EDAT GRUBU

5.1 Um exemplo

Retornando ao nosso exemplo de absorventes, foram realizados independentemente os escalonamentos não-métricos para as respondentes A (ver p. 70) e B (ver p.83). Como já sinalizado anteriormente, a comparação direta dos dois mapas não é possível de ser feita, devido à indeterminação de cada uma das soluções em termos de rotação, reflexão e escala. Ou seja, uma marca pode se mostrar distante do seu ponto original simplesmente pela orientação escolhida para o segundo mapa, e não porque os consumidores mudaram sua percepção em relação a ela.

Para eliminar esta influência, uma alternativa possível é fornecida pela análise procrusteana, cujo objetivo é ajustar uma configuração de pontos a outra da melhor maneira possível, sem, no entanto, alterar a estrutura de distâncias entre os pontos da configuração ajustada.

O mapa a seguir apresenta o resultado da aplicação da análise procrusteana, estabelecendo a respondente A como configuração-objetivo e a respondente B como configuração a ser ajustada:

GRÁFICO 14

Análise procrusteana para absorventes

s= 0.798592090

Fonte: Elaboração própria.

No gráfico estão indicadas com sufixo C as posições finais das marcas, segundo a participante B, após aplicação da análise procrusteana. Note que a distância entre Sutil C e Sutil A é menor do que a distância entre Sutil B e Sutil A, como indicado pelas duas setas.

Adicionalmente, o polígono com linha cheia mostra a relação original de distâncias entre as marcas segundo a participante B, enquanto o polígono com linha pontilhada mostra a relação de distâncias para a mesma participante após aplicação de procrustes. O fato de que os dois polígonos possuem a mesma forma comprova que a relação de distâncias entre as marcas foi preservada pelo algoritmo.

A redução nas distâncias entre os pontos das duas configurações mencionada acima ocorre para a maioria das marcas, mas não todas (ex. Serena C está mais

distante de Serena A do que estava Serena B). Esse efeito é decorrente do fato de que as distâncias relativas entre os pontos antes e depois da aplicação da análise procrusteana necessita ser mantida. Nesse caso, o algoritmo calculou que haveria maior ganho na redução da distância total aproximando a maioria delas das marcas A, ainda que a distância em relação à marca Serena A fosse piorada.

De fato, a redução da variância entre as distâncias médias pode ser verificada através da simples análise de variância:

TABELA 11

Análise de variância após aplicação de procrustes

Fonte da

variação Modelo

Soma dos quadrados das distâncias Média das distâncias (n=6) Ajustado 2s tr

( )

Σ 4,2556 0,7093 Residual sXBT−XA 1,1164 Total s XB + XA 2 5,3720 0,8953

Fonte: Elaboração própria.

A tabela mostra que, nesse caso, 20,8% ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3720 , 5 1164 , 1

dos quadrados das distâncias

entre os pontos referentes às configurações A e B pode ser atribuído à orientação particular dos mapas, e não a diferenças de percepção entre as duas participantes necessariamente.

A partir de então já se torna possível uma análise das diferenças em percepção entre as duas participantes. O gráfico abaixo é uma reprodução do gráfico anterior, sem as posições originais de B e sem as linhas indicativas, a fim de maior clareza:

GRÁFICO 15

Comparação dos mapas de absorventes das respondentes A e B

2,0000 1,0000 0,0000 -1,0000 -2,0000 Dim1 2,0000 1,0000 0,0000 -1,0000 -2,0000 Dim2 Sutil C Serena C Ela C S&N C Modess C SLivre C Sutil A Serena A Ela A S&N A SLivre A

Fonte: Elaboração própria.

Como se pode notar, as duas participantes posicionam as marcas de absorventes em suas mentes de forma similar, com exceção de uma marca em particular, a marca Segura & Natural. A participante A percebe essa marca como similar a Sempre Livre e Modess, enquanto a participante B a percebe mais similar à marca Serena.

5.2 A solução

A seguir será apresentada uma descrição sucinta da técnica de análise procrusteana segundo Gower e Dijksterhuis (2004).

