Eksik/Tamamlanmamış Bir Dizi Hayatta Kalma Olasılıklarının

1.4.1.1. Yöntemin Temeli ve Mantığı

l(x) değerlerinin bir serisi arasında düzgünleştirme ve ara değer bulma için en

kolay teknik muhtemelen logit sistemiyle

4

sağlanır. Aynı logit sistemine ait olan bütün

hayat tablosu

l(x) fonksiyonları logit ölçeğinde doğrusal olarak ilişkili olduğu için,

gözlenen l(x) değerlerini düzgünleştirmenin bir yolu, bazı standart hayat tablosu logit

dönüşümlerine karşı l(x) değerlerinin logit dönüşümlerinin grafiğini çizmek olabilir. Eğer

tahmin edilmiş hayat tablosu, bu standart ile oluşturulmuş logit sistemine uyarsa, çizilen

noktalar β eğimi ve α sabiti ile oldukça düz bir çizgi şeklini almalıdır; o zaman, bu

parametrelerin gerçek değerlerini tahmin etmek için çizgi-uydurma yöntemlerinden

herhangi biri kullanılabilir. Ancak, çizilen noktalar düz bir çizgiden saptığı zaman, en iyi

uyumu seçme sorunu daha zor çözülebilir. Eğer doğrusallıktan gözlenen sapmalar, örneğin,

yaş arttıkça veya azaldıkça sapmaların büyümesi veya grafiğin kararlı bir şekilde eğrisel

olması gibi sistematikse, farklı bir standardın kullanımı düşünülmelidir. Diğer taraftan,

eğer doğrusal bir eğilimden sapmaların rastgele olduğu yapısı gereği görünüyorsa, kalan

noktalara bir çizgi oturtulmadan/uydurulmadan önce noktaların bazılarının çıkarılması

4

Brass Logit Life-Table System. Bu yöntem hakkında ayrıntılı bilgi için bakınız United Nations (1983) Bölüm I, Alt bölüm B.4, Sayfa 17.

28

gerekebilir. Böyle bir durumda, veriyi etkileyen hatalarda bir miktar homojenlik olduğunu

varsayan uydurma tekniklerinin kullanımı (regresyon gibi) garanti edilemez, çünkü, ilgili

hataların farklı noktalarda farklı varyanslara sahip olması muhtemeldir ve bu varyanslar

genellikle mevcut veriden tahmin edilemez. Bundan dolayı, sapmaların çoğunlukla hatalar

yüzünden olduğu genel kaba doğrusallık durumlarında, en güvenilir noktaların akıllıca

seçimi ile uygulanacak tercihen basit uydurma teknikleri (the mean line ve the robust line

gibi), muhtemelen izlenecek en makul yöntemdir.

Bu düzgünleştirme yönteminin uygulamasında, yalnızca standardın ölümlülük

modeli gözlenen l(x) fonksiyonunun ölümlülük modeline benzediğinde logit ölçeği

üzerindeki doğrusal ilişki belli olacağı için, uygun bir standart seçmenin önemi büyüktür.

Standartların en yaygın kaynakları, model hayat tablolarının gruplarıdır. Brass (1975)

tarafından ileri sürülen genel standart

5

_{, Coale-Demeny model hayat tablolarının dört ailesi}

(kuzey, güney, doğu ve batı modelleri) ve Birleşmiş Milletler'in gelişmekte olan ülkeler

için model hayat tabloları gibi, her zaman düşünülebilecek bir olanaktır. Bu modelleri

kullanırken, genel standardın, Coale-Demeny grubundaki Batı modeline çok benzer bir

kalıba/yapıya sahip olduğunu ve Coale-Demeny modellerinin aynı ailesi içerisindeki farklı

seviyelerdeki hayat tablolarının logit dönüşümlerinin birbirleriyle aşağı yukarı doğrusal bir

ilişkiye sahip olduğunu, fakat farklı ailelerden hayat tablolarının logit dönüşümleri

karşılaştırıldığı zaman, o doğrusallığın sürdürülemeyeceğini hatırlamak faydalı olur.

1.4.1.2. Gerekli Veri

Bu yöntem için gerekli veriler aşağıda sıralanmıştır.

a) Direkt olarak gözlenen veriden veya uygun yöntemlerden herhangi birini

kullanarak tahmin edilmiş bir dizi l(x) değeri. 5 yıllık aralıklardaki değerler (5, 10, 15, 20

ve benzeri) yeterlidir, fakat 0'dan 80 ya da 85'e kadar tüm aralığın kapsanmasına gerek

yoktur.

b) Coale-Demeny modelleri, Birleşmiş Milletler'in gelişmekte olan ülkeler için

modelleri, genel standart veya üzerinde çalışılan nüfusun ölümlülük modeline yakın

29

olacağı düşünülen herhangi bir güvenilir hayat tablosundan seçilebilecek bir standart hayat

tablosu.

