rob,θ) = H1(Ω). (5.31) (relire la section 3.3.4) est une fonction d´ecroissante de θ. Il est possible de montrer que θ∈]0, 1[7→ λk(θ) est continue et converge vers la ki`eme valeur propre du Laplacien de Dirichlet quandθ→ 0+ (exercice 5.58).