A análise procrusteana se trata de uma família de técnicas que podem ser utilizadas na comparação (e ajuste) de duas ou mais configurações de pontos no espaço – a qual será de utilidade no nosso estudo empírico (ver capítulo 7). O seu nome deriva da figura mitológica grega de Procrustes, filho de Poseidon, o qual possuía uma

estalagem para viajantes. Procrustes se gabava de que possuía uma cama especial, que se encaixava perfeitamente a qualquer viajante. A fim de manter sua promessa comprovada, Procrustes cortava extremos de hóspedes muito altos, e martelava e esticava hóspedes muito baixos. Por conseqüência, de fato seus hóspedes sempre se encaixavam perfeitamente na cama, mas infelizmente morriam. O nome da técnica foi inicialmente cunhado por Hurley e Cattell em 1962, fazendo referência ao fato de que a técnica possui “o poder brutal de fazer quase qualquer conjunto de dados se ajustar a qualquer hipótese”12 (HURLEY; CATTELL, 1962 apud GOWER; DISJKSTERHUIS, 2004).

De forma semelhante, a análise procrusteana tem por objetivo ajustar uma figura geométrica a outra, através de transformações sobre as configurações de pontos. As três transformações geralmente permitidas são:

a) Translação, ou mudança da origem de coordenadas;

b) Rotação, ou giro dos eixos no espaço, preservando-se ou não a angulação original entre eles;

c) Re-escalonamento, ou aumento/diminuição da proporção entre as diferentes configurações.

Um exemplo visual simples da aplicação da análise procrusteana é dado a seguir:

12

FIGURA 7

Análise procrusteana sobre um par de triângulos

x₁ x₂ x₃ y₃ y₂ y₁ x₁ x₂ x₃ y₃ y₂ y₁

Fonte: Adaptado de Gower e Dijksterhuis (2004, p. 30).

Neste exemplo, o triângulo x1x2x3 é fixo, e o sobre o triângulo pontilhado y1y2y3 são aplicadas as transformações de translação, rotação e re-escalonamento, resultando no triângulo de linha completa indicado pelas setas. Este novo triângulo representa a melhor aproximação do triângulo y1y2y3 em relação ao triângulo x1x2x3, sem afetar no entanto a estrutura do triângulo y1y2y3, caracterizada pelos ângulos entre os seus lados.

A análise procrusteana é o método mais popular na avaliação da similaridade entre configurações de pontos (BORG; LEUTNER, 1985), tarefa essa que engloba a comparação de configurações oriundas de escalonamento multidimensional. Como visto no capítulo 4.6 (ver p. 68), as configurações resultantes da aplicação do EMD não-métrico não possuem orientação fixa. A aplicação da análise procrusteana possibilita então “enxergar” as diferenças de fato estruturais entre as configurações, pois, ao fazer o ajuste, elimina diferenças de orientação entre elas sem afetar as distâncias euclidianas entre os pontos da cada configuração, que é a principal propriedade obtida através da aplicação do EMD.

Matematicamente, a análise procrusteana é um problema cujo objetivo é minimizar a norma (ou tamanho) da diferença entre uma configuração X₁, sobre a qual podem ser aplicadas as três transformações descritas anteriormente, e uma segunda configuração X₂ fixa. Sejam então X₁ e X₂ matrizes nxP1 e nxP2 respectivamente que representam configurações de n pontos em espaços euclidianos de dimensões P1 e P2. O problema de procrustes procura a matriz de transformação T tal que

2

1T X

X − seja mínimo13. Note que T tem dimensão P1xP2.

Na verdade, o problema de procrustes assume diversas formas em função das restrições que se aplicam sobre a dimensionalidade das configurações de pontos e a natureza da matriz de transformação T . Alguns exemplos:

a) X₁ e X₂ com mesma dimensionalidade. Nesse caso, T é uma matriz quadrada de ordem P;

b) T ortogonal, onde os vetores que compõem a matriz são ortogonais (perpendiculares) entre si;

c) T ortonormal, onde os seus vetores são ortogonais entre si e de tamanho 1; d) T como matriz de cossenos direcionais, em que não se exige que os vetores

sejam ortogonais entre si. Essa forma do problema admite que os ângulos entre as dimensões da configuração transformada sejam diferentes dos ângulos antes da transformação.

