A necessidade de construirmos referenciais locais vem do fato que a defini¸c˜ao de part´ıcula no espa¸co-tempo curvo n˜ao ser un´ıvoca, por exemplo, um observador que es- teja em queda livre pode medir um n´umero de part´ıculas diferentes de outro observador que esteja acelerado [35]. Com isso, torna-se conveniente escolher um estado de v´acuo do qual o conceito de part´ıcula seja global em todo o espa¸co-tempo. Assim, a escolha natural para se definir o estado de v´acuo ´e o estado de v´acuo definido no espa¸co-tempo de Minkowisky, onde este estado de v´acuo ´e invariante dentro de grupo de Poincar´e e onde todos os observadores est˜ao localizados em referenciais inerciais. Dessa forma, a ausˆencia de part´ıcula para um observador implica na ausˆencia de part´ıcula para todos os outros e cada part´ıcula registrada por um observador inercial ´e definida como modos desse estado de v´acuo.
Para definir o spin no espa¸co-tempo curvo, recorre-se aos conceitos de teoria de cam- pos no espa¸co-tempo de Minkowisky, onde o spin ´e classificado de acordo com as trans- forma¸c˜oes infinitesimais de Lorentz
xa→ ¯xa = Λa
bxb = (δba+ ̟ab) xb, (1.53)
onde ̟ab =−̟ba e |̟ab| << 1. No espa¸co-tempo curvo, as transforma¸c˜oes infinitesimais
de Lorentz dependem do ponto onde s˜ao aplicadas Λa
b → Λab(x) e para n˜ao se peder a
conex˜ao com o grupo de Poincar´e ou apenas com o grupo de Lorentz, as part´ıculas com spin devem ser definidas em cada ponto do espa¸co-tempo de modo que os observadores estejam localizados em referenciais inerciais.
Iremos ent˜ao descrever as leis da f´ısica da natureza na relatividade geral obedencendo o Princ´ıpio da Equivalˆencia. Com o Princ´ıpio da Equivalˆencia pode-se construir referenciais locais que s˜ao inerciais e onde estes se tranformam perante transforma¸c˜oes de Lorentz locais. Pode-se enunciar o Princ´ıpio da Equivalˆenica da seguinte forma [29, 31, 32, 33]
“Em todo ponto do espa¸co-tempo dentro de um campo gravitacional arbitr´ario ´e poss´ıvel escolher um sistema de coordenadas inercial local tal que, dentro de uma regi˜ao suficiente- mente pequena em torno do ponto em quest˜ao, as leis da natureza tomam a mesma forma como num sistema de coordenadas cartesiano desacelerado na ausˆencia da gravita¸c˜ao.”
O Princ´ıpio da Equivalˆencia estabelece que em qualquer ponto do espa¸co-tempo pode- se ter um sistema de coordenadas inercial local que satisfa¸ca as leis da relatividade especial. Dessa forma, considera-se uma part´ıcula que se move livremente dentro da influˆencia de for¸cas gravitacionais. De acordo com o Princ´ıpio da Equivalˆencia [29, 31, 32, 33] h´a um sistema de coordenadas em queda livre {ξa} cuja equa¸c˜ao de movimento ´e:
d2ξa
com dτ sendo o tempo pr´oprio da part´ıcula dτ2 = −1
c2 ηabdξ
adξb. (1.55)
Nesse sistema de coordenadas em queda livre, o objeto ηab´e definido como sendo o tensor
m´etrico do espa¸co-tempo de Minkowisky.
Agora, suponha-se que ´e adotados um outro sistema de coordenadas qualquer {xµ},
este pode ser um sistema de coordenadas cartesiano no repouso do laborat´orio ou pode ser curvil´ıneo, ou acelerado, ou rotacionado, ou um outro qualquer desejado. As coordenadas em queda livre {ξa} s˜ao fun¸c˜oes de xµ e a equa¸c˜ao (1.54) torna-se:
d2ξa dτ2 = d dτ ∂ξa ∂xµ dxµ dτ = d dτ ∂ξa ∂xµ dxµ dτ + ∂ξa ∂xµ d2xµ dτ2 = ∂ξ a ∂xµ d2xµ dτ2 + ∂ξa ∂xν∂xµ dxµ dτ dxν dτ = 0. (1.56)
Multiplicando-se a equa¸c˜ao (1.56) por ∂xλ
∂ξa e levando-se em conta que
∂ξa ∂xµ ∂xλ ∂ξa = δ λ µ⇒ d2xλ dτ2 + Γ λ νµ dxµ dτ dxν dτ = 0, (1.57) onde Γλ νµ≡ ∂x λ ∂ξa ∂2ξa
∂xν∂xµ ´e a conex˜ao afim. O tempo pr´oprio dado em (1.55) pode tamb´em
ser expressado em um sistema de coordenadas arbitr´ario: dτ2 = −1
c2 gµνdx
µdxν, (1.58)
que pela equa¸c˜ao (1.55) resulta em dτ2 = −1 c2 ηab ∂ξa ∂xµdx µ ∂ξb ∂xν dx ν = −1 c2 ∂ξa ∂xµ ∂ξb ∂xν ηabdx µdxν. (1.59)
Igualando-se (1.58) com (1.59), encontra-se uma rela¸c˜ao entre o sistema de coordenadas arbitr´ario e o referencial local em queda livre
gµν =
∂ξa
∂xµ
∂ξb
∂xν ηab, (1.60)
ou seja, pode-se escrever o tensor m´etrico dado para um sistema de coordenadas arbitr´ario em rela¸c˜ao um sistema de coordenadas locais que est´a em queda livre8.
