Este apˆendice faz uma revis˜ao das id´eias matem´aticas b´asicas e nota¸c˜ao que usamos na tese, especialmente sobre teoria dos conjuntos e topologia. Trabalhamos no espa¸co euclidiano n-dimensional, Rn, onde R1 = R e R2 ´e o plano euclidiano. Pontos em Rn s˜ao
denotados por letras min´usculas na forma, x = (x1, . . . , xn). Se x e y s˜ao pontos em Rn
e λ ´e um n´umero real, ent˜ao a adi¸c˜ao e o produto por escalar s˜ao definidos do seguinte modo, x + y = (x1+ y1, . . . , xn+ yn) e λx = (λx1, . . . , λxn). A distˆancia euclidiana em
Rn ´e definida por
|x − y| = n i=1 |xi− yi|2 1/2 . (A.1)
Em particular, temos a desigualdade triangular |x + y| ≤ |x| + |y|, a desigualdade triangular reversa |x − y| ≥ ||x| − |y||, e a desigualdade m´etrica triangular |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| para todos x, y, z ∈ Rn.
Defini¸c˜ao A.1.1 Uma bola fechada de centro x e raio r ´e definida por
B(x, r) ={y ; |y − x| ≤ r} . (A.2) Similarmente uma bola aberta ´e Bo(x, r) ={y ; |y − x| < r}. Em R2 uma bola ´e um disco
Figura A.1: Um conjunto A e sua δ-vizinhan¸ca Aδ.
Defini¸c˜ao A.1.2 O cubo coordenado de lado 2r e centro x = (x1, . . . , xn) ´e o conjunto
{y = (y1, . . . , yn) ; |yi− xi| ≤ r para todo i = 1, . . . , n} . (A.3)
Um cubo em R2 ´e um quadrado e em R1 ´e um intervalo.
Defini¸c˜ao A.1.3 Uma δ-vizinhan¸ca de um conjunto A, ´e o conjunto dos pontos que est˜ao a uma distˆancia menor ou igual a δ de A, ver Figura A.1. Isto ´e,
Aδ ={x ; |x − y| ≤ δ para algum y em A} . (A.4)
Defini¸c˜ao A.1.4 A uni˜ao de uma cole¸c˜ao arbitr´aria de conjuntos {Aα} ´e denotada por
αAα, isto ´e, s˜ao aqueles pontos que est˜ao em pelo menos um dos conjuntos Aα, e
a interse¸c˜ao denotada por
αAα consiste do conjunto de pontos comuns a todos os
conjuntos Aα.
Uma cole¸c˜ao de conjuntos ´e disjunta se a interse¸c˜ao de qualquer par ´e o conjunto vazio∅. Defini¸c˜ao A.1.5 A diferen¸ca A\B de A e B consiste dos pontos em A mas n˜ao em B. O conjunto Rn\A ´e denominado o complemento de A.
Defini¸c˜ao A.1.6 Um conjunto infinito A ´e enumer´avel se seus elementos podem ser listados na forma x1, x2, . . . com todo elemento de A aparecendo em um lugar espec´ıfico
na lista. Caso contr´ario o conjunto ´e n˜ao enumer´avel.
Os conjuntos Z e Q s˜ao enumer´aveis e R ´e n˜ao enumer´avel. A uni˜ao enumer´avel de conjuntos enumer´aveis ´e enumer´avel.
Defini¸c˜ao A.1.7 Suponha S ⊂ R, um subconjunto de n´umeros reais. Ent˜ao, o ´ınfimo de S, denotado por inf S, ´e igual a− ∞ se S cont´em n´umeros negativos arbitrariamente grandes. Caso contr´ario o ´ınfimo de S ´e dado por
inf S = max{x ∈ R; x ≤ s, ∀ s ∈ S} . (A.5) O ´ınfimo de S sempre existe, por causa da natureza dos n´umeros reais. O supremo de S ´e definido similarmente.
Defini¸c˜ao A.1.8 Suponha S ⊂ R, um subconjunto de n´umeros reais. Ent˜ao, o supremo de S ´e igual a +∞ se S cont´em n´umeros positivos arbitrariamente grandes. Caso contr´ario o supremo de S ´e dado por
sup S = min{y ∈ R; y ≥ s, ∀ s ∈ S} . (A.6) O supremo de S tamb´em sempre existe pelas mesmas raz˜oes. O supremo e o ´ınfimo de um conjunto S n˜ao necessariamente pertencem a S. Por exemplo, se S = (0, 1), ent˜ao sup(S) = sup(0, 1) = 1 e 1 /∈ S.
Defini¸c˜ao A.1.9 O diˆametro de um subconjunto n˜ao vazio A⊂ Rn, denotado por |A| ´e
definido como a maior distˆancia entre pares de pontos em A, ou seja,
|A| = sup {|x − y| ; x, y ∈ A} . (A.7) Em Rn uma bola de raio r tem diˆametro 2r, e um cubo de lado de comprimento δ tem
diˆametro δ√n. Um conjunto A ´e limitado se tem um diˆametro finito, ou equivalentemente, se A est´a contido em alguma bola suficientemente grande.