Uma variante do problema de procrustes é a que admite tanto uma transformação sobre a primeira matriz de pontos, como a segunda. O objetivo passa a ser então

13

A norma de uma matriz é definida como a soma dos quadrados dos elementos da matriz. Ela pode ser calculada através da operação tr

(

XTX

)

, onde tr

( )

X é operação de soma dos elementos da diagonal da matriz X.

encontrar duas matrizes T₁ e T₂tal que X₁T₁ −X₂T₂ seja mínimo. Note que neste caso o problema admite a solução trivial T₁ =T₂ =0, então restrições adicionais são impostas sobre o modelo.

Existe ainda a generalização do problema de procrustes, que envolve não somente duas matrizes de configurações de pontos, mas várias, e o objetivo é encontrar a coleção de K matrizes Ti que minimizem

∑∑

= = − K i i j j j i i 1 1 T X T

X , ou seja, a soma das

distâncias entre cada par de configurações.

No nosso estudo, estamos interessados numa das formas mais simples do problema, onde X1 e X2 possuem mesma dimensionalidade e T é ortogonal, uma

vez que o objetivo é ajustar duas configurações de n pontos em P dimensões resultantes da aplicação de EMD, sem afetar a ortogonalidade das dimensões originais. Nesse caso, uma solução analítica para o problema é bem conhecida.

O objetivo é encontrar T tal que X₁T−X₂ seja mínimo. Temos que:

(

X X X X

)

(

X X T

)

X T

X₁ − ₂ =tr ₁T ₁ + T_{2 2} −2tr T_{2 1}

Como a primeira parte da expressão não depende de T , o problema se resume a encontrar T que maximize tr

(

XT₂X₁T

)

. A solução é obtida utilizando-se a decomposição em valores singulares T

V UΣ de X2X1 T :

(

X X T

) (

=tr UΣV T

) (

=tr ΣV TU

)

=tr

( )

ΣH tr T_{2 1} T T , onde H=VTTU

Pelas propriedades da decomposição em valores singulares, T

V e U são

Sendo

( )

∑

= = Σ P i i ii h 1

tr H σ , e como cada σ_i é não-negativo, o valor máximo da expressão é atingido quando cada hii =1. Isso significa dizer que H= e, portanto, I

TU V

I= T . Desse modo, a solução que buscamos é T

VU T= .

A matriz T obtida é responsável pela rotação de X1, mas o melhor ajuste ainda pode

depender de um fator de escala. Nesse caso, queremos encontrar um fator s que minimize sX₁T−X₂ . O cálculo de T é inalterado, e o valor de s é dado por:

(

)

(

1 1

)

1 1 2 tr tr tr X X X T X X Σ = = T_T s

Fica dessa forma determinado o processo para encontrar o melhor ajuste da configuração de pontos X₁ à configuração X₂:

1. Calcular XT₂X₁;

2. Encontrar sua decomposição em valores singulares _UΣ_VT_;

3. Calcular T VU T= ; 4. Definir 1 tr X Σ = s ; 5. Calcular X₁' =sX₁T.

Um último comentário sobre a aplicação de análise procrusteana se faz necessário nesse momento.

Como visto no capítulo 4.8 (ver p. 93), as dimensões resultantes da aplicação do escalonamento não-métrico não possuem necessariamente um significado

substantivo. Representando nada mais do que uma medida métrica de separação entre cada ponto, as dimensões de ambos os mapas são consideradas compatíveis, ou seja, seguem o mesmo tipo de escala (GOWER; DIJKSTERHUIS, 2004).

O único cuidado que deve ser tomado é que, caso as dimensões na configuração de pontos original tenham sido interpretadas, essa interpretação não é mais válida para a configuração ajustada, pois os eixos foram rotacionados.

Belgede Nehcü’l Ferādis’te Kelime Grupları (sayfa 100-122)