Iniciamos a aplicação das atividades de ensino no grupo participativo 2 no segundo semestre letivo do ano 2004. A participação dos alunos desse grupo foi de forma totalmente espontânea. As atividades, tarefas e exercícios aplicados não tiveram efeito de nota registrada no diário de classe. As observações e anotações que fizemos como pesquisador foram para avaliarmos o desenvolvimento do grupo, e não para atribuirmos um conceito ou uma nota, ou seja, não havia um incentivo, como a atribuição de nota no componente curricular de Matemática.
Utilizamos o mesmos procedimentos do grupo 1. Distribuímos o material para cada um dos alunos, uma cópia para a coordenadora pedagógica do Ensino Médio da escola e entregamos também uma cópia para o professor de Matemática da turma, mesmo ele não tendo influência direta em ceder a turma, pois os horários que ocupamos não foram cedidos dos seus horários.
Os alunos desse grupo mantiveram uma freqüência regular às aulas com participação ativa nas atividades procurando resolvê-las, comentar com os colegas e depois socializando as repostas no quadro para todos os colegas.
A avaliação foi realizada por meio de observação da participação e desempenho deles a cada atividade, fazendo as anotações pertinentes caso a caso.
A classe, reunida em pequenos grupos, desenvolveu a primeira atividade sem apresentar maiores dificuldades. Houve grande interação entre os componentes dos
grupos nesse primeiro estudo, e perguntas foram feitas sobre números primos, como exemplo: “O número 1 (um) é primo ou é composto?”.
Havia necessidade dos estudantes apresentarem conhecimentos prévios sobre os aspectos instrumentais destacados a seguir: identificar um número primo, reconhecer os principais critérios de divisibilidade de um número, efetuar as operações de multiplicação e divisão com números naturais e os aspectos relacionais de compreender que um número composto pode ser representado em forma de produto de fatores primos, relacionar o número a sua classificação (primo ou composto).
Essa atividade foi finalizada com a participação de estudantes resolvendo questões no quadro.
Concluímos que os objetivos desejados para a atividade foram atingidos satisfatoriamente.
A segunda atividade foi desenvolvida com o objetivo de retomar o conteúdo de equações de primeiro grau. Nessa atividade esperávamos que os estudantes apresentassem conhecimentos prévios nos seguintes aspectos instrumentais: ler e identificar uma sentença matemática, reconhecer os termos de uma equação, representar uma equação do 1º grau na linguagem matemática a partir de situações- problema, calcular o termo desconhecido de uma equação do 1º grau, saber aplicar fórmula, saber o que são ângulos suplementares, reconhecer ângulos alternos externos, lembrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual 180 graus, reconhecer ângulos suplementares e a compreensão dos aspectos relacionais tais como: interpretar e compreender uma situação-problema contextualizada fazendo a sua passagem para a linguagem matemática, saber aplicar equações no seu cotidiano, saber o porquê e para que estudar equações do 1º grau.
Essa atividade foi desenvolvida em dois encontros, que contou com a presença de todos os 17 estudantes, formando grupos com quatro ou cinco componentes. A organização dos grupos de estudo seguiu os mesmos procedimentos utilizados para o grupo participativo 1.
No desenvolvimento da atividade percebemos que o grupo formado por Rômulo, Paulo César, Hélder e Vandsom desenvolvia as questões com mais facilidade que os outros grupos, mas observamos que o aluno Vandson que estava no grupo não acompanhava o desenvolvimento das questões. Apresentando
obstáculo epistemológico na leitura e compreensão do enunciado, não conseguia representar a expressão em linguagem matemática e não sabia resolver equação quando era necessário fazer operações com frações. Neste caso específico do grupo, solicitamos que os colegas dele tivessem mais calma e procurassem discutir de forma mais aberta cada uma das questões, pois não adiantava avançar sem o entendimento de todos do grupo.
O grupo formado por Micaella, Danielli, Gustavo, Flávia e Eduardo apresentou dificuldade no desenvolvimento de todos os itens da atividade. Provavelmente por não conseguirem fazer uma leitura compreensiva do enunciado, não conseguirem compreender o que estava sendo proposto, apresentando assim obstáculos de ordem epistemológica sobre os conteúdos explorados, precisando da nossa interferência junto ao grupo.