Hesaplamalarda, tahmin edilmiş hayat tablosu olarak Reed-Merrell yöntemi ile

hesaplanan 1995 yılı Türkiye şehir nüfusu hayat tablosu, standart hayat tablosu olarak ise

Preston-Bennett yöntemi ile hesaplanan 1995 yılı Türkiye şehir nüfusu hayat tablosunun

Coale ve Demeny bölgesel model hayat tablolarının Batı modeline göre interpole edilmiş

şekli, dolayısıyla Coale ve Demeny bölgesel model hayat tablolarının Batı modeli

seçilmiştir.

1.4.1.3. Hesaplama Yöntemi

Hesaplama yönteminin adımları aşağıda açıklanmıştır.

Adım 1. Tahmin edilmiş ve standart hayatta kalma olasılıklarının logit

dönüşümlerinin hesaplanması:

l(x)

: Tahmin edilmiş hayatta kalma olasılıkları

l

s

(x) : Standart hayatta kalma olasılıkları

λ(x) : Tahmin edilmiş hayatta kalma olasılıklarının logit dönüşümü

λ

_s

(x) : Standart hayatta kalma olasılıklarının logit dönüşümü olmak üzere,

λ(x) = logit(1.0 − l(x)) = 0.5 ln ((1.0 − l(x))/l(x))

(B.1)

Adım 2. Tahmin edilmiş hayat tablosunun logit dönüşümüne karşı standart hayat

tablosunun logit dönüşümünün grafiğinin çizilmesi: Üzerinde çalışılan nüfusun hayat

tablosu için l(x) değerlerinin logit dönüşümlerine karşı standart hayat tablosunun l(x)

değerlerinin logit dönüşümlerinin grafiği çizilmelidir. Eğer ilişki doğrusalsa (ya da

yaklaşık olarak doğrusalsa, sistematik sapmalar olmadan), parametre değerleri α ve β

30

tahmin edilebilir. Eğer sistematik sapmalar belirginse, doğrusallıktan sapmalar uygun

olmayan bir standardın kullanımından ziyade gözlenen l(x) değerlerindeki hatalardan

kaynaklanabilmesine rağmen, farklı bir standart kullanılmalıdır.

Adım 3. Parametre değerlerinin tahmin edilmesi: Eğer Adım 2'deki grafik yaklaşık

olarak doğrusal bir ilişki gösteriyorsa, parametre değerleri α ve β'nın (sabit terim ve bu

ilişkiyi gösteren çizginin eğimi) tahminleri, ya en küçük kareler ya da "the mean line" veya

"the robust line" yöntemleri

6

gibi hemen hemen herhangi bir çizgi-uydurma yöntemiyle

elde edilebilir. Eğer l(x) değerlerinin belli gruplarının diğerlerinden daha güvenilir olduğu

düşünülüyorsa, bir çizgi oturturken/uydururken yalnızca o değerler kullanılmalıdır.

The Mean Line (Ortalama Çizgi) Yöntemi: Bu çizgi, elde edilen [λ

_s

(x), λ(x)]

noktaları yaşa göre eşit sayıda iki gruba ayrıldığında, bu noktaların apsislerinin (yatay

eksen değerleri) ve ordinatlarının (dikey eksen değerleri) ortalamaları ile belirlenir.

Örneğin, eğer 15 yaş grubu kullanılırsa, x'in ilk 8 ve son 8 değeri için λ

_s

(x) değerlerinin

ortalaması alınır. (Ortadaki nokta yani 8. nokta, her iki ortalamaya da dahil edilir). Benzer

şekilde, λ(x)'in ilk 8 ve son 8 değeri için ortalamalar elde edilir. Arzu edilen çizgi, iki çift

ortalama koordinatla belirlenen iki noktadan geçen çizgidir. Bu çizgi, elde edilen bütün

noktalara mümkün olduğu kadar yakın olmayacak, fakat bu noktaların trendi (eğilimi)

doğrusal olduğunda noktaların genel trendine çok yaklaşacaktır. Bu çizgi-uydurma

yönteminin olası bir dezavantajı, elde edilen bütün noktalara eşit ağırlık vermesidir.