Vamos, ent˜ao, estender nossa defini¸c˜ao de referencial local tomando um ponto qualquer do espa¸co-tempo e um certo sistema de coordenadas. Na vizinhan¸ca de um ponto X num sistema de coordenadas arbitr´ario xµ temos que as coordenadas locais tornam-se
ξa→ ξa(X). Ent˜ao, a rela¸c˜ao (1.60) fica:
gµν(X) = ∂ξa(X) ∂xµ ∂ξb(X) ∂xν ηab. (1.61) 8
Contudo, ´e poss´ıvel estender a rela¸c˜ao (1.60) para um sistema de coordenadas locais que n˜ao seja inercial. Para isso basta que esse sistema continue obedecendo o Princ´ıpio da Equivalˆencia. No quinto cap´ıtulo trabalheremos com referenciais locais n˜ao-inerciais.
Portanto, se em todo ponto X tem-se um conjunto de coordenadas ξa(X) = ξa X que
s˜ao locais em X e obedecem o Princ´ıpio da Equivalˆencia, o tensor m´etrico em qualquer sistema de coordenadas geral pode ser escrito em rela¸c˜ao ao sistema de coordenadas locais como gµν(x) = eaµ(x) ebν(x) ηab, (1.62) onde eaµ(X)≡ ∂ξa X(x) ∂xµ x=X , (1.63)
s˜ao objetos que definem em cada ponto do espa¸co-tempo um referencial local. Note-se que foram fixadas as coordenadas inerciais locais ξa
X no ponto X, ent˜ao quando se muda
as coordenadas gerais de xµ para x′µ, as derivadas parciais ∂ξaX(x)
∂xµ = eaµ(x) mudam de
acordo com a regra: ea µ→ e′aµ(x) = ∂ξa X(x) ∂xν ∂xν ∂x′µ = ∂xν ∂x′µ e a ν(x) , (1.64)
isto ´e, observa-se que os referenciais locais ea
ν(x) transformam-se como um vetor covari-
ante e n˜ao como um tensor.
Tomada essa no¸c˜ao e defini¸c˜ao dos referenciais locais a partir do Princ´ıpio da Equivalˆencia, pode-se dar agora uma defini¸c˜ao em termos de uma base vetorial. Os refenciais lo- cais s˜ao constru´ıdos a partir dos elementos de uma base ortonormal n˜ao-coordenada [29, 30, 31, 32, 33, 35, 36]
ˆ
θa = eaµ(x) dxµ, (1.65)
cujos elementos ea
µ(x) definem os referenciais locais quando satisfazem a rela¸c˜ao (1.62)
e s˜ao conhecidas com tetradas ou vierbein. As tetradas possuem uma inversa que satisfaz as seguintes rela¸c˜oes
eµ
a(x) eaν(x) = δµν; eaµ(x) e µ
b(x) = δab. (1.66)
Portanto, com a defini¸c˜ao dos referenciais locais e sua inversa, iremos estabelecer que os ´ındices latinos indicar˜ao as componentes de vetores ou tensores nos referenciais locais enquanto que os ´ındices gregos indicar˜ao as componentes de vetores ou tensores num sistema de coordenadas geral, ou melhor, do espa¸co-tempo. Iremos utilizar essa nota¸c˜ao em todo o nosso trabalho.