Defini¸c˜ao A.1.10 Uma seq¨uˆencia {xk} em Rnconverge para um ponto x de Rn quando
k → ∞ se, dado ǫ > 0, existe um n´umero K, tal que, |xk− x| < ǫ sempre que k > K,
isto ´e, se |xk− x| → 0. O n´umero x ´e chamado o limite da seq¨uˆencia, e escrevemos
lim
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Figura A.2: (a) Um conjunto aberto - existe uma bola contida no conjunto centrada em cada ponto do conjunto. (b) Um conjunto fechado - o limite de qualquer seq¨uˆencia convergente de pontos do conjunto est´a no conjunto. (c) A fronteira do conjunto em (a) ou (b).
Defini¸c˜ao A.1.11 Um subconjunto A do Rn ´e aberto se, para todos os pontos x em A
existe alguma bola B(x, r), centrada em x e de raio positivo, contida em A. Um conjunto ´e fechado se, sempre que{xk} ´e uma seq¨uˆencia de pontos de A convergindo para um ponto
x de Rn, ent˜ao x est´a em A, ver Figura A.2.
O conjunto vazio ∅ e o pr´oprio Rns˜ao considerados abertos e fechados. Podemos dizer
tamb´em que um conjunto ´e aberto se, e somente se, o seu complemento ´e fechado. A uni˜ao de qualquer cole¸c˜ao de conjuntos abertos ´e aberta, assim como a interse¸c˜ao de qualquer n´umero finito de conjuntos abertos.
A interse¸c˜ao de qualquer cole¸c˜ao de conjuntos fechados ´e fechada, assim como a uni˜ao de qualquer n´umero finito de conjuntos fechados.
Defini¸c˜ao A.1.12 Seja A um subconjunto do Rn. Um ponto x ∈ Rn ´e chamado um
ponto limite de A, se existe uma seq¨uˆencia {xk} de pontos xk∈ A\ {x}, tal que, lim
k→∞xk = x. (A.9)
Defini¸c˜ao A.1.13 Um conjunto A ´e perfeito se A for igual ao conjunto de todos os seus pontos limite.
Defini¸c˜ao A.1.14 Um conjunto A ´e chamado uma vizinhan¸ca de um ponto x se existe uma bola B(x, r) centrada em x e contida em A.
A interse¸c˜ao de todos os conjuntos fechados que contˆem um conjunto A ´e chamado o fecho de A, escrito A.
A uni˜ao de todos os conjuntos abertos contidos em A ´e o interior de A, denotado por int(A).
O fecho de A ´e o menor conjunto fechado que cont´em A, e o interior ´e o maior conjunto aberto contido em A.
A fronteira ∂A de A ´e dada por ∂A = A\int(A), de modo que x ∈ ∂A se, e somente se, a bola B(x, r) intersepta ambos A e o seu complemento para todo r > 0.
Defini¸c˜ao A.1.15 Um conjunto B ´e um subconjunto denso de A se B ⊂ A ⊂ B, isto ´e, se existem pontos de B arbitrariamente pr´oximos a cada ponto de A.
Defini¸c˜ao A.1.16 Um conjunto A ´e compacto se qualquer cole¸c˜ao de conjuntos abertos que cobre A, isto ´e, com a uni˜ao contendo A, tem uma subcole¸c˜ao finita que tamb´em cobre A.
Tecnicamente, a compacidade ´e uma propriedade muito ´util que podemos resumir dizendo que um subconjunto compacto do Rn´e um conjunto que ´e fechado e limitado. A
interse¸c˜ao de qualquer cole¸c˜ao de conjuntos fechados ´e compacta. Se A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ´e uma
seq¨uˆencia decrescente de conjuntos compactos ent˜ao a interse¸c˜ao∞
i=1Ai ´e n˜ao vazia.
Al´em disso, se ∞
i=1Ai est´a contida em V , para algum conjunto aberto V , ent˜ao a
interse¸c˜ao finita k
i=1Ai est´a contida em V para algum k.
Defini¸c˜ao A.1.17 Um subconjunto A de Rn ´e conexo se n˜ao existem conjuntos abertos
U e V , tais que, U∪ V cont´em A com A ∩ U e A ∩ V disjuntos e n˜ao vazios.
Intuitivamente, um conjunto A ´e conexo se consiste apenas de uma ´unica parte. O maior subconjunto conexo de A contendo um ponto x ´e chamado o componente conexo de x.
Defini¸c˜ao A.1.18 O conjunto A ´e totalmente desconexo se o componente conexo de cada ponto consiste apenas daquele ponto. Ou seja, se para todo par de pontos x e y em A, pudermos encontrar conjuntos abertos disjuntos U e V , tais que, x∈ U, y ∈ V e A⊂ U ∪ V .
H´a uma classe adicional de conjuntos que deve ser mencionada. A classe de conjuntos de Borel, (´Emile Borel, 1871-1956), que ´e a menor cole¸c˜ao de subconjuntos do Rn com as
seguintes propriedades:
(a) todo conjunto aberto e todo conjunto fechado ´e um conjunto de Borel;
(b) a uni˜ao de toda cole¸c˜ao finita ou enumer´avel de conjuntos de Borel ´e um conjunto de Borel, e a interse¸c˜ao de toda cole¸c˜ao finita ou enumer´avel de conjuntos de Borel ´e um conjunto de Borel, [3].