O trabalho com equações é caracterizado pela mudança do ponto de vista processual das operações aritméticas para um entendimento relacional de expressões algébricas. Para Kieran (1992) uma das marcas dessa transição é a compreensão do sentido do sinal de igual ao longo da educação básica. Como já discutido anteriormente, o símbolo “=” tem ganhado destaque em pesquisas que estudam a passagem da aritmética para a álgebra (LESSA, 1996; BRITO MENEZES, 1996), mostrando que esse símbolo possui diferentes sentidos em atividades aritméticas e algébricas.
Kieran (1981) mostrou que crianças em anos elementares geralmente consideram que o sinal de igual significa a realização de processos de cálculos. Por exemplo, quando perguntadas como podem resolver o problema 8 + 4 = __ + 5, estudantes colocaram o número 12 no espaço em branco, alguns incluíam o 5 no total e colocavam 17, e outros colocavam o sinal de igual após o 5 e o número 17, desconsiderando o primeiro sinal de igual. Portanto, o trabalho com equações deve envolver atividades nas quais os alunos percebam o sentido do simbolo de igualdade.
Neste tópico, mostraremos como a professora criou situações que visavam favorecer o entendimento de equações ao trabalhar com a ideia de que dois termos se relacionam, ao invés de ser um resultado. A atividade desenvolvida pela professora poderá ajudar o entendimento do sinal de igual utilizado tanto na aritmética como na álgebra. Enquanto nos anos iniciais os alunos entendem o sinal de igual como um símbolo que representa o resultado de uma operação, em anos posteriores os discentes terão que entender este símbolo como com uma relação de igualdade.
O trabalho envolvendo este conceito se caracterizou, quando a professora criava situações, estimulando os alunos a pensarem que duas quantidades em uma balança de dois pratos se relacionavam com a outra ao invés de representar um resultado. Entendemos que essa atividade favorece a compreensão dos diferentes sentidos do sinal de igual, fazendo que o aluno compreenda este sentido antes de se deparar com uma expressão algébrica.
Percebemos que a condução da aula pela professora ajudou que seus alunos interagissem com diversas situações ligadas ao pensamento algébrico, motivando que seus alunos buscassem o valor de pesos de objetos com pesos conhecidos em uma balança de dois
pratos. Algumas vezes, o peso do pote não era encontrado facilmente na balança, pois o seu valor não podia ser descoberto pela soma dos pesos conhecidos. Dessa maneira, os alunos desenvolviam estratégias de operação inversa para atingir o objetivo de encontrar o valor do pote. Essa estratégia foi utilizada quando os alunos não encontravam o valor do peso do pote somando os valores de pesos conhecidos. Por exemplo, o pote de granola pesava 400 gramas, para isso os alunos tinham os pesos conhecidos de 50, 100, 200 e 500 gramas, para encontrar o valor do pote, os alunos teriam que ter dois pesos de 200, ou 4 pesos de 100 gramas. Como não dispunham desses pesos, tiveram que colocar o pote de granola de um lado com o peso de 100 gramas e o peso de 500 gramas do outro lado. Dessa forma, a professora favoreceu esse entendimento com os três pesos desconhecidos que propiciavam esse raciocínio.
Essa estratégia também apareceu quando os alunos encontraram o valor de três saquinhos com 50 gramas cada um. Eles colocaram os três saquinhos em um dos pratos da balança e no outro prato o peso de 100 (cem) gramas junto com o peso de 50 (cinquenta) gramas. Ao encontrarem o valor o peso a professora pergunta:
Manifestação da estratégia de operação inversa
Professora: E quanto pesa somente 1?
Alunos: 50 gramas. [Respondem todos juntos]. Professora: Por que?
[Vários alunos respondem ao mesmo tempo]
Professora: Pera! Deixa o Lucas, falar. Diga Lucas, por que vocês acham que cada saquinho é 50 gramas? Aluno: Porque é cento e cinquenta gramas, cada um vale cinqüenta. Cinquenta, cinquenta e cinquenta é cento e cinquenta
Encontramos ainda o entendimento de equações, quando a professora criava situações de igualdade que motivava o aluno a responder o resultado da igualdade, não como um resultado, mas como uma relação. Isso foi trabalhado, quando os alunos encontravam uma relação na balança de dois pratos que não tinha resultado em números e eram estimulados a responder sobre elas. Quando a professora pediu que os alunos encontrassem o valor da garrafa de soro que valia 350 gramas, tirou o peso de 50 gramas para não fazer parte das testagens, deixando todos os outros pesos, inclusive os potes de seis cores diferentes utilizados nas atividades de comparação entre eles. Dessa maneira só teria uma resposta possível para descobrir o valor da garrafa de soro, que seria um peso de 200 gramas, outro de
100 gramas e um pote da cor preta. Mesmo ao encontrar o equilíbrio na balança de dois pratos, os estudantes relatavam que não dava para encontrar o valor. Mas a professora perguntava:
Diálogo da professora ao explorar o raciocínio dos alunos
Aluno: Não dá pra saber não... É um pouco mais que 300 gramas. Professora: Mas o que tem ai na balança?
Aluno: Um de 200 [gramas], um de 100 [gramas], e esse potinho aqui.
Os alunos entenderam que o objetivo da atividade não era encontrar uma resposta numérica, mas compreender o sentido da relação encontrada na balança. Agora vejamos como ela reconhece o sentido de equação no OA Balança Interativa:
Reconhecimento da professora sobre o conhecimento algébrico
Pesquisadora: O que você achou de interessante nesta atividade?
Professora: Eles procurarem meios para ter menos movimento. É legal ver eles engajados. Pesquisadora: O que você acha que eles aprenderam hoje?
Professora: Bem, acho que a relacionar, né? Pesquisadora: Relacionar quantidades? Professora: É...
Pesquisadora: E como você acha que relacionar é importante?
Professora: Assim... eu acho que eles começaram a entender esse negócio de movimentar os números. Pesquisadora: Como assim?
Professora: Eles entendem que tudo que tem em um prato tem que ser igual no outro.
Diferente das formas como os alunos na pesquisa de Kieran (1981), a professora demonstra compreender a importância do trabalho de equivalência entre membros de uma equação. Consideramos que esse conhecimento do professor em entender que se pode trabalhar com diferentes situações para o desenvolvimento da noção de igualdade é fundamental para se começar a trabalhar com o pensamento algébrico nos anos iniciais. A seguir mostraremos como a professora através de atividades trabalhou com outro raciocínio importante para o desenvolvimento desse pensamento.