Os outros grupos também demonstraram uma certa dependência precisando da nossa orientação, caso a caso e, em alguns momentos percebemos a dificuldade real, principalmente no item iii quando a questão envolvia o conteúdo sobre ângulos.
A conclusão da atividade se deu com a participação dos alunos resolvendo as questões no quadro, ao que passávamos a explicar detalhadamente quais os procedimentos usados para a resolução da questão, dirimindo assim as possíveis dúvidas.
Podemos dizer que, de modo geral, os alunos conseguiram cumprir a atividade e atingiram os objetivos propostos.
A terceira atividade foi elaborada seguindo uma das atuais tendências do ensino da matemática: a resolução de problemas. Nessa perspectiva discutimos a idéia de proporcionalidade, abordamos também os conceitos de razão e proporção, e os procedimentos utilizados foram os mesmos das atividades anteriores. Observamos que os grupos foram compostos de acordo com os interesses dos próprios alunos.
Dentro da perspectiva do nosso trabalho essa atividade daria condições ao aluno de apresentar conhecimento nos aspectos instrumental e relacional. Por exemplo, no instrumental: identificar os termos de uma razão, representar a razão entre dois segmentos, representar razão entre duas grandezas, reconhecer e identificar os termos de uma proporção, reconhecer a propriedade fundamental de uma proporção, calcular o termo desconhecido de uma proporção. Dentre os
aspectos relacionais os estudantes deveriam situar a idéia de proporcionalidade no dia-a-dia, identificar e reconhecer as propriedades da proporção, perceber a importância da proporcionalidade identificando grandezas diretamente e inversamente proporcionais dominando o conceito de proporcionalidade.
Observamos que as alunas Danielli, Beatriz e o estudante Armando não conseguiram se sair bem na identificação de grandezas inversamente proporcionais; a aluna Micaella apresentou dificuldades na interpretação de situações-problema envolvendo grandezas de mesma unidade e não conseguiu resolver os problemas em que precisavam aplicar o conhecimento sobre razão. Eles foram superando as dificuldades no desenvolvimento da atividade e avançando no aprendizado de forma gradativa quando tirava as dúvidas com os colegas de grupo. Esses estudantes precisaram de um maior acompanhamento de nossa parte, o que foi feito procurando fazê-los superar os obstáculos apresentados, provavelmente por falta de conhecimento básico do conteúdo explorado.
A referida atividade foi desenvolvida em dois encontros com a participação e desempenho dos estudantes superando as dificuldades e obstáculos, a despeito da idéia de razão e proporcionalidade. Verificamos que o conhecimento prévio dos alunos sobre esses assuntos não era o esperado, mas aos poucos eles foram avançando e chegaram a cumprir a tarefa alcançando os objetivos propostos.
A quarta atividade explorou os aspectos instrumentais e relacionais dos estudantes; os instrumentais no sentido saber usar régua e compasso, reconhecer um número irracional, reconhecer um número decimal ilimitado e não periódico. Quanto aos aspectos relacionais: utilizar corretamente os instrumentos régua e compasso para representar graficamente um número irracional na reta numerada e reconhecer número irracional como pertencente ao conjunto dos números reais.
Nessa atividade a maioria dos alunos demonstrou utilizar corretamente a régua e o compasso, três alunos disseram que nunca tinham utilizado esses instrumentos e tinham dúvidas de como usá-los, mas ao mesmo tempo, a aluna Beatriz disse que era porque eles tinham perdido as últimas duas aulas do professor Evilásio (Evilásio era o professor de Matemática deles na Escola). Segundo a aluna, o professor Evilásio tinha trabalhado o uso da régua e do compasso, por isso os alunos não apresentavam muitas dúvidas nem dificuldades com esses instrumentos, o que facilitou o nosso trabalho. O maior obstáculo apresentado por três alunos foi na representação dos números negativos na reta numérica, mas esse obstáculo foi
superado sem maiores problemas. Com a aplicação dessa atividade percebemos que estava havendo maior interação entre os componentes dos grupos e as respostas das questões estavam sendo socializadas com toda a classe.