Qualquer vetor ou tensor pode ser escrito em termos dos elementos da base n˜ao- coordenada (1.65). Por exemplo, vamos tomar as seguintes componentes de tensores9
Tµν = eµaeaνTab; Tab = eaµeνbTµν. (1.67) Vˆe-se, com a express˜ao (1.64), que os referenciais locais transformam-se como vetores. Qualquer mudan¸ca de base dever´a ser realizada da forma
ˆ
θa → ˆθa′
= Λaa′(x) ˆθa, (1.68)
9
onde as matrizes Λa′
a(x) representam transforma¸c˜oes que dependem de cada ponto do
espa¸co-tempo e deixam a forma canˆonica da m´etrica inalterada, ou seja,
ηa′b′Λaa′(x) Λbb′(x) = ηab. (1.69)
Essas matrizes com ´ındices latinos promovem as chamadas Tranforma¸c˜oes de Lorentz Lo- cais, enquanto que matrizes Λ com ´ındices gregos indicam Transfoma¸c˜oes de Coordenadas no espa¸co-tempo. Pode-se exemplificar as transforma¸c˜oes de Lorentz locais com
Ta′µ′b′ν′ = Λa ′ a ∂xµ′ ∂xµ Λ b b′ ∂xν ∂xν′ T aµ bν. (1.70)
Tendo-se a lei de transforma¸c˜ao em m˜aos, torna-se poss´ıvel definir a derivada covariante dos referenciais locais. Para uma base n˜ao-coordenada ˆθa, defini-se as componentes da
conex˜ao um-forma como sendo ωa
b = ωµ ba dxµ como
∇µθˆb = ωµ ba θˆa. (1.71)
Ap´os alguns c´alculos, pode-se escrever a derivada covariante das componentes de um vetor dado no referencial local como
∇µVa= ∂µVa+ ωµ ab Vb. (1.72)
Dessa forma, para um tensor podemos escrever a derivada covariante de suas componentes no referencial local como
∇µTab = ∂µTab+ Tcbωµ ca − Tacωµ bc . (1.73)
Assim, tomando-se a express˜ao para a derivada covariante de um vetor num sistema de coordenadas geral, ou melhor, com ´ındices do espa¸co-tempo, e a express˜ao para a derivada covariante no refencial local (1.72) podemos obter a express˜ao para as componentes da conex˜ao um-forma em fun¸c˜ao das tetradas e das conex˜oes afins, ou seja,
ωµ ba (x) = −eνb∇µeaν =−eνb ∂µeaν − Γλµνeaλ
. (1.74)
Em geral essa express˜ao ´e muito boa para calcularmos as componentes das conex˜oes um-forma (1.74) quando se tem um espa¸co-tempo curvo sem tor¸c˜ao. Na ausˆencica de tor¸c˜ao, as conex˜oes afins Γλ
µν tornam-se os s´ımbolos de Christoffel que s˜ao facilmente cal-
culados via equa¸c˜ao (1.32). Contudo, na presen¸ca de torc¸c˜ao, a express˜ao para a conex˜ao afim torna-se idˆentica a (1.31). Nessa situa¸c˜ao torna-se melhor calcular as conex˜oes um- forma bem como as componentes do tensor de tor¸c˜ao via equa¸c˜ao de estrutura de Maurer- Cartan [30, 36]
Ta = dˆθa+ ωab∧ ˆθb, (1.75) onde o operador d indica a derivada exterior, o s´ımbolo ∧ indica o wedge product10,
Ta = Ta
µνdxµ∧ dxν ´e chamada de tor¸c˜ao duas-forma e ωab = ωµ ba dxµ ´e uma conex˜ao
um-forma. No geral, o termo ω a
µ b ´e chamado de conex˜ao de spin ou conex˜ao um-forma.
10
O wedge product entre duas um-formas ´e dado por dxµ
∧ dxν =1 2(dx µ ⊗ dxν − dxν ⊗ dxµ), enquanto
Para mais informa¸c˜oes sobre derivada exterior e wedge product ver as referˆencias [30, 36]. A rela¸c˜ao entre a tor¸c˜ao e o tensor de contor¸c˜ao pode ser dada em termos dos referenciais locais via express˜ao [41]
Ta= Kab∧ ˆθb, (1.76)
onde tem-se uma rela¸c˜ao entre a tor¸c˜ao duas-forma e uma conex˜ao um-forma associada ao tensor de contor¸c˜ao, isto ´e, Ka
b = Kµ ba dxµ. A rela¸c˜ao entre a conex˜ao um-forma Kµab
e o tensor de contor¸c˜ao (1.33) ´e dada pela seguinte express˜ao [40] Kµab = Kβνµ h eνa(x) eβb(x)− eν b(x) eβa(x) i . (1.77)
Portanto, fizemos at´e esse momento uma breve revis˜ao sobre como definir a derivada covariante de um vetor diante de uma espa¸co-tempo curvo e na presen¸ca da tor¸c˜ao e como definir os referenciais locais dos observadores que obedecem o princ´ıcio da equivalˆencia da relatividade geral. Contudo, para estudarmos o comportamento de spinores num espa¸co- tempo curvo e na presen¸ca da tor¸c˜ao, alguns requisitos a mais s˜ao necess´arios, pois os spinores tˆem algumas propriedades diferentes de vetores. Faremos esse estudo na pr´oxima se¸c˜ao.