Uygulamada çoğu zaman, bu noktalardan bir veya iki tanesinin (genellikle yaş aralığının

iki ucundaki), diğer noktalar tarafından izlenen doğrusal trendden önemli derecede sapması

söz konusudur. Bu gibi durumlarda, temsil edecek olan bir düz çizgi seçerken, doğrusal

trendden sapan noktaların tümünü göz ardı etmek hesaba katmaktan daha iyi olabilir.

Erkek nüfusu için Adım 2'de çizilen grafiğin incelenmesi neticesinde (bknz

Bulgular, Şekil 1), α ve β parametreleri tahmin edilirken, en güvenilir noktalar olarak

seçilen 35-80 yaşları arasındaki noktalar kullanıldığında;

6_{Brass Growth Balance Method yönteminde uygun olan en iyi çizgiyi seçmek için kullanılan "The Mean Line" ve "The}

31

Θ

: Tahmin edilmiş hayatta kalma olasılıklarının logit dönüşümleri [λ(x)'ler] için

ortalama

Θ

_s

: Standart hayatta kalma olasılıklarının logit dönüşümleri [λ

_s

(x)'ler] için ortalama

olmak üzere,

Θ

_s

(35, 40, 45, 50, 55) = X1

Θ

s

(60, 65, 70, 75, 80) = X2

Θ(35, 40, 45, 50, 55) = Y1

Θ(60, 65, 70, 75, 80) = Y2

Bu ortalama koordinatlarla belirlenen iki noktadan [(X1,Y1) ve (X2,Y2)] geçen çizgi,

seçilen 35-80 yaşları arasındaki noktalara uygun olan en iyi çizgidir ve bu çizgi, aşağıdaki

iki eşitliği sağlar.

Y1 = α + β X1

(C.1) ve

Y2 = α + β X2

(C.2)

Buradan, β parametresinin bir tahmini aşağıdaki şekilde elde edilir.

β =Y2 − Y1

X2 − X1

Daha sonra, β parametresinin değeri yukarıdaki (C.1) veya (C.2) eşitliklerinden birinde

yerine koyularak, α parametresinin tahmini aşağıdaki şekilde elde edilir.

α = Y1 − β X1 veya

α = Y2 − β X2

Kadın nüfusu için Adım 2'de çizilen grafiğin incelenmesi neticesinde ise (bknz

Bulgular, Şekil 2), α ve β parametreleri tahmin edilirken,

32

Θ

s

(45, 50, 55, 60) = X1

Θ

_s

(65, 70, 75, 80) = X2

Θ(45, 50, 55, 60) = Y1

Θ(65, 70, 75, 80) = Y2

2) En güvenilir noktalar olarak seçilen 5-45 yaşları arasındaki noktalar kullanıldığında;

Θ

_s

(5, 10, 15, 20, 25) = X1

Θ

s

(25, 30, 35, 40, 45) = X2

Θ(5, 10, 15, 20, 25) = Y1

Θ(25, 30, 35, 40, 45) = Y2

olmak üzere,

Her iki alternatif için de yukarıdaki ortalama koordinatlar hesaplandıktan sonra α ve β

parametrelerinin tahminleri, erkek nüfusunda gösterildiği şekilde elde edilir.

Adım 4. Düzgünleştirilmiş hayat tablosu değerlerinin hesaplanması: α ve β

parametrelerinin tahminleri bulunduğunda, düzgünleştirilmiş hayat tablosu değerleri

aşağıdaki şekilde elde edilir.

λ

_s

(x) : Standart hayat tablosunun x yaşındaki logit dönüşümü

l

∗

(x) : Düzgünleştirilmiş hayat tablosu değerleri olmak üzere,

l

∗

_{(x) = (1.0 + exp(2α + 2βλ}

s

(x)))

−1

(B.2)

Belirtilmelidir ki, l

∗

_{(0) ve ω'nın ulaşılabilir en yüksek yaş olduğu durumda l}

∗

_{(ω), (B.2)}

eşitliğini kullanarak hesaplanamaz; onun yerine, hayat tablosunun başlangıç nüfusu l

∗

₍₀₎

1'e ve l

∗

(ω) 0'a eşitlenir (United Nations, 1983).

l

∗

(x) Değerlerinin tamamı hesaplandıktan sonra ( l

∗

(85 +) = 0 ), hayat tablosunun

diğer sütunları, Reed-Merrell yönteminde kullanılan hayat tablosu formülasyonları

uygulanarak elde edilmiştir.

33

Belgede 1995 yılı Türkiye şehir nüfusu hayat tablosunun cinsiyetler ayrımında brass logıt hayat tablosu yöntemi ile hesaplanması (sayfa 37-43)