A quinta atividade explorava o conteúdo “operações com radicais”, nela o estudante deveria demonstrar conhecimento prévio nos aspectos instrumentais, dentre eles: identificar os termos da radiciação, saber simplificar radicais, efetuar adição e multiplicação de radicais, saber reduzir radicais ao mesmo índice, reconhecer um triângulo, saber a fórmula para calcular a área de um triângulo, saber calcular a área de triângulo e de retângulo, identificar a altura e os lados de um triângulo, saber a relação de Pitágoras, saber calcular o perímetro de um retângulo e identificar a diagonal de um quadrado, utilizar a fórmula resolutiva para calcular área de triângulo; e também os aspectos relacionais de: aplicar a relação de Pitágoras para calcular a área de um triângulo, reconhecer e relacionar áreas e perímetro de figuras planas, reconhecer o fator racionalizante de uma fração com denominador irracional e saber aplicá-lo corretamente em cada caso, comparar área de retângulos quando a medida dos lados é um número em forma de radical, compreender e aplicar quando necessário a relação de Pitágoras para calcular a diagonal de um quadrado.
Essa atividade foi desenvolvida em dois encontros, e pudemos perceber a real dificuldade que os estudantes têm na base do ensino da Matemática. Alunos da 1ª série do Ensino Médio apresentando dúvidas e confundindo perímetro de retângulo com área, área com perímetro, não deveria acontecer. No primeiro encontro os alunos reunidos em grupos resolveram as três primeiras questões da atividade, e no segundo as três restantes.
Os alunos demonstraram pouca habilidade nas operações com radicais, principalmente com a racionalização de denominadores de frações dos tipos
3 2 x e 5 2 5
, nesses dois casos eles tinham dificuldades em determinar o fator
racionalizante. No segundo caso, quando encontravam o fator racionalizante, esqueciam o procedimento para calcular o produto notável resultante. Percebidos esses obstáculos de ordem epistemológica, passamos a orientá-los grupo a grupo.
Superados os obstáculos individuais apresentados sobre os conteúdos explorados, passamos a retomar todas as questões no quadro, com os estudantes
resolvendo-as, e em seguida fizemos uma explanação das técnicas de racionalização de denominadores de frações discutindo caso a caso — com o uso de retroprojetor e de transparência.
A sexta atividade que explorava semelhança de figuras não foi trabalhada no grupo participativo 2.
A sétima atividade explorou o cálculo de raiz quadrada por aproximação. Iniciamos essa atividade com um tópico da História da Matemática e demos seqüência orientando como utilizar a regra para calcular a 1ª e a 2ª aproximações. O conteúdo explorado, por ser de grande abstração, exigia do estudante conhecimentos prévios sobre aspectos instrumentais e saberes básicos da matemática, como: saber somar, multiplicar e dividir com números inteiros, saber os procedimentos para calcular a aproximação e aplicá-los, saber somar, multiplicar e dividir números racionais na forma decimal e calcular média aritmética.
Antes de iniciarmos a explicação dos procedimentos para o cálculo de raiz quadrada por aproximação surgiram alguns comentários, como o da aluna Maria Juliene: “Professor, esse assunto eu nunca estudei, deve ser difícil.”
Explicamos os procedimentos para se encontrar a raiz quadrada por aproximação e em seguida solicitamos que eles aplicassem em alguns exemplos e passamos a acompanhar o desenvolvimento dos estudos grupo a grupo. Nessas observações percebemos que havia alunos com dúvidas no cálculo da média aritmética, como por exemplo
2 3 3 ,
3
, as alunas Flávia e Samara não sabiam fazer e precisaram da nossa ajuda para explicar como se procedia para somar um número decimal com um número inteiro. Surgiram outras dúvidas, mas foram dirimidas no decorrer da aula.
No desenvolvimento da atividade verificamos que o maior obstáculo encontrado não era no entendimento da regra para calcular a raiz quadrada por aproximação e sim nas operações fundamentais, provavelmente por falta de prática do cálculo mental ou mesmo da tabuada de multiplicar e dividir.
Concluindo, podemos considerar a atividade proveitosa, pois serviu de incentivo aos estudantes no que refere ao cálculo mental e todos participaram ativamente superando os obstáculos e alcançando os objetivos propostos.
A oitava atividade apresentava a irracionalidade da raiz quadrada de dois ( 2 ), por ser um conteúdo que exige um alto grau de abstração resolvemos fazer
apenas a demonstração acompanhada de tópicos da história sobre a descoberta de grandezas incomensuráveis. A demonstração foi realizada com o uso de retroprojetor e transparências. No final os estudantes disseram que o professor de Matemática deles já tinha feito a demonstração em sala de aula.
