Basicamente, existem duas abordagens para avaliar a resposta estrutural sob ações dinâmicas: determinística e não-determinística. A escolha da abordagem é dependente da definição da ação dinâmica (CLOUGH; PENZIEN, 2003).
A análise determinística é aquela em que a ação dinâmica é conhecida durante toda a variação do tempo e que, geralmente, pode ser descrita por uma relação matemática explícita. Como um exemplo, sem considerar o amortecimento do sistema apresentado na Figura 1, a variação do deslocamento da massa pode ser estabelecida pela seguinte expressão (BENDAT; PIERSOL, 2010):
= M ,
(67)
Por outro lado, na análise não-determinística a ação dinâmica não é conhecida durante a variação do tempo, mas pode ser determinada estatisticamente. Nesse caso, a ação dinâmica é definida como uma força dinâmica randômica (aleatória) (CLOUGH; PENZIEN, 2003).
As ações dinâmicas que produzem dados determinísticos são classificadas em periódicas e não-periódicas. As forças dinâmicas periódicas ainda são classificadas em senoidais e periódica complexa. Já as forças dinâmicas não- periódicas são classificadas em quase-periódica e transiente. Bendat e Piersol (2010) descrevem e explicam tais cargas dinâmicas com maior profundidade.
Como nesse trabalho a análise dinâmica dos ensaios propostos é realizada pela identificação modal estocástica, as ações dinâmicas aleatórias que produzem dados não-determinísticos serão mais detalhadas.
Expandindo o conceito de dados não-determinísticos para qualquer fenômeno físico, Bendat e Piersol (2010) citam como exemplo a saída em voltagem ao longo
do tempo de um gerador de ruído térmico. Ao se medir a voltagem ao longo do tempo desse gerador, um gráfico da voltagem pelo tempo é obtido. Para um segundo gerador de construção e montagem idênticas, ligado simultaneamente ao primeiro, um gráfico diferente será obtido. Assim, qualquer gerador desse tipo irá fornecer diferentes voltagens ao longo do tempo. Dessa forma, a voltagem ao longo do tempo para um gerador é simplesmente um exemplo de infinitos resultados que podem ocorrer.
Uma simples medição de qualquer fenômeno físico randômico ao longo do tempo é chamada de função amostra. A coleta de todas as possíveis funções amostra que tal fenômeno físico pode produzir é chamado de processo randômico ou processo estocástico. Assim, uma função amostra desse fenômeno pode ser considerada como uma realização física de um processo randômico (BENDAT; PIERSOL, 2010).
Um processo randômico pode ser classificado em estacionário e não- estacionário. Adicionalmente, os processos randômicos estacionários são classificados em ergódicos e não-ergódicos e os não-estacionários têm classificação dependente de tipos específicos de propriedades não-estacionárias. Esse último não é de interesse nesse trabalho (BENDAT; PIERSOL, 2010).
Um fenômeno estacionário é aquele em que suas propriedades podem, hipoteticamente, ser descritas a qualquer instante do tempo pelos valores médios obtidos em toda a coleta das funções amostra. Ou seja, uma grandeza física para um determinado tempo t de um processo randômico é determinada pelos valores instantâneos de cada função amostra no tempo t, somando-os e dividindo-os pelo número de funções amostra (BENDAT; PIERSOL, 2010).
O processo randômico estacionário é ergódico quando todas suas propriedades podem ser determinadas por médias no tempo em apenas uma função amostra. Caso contrário, o processo randômico estacionário é não-ergódico (BENDAT; PIERSOL, 2010).
No campo da dinâmica, as ações ambientais aleatórias medidas que solicitam uma determinada estrutura em serviço são considerados não-determinísticos estacionários e ergódicos. Por essa razão, uma monitoração de vibrações já é
suficiente para determinação das características dinâmicas da estrutura (MAIA et al.1998).
Portanto, sob um ponto de vista determinístico, as ações ambientais não são conhecidas. Consequentemente, a entrada no sistema não é medida e deve ser considerada uma hipótese para as forças de excitação. Conforme explicado anteriormente, tal hipótese assume que tais forças são idealizáveis por um processo estocástico gaussiano de tipo ruído branco, de densidade espectral constante, com média nula (RODRIGUES, 2004).
Nesse contexto, as funções de auto densidade espectral são uma maneira de se obter as frequências naturais da estrutura. As acelerações medidas no tempo são transformadas para o campo da frequência pelas transformadas discretas de Fourier (DFT), que por sua vez são determinadas pelo algoritmo da transformada rápida de Fourier (FFT) (RODRIGUES, 2004).
Para o cálculo da DFT, são aplicadas janelas de processamento de sinais, que consiste na divisão de segmentos das medidas no tempo, onde em cada um deles é realizada a média. Por isso, as estimativas das funções de auto densidade espectral utilizando séries temporais são designadas de periodograma de Welch, uma vez que foi esse autor que introduziu tal método (VALENTIM, 2012).
Segundo Rodrigues (2004), uma desvantagem das estimativas das funções de auto densidade espectral pela FFT é que como tais funções são determinadas em valores discretos de frequência, as frequências naturais são avaliadas apenas em uma resolução finita em frequência. Tal fator acarreta em erros nas estimativas da auto densidade espectral, pois existe o efeito de escorregamento (leakage).
Segundo Valentim (2012), quanto mais curto for o segmento, maior é o erro por escorregamento. Assim, um comprimento razoável dos segmentos é baseado na adoção de sobreposições (overlapping) entre eles.
Para reduzir os efeitos de escorregamento, a aplicação de janelas de Hanning é normalmente utilizada para sinais aleatórios (RODRIGUES, 2004).
Com a realização da FFT, os gráficos da auto densidade espectral ao longo da frequência são efetuados e, consequentemente, as frequências naturais da
estrutura são obtidas pelos picos de aceleração de auto densidade espectral, diferente das acelerações ao longo do tempo.
Diversos trabalhos, tal como Bendat e Piersol (2010), apresentam a dedução de forma detalhada da equação da auto densidade espectral. Felber (1993) apresenta a fórmula da auto densidade espectral como a equação (68). Essa equação já considera apenas as frequências positivas, conhecidas como funções de auto densidade espectral de um lado (one-sided). Os resultados são números reais.
22 + = ª« + ª2∗ + (68)
onde 22 + é o quadrado da magnitude dos valores complexos de aceleração ª2 + e ª2∗ + é seu complexo conjugado.
Felber (1993) calcula a auto densidade espectral cruzada conforme a equação (69), a qual resulta em valores complexos.
2¢ + = ª2∗ + ª¢ + (69)
onde i e j são graus de liberdade.
Para estimar os modos de vibração, uma maneira é pela transmissibilidade. Pela equação (70), a relação entre a parte real da auto densidade espectral cruzada pela auto densidade espectral da posição de referência fornece a transmissibilidade entre dois pontos de medição (FELBER, 1993).
A• =. /Ÿ 2¢ +
22' +
(70)
Um cuidado a ser tomado é com a posição de referência, pois tal ponto não pode ser um nó modal, onde seu deslocamento em um determinado modo de vibração é nulo.