A nona atividade abordava o conteúdo de equações irracionais, assunto esse que consta no currículo oficial para a 8ª série do Ensino Fundamental e também é apresentado nos livros didáticos para a referida série.
Na perspectiva de nosso estudo essa atividade requeria do aluno conhecimentos prévios sobre os aspectos instrumentais e relacionais. Destacando- se dentre os instrumentais: identificar uma equação irracional, saber os procedimentos para se resolver uma equação irracional, saber resolver equações do 1º e do 2º grau, calcular produtos notáveis. Nos aspectos relacionais destacamos a compreensão dos procedimentos para se resolver uma equação irracional, saber identificar outros assuntos necessários à resolução de equação irracional, testar os resultados para verificar a sua veracidade.
Essa atividade foi desenvolvida seguindo a mesma sistemática das anteriores e os grupos de estudos passaram a resolver um exercício sobre equações irracionais. No desenvolvimento das questões percebemos que o grupo formado por Samara, Ana Cecília, Patrícia e João Andrade apresentava dificuldade em resolver equação do tipo 3x=x2, pois eles estavam tentando a solução através da aplicação da fórmula de Báskara e não estavam conseguindo. Explicamos para os estudantes que poderiam resolver utilizando os procedimentos da fatoração, colocando o x em evidência. Outros alunos apresentaram obstáculos no cálculo de equação do 2º grau do tipo x2 - 4x + 3 = 0. Os estudantes Eduardo, Flávia, e Danielli não conseguiram desenvolver o produto notável (1 – x)2. Observados esses obstáculos epistemológicos dos alunos, obstáculos esses sobre assuntos matemáticos que consideramos pré-requisitos a uma abordagem com equações irracionais, passamos a retomar esses conteúdos caso a caso, em todos os grupos, dirimindo as dúvidas de acordo com a necessidade de cada aluno.
A atividade foi concluída com os estudantes apresentando as questões no quadro, com nossa explicação mais detalhada logo em seguida. O envolvimento e a participação dos estudantes no desenvolvimento das questões propostas, superou as dificuldades apresentadas no decorrer das aulas. As tarefas foram realizadas e os objetivos traçados, alcançados.
A décima atividade foi precedida por uma revisão de conteúdos que constam no currículo oficial e são explorados nos livros de Matemática para a última série do Ensino fundamental como também são explorados na 2ª série do Ensino Médio. Dentre eles destacamos: trigonometria no triângulo retângulo para dar aos estudantes a idéia de seno, cosseno e tangente, orientação de como usar a tabela trigonométrica e os ângulos de 30º, 45º e 60º como sendo os mais utilizados; os polígonos regulares; o quadrado; o triângulo e o retângulo e revisamos polígonos regulares inscritos e circunscritos. Esses assuntos foram explicados com o uso de retroprojetor e transparências e também foram aplicados exercícios de treinamento preparados em folha de papel sulfite. Ao discutirmos esses assuntos os estudantes disseram que o professor de Matemática deles já lhes tinha explicado alguns dos conteúdos em pauta, o que veio favorecer e contribuir com o andamento dos estudos.
Destacamos alguns aspectos instrumentais importantes para o desenvolvimento dessa atividade como: leitura e utilização da tabela trigonométrica, identificação e reconhecimento de tangente de um ângulo, saber o que é um polígono, identificar os diversos tipos de polígonos, reconhecer polígonos inscritos e circunscritos, saber utilizar os instrumentos de desenho, régua e compasso, saber o que é perímetro de um polígono.
Essa foi uma das atividades que chamou mais a atenção dos estudantes: eles tinham a curiosidade de saber como se chegou à aproximação de pi que só se utiliza 3,14; por que esse valor e não outro? Essa era uma das indagações.
No desenvolvimento da atividade surgiram algumas dúvidas que foram sendo tiradas junto aos grupos. Mas também apresentamos um tópico da história de pi que foi lido pela aluna Beatriz. Partindo da leitura eles puderam perceber que mesmo tendo sido Willian Jones que introduziu a letra grega S como símbolo para representar o número pi, esse símbolo só veio ser popularizado e conhecido por meio do famoso Leonhard Euler. A parte histórica foi importante, pois surgiram no grupo de estudantes dois interessados em ler mais sobre o assunto.
Em conclusão pudemos perceber que as questões propostas foram feitas, havendo envolvimento e participação de todos os alunos que superaram os obstáculos apresentados, avançando assim na aprendizagem matemática.