seguinte equa¸c˜ao:
∇fJDDM = 0 ⇒ E{¯a∗(n)|y(n)|
2− |ˆa(n)|2} = 0, (4.25)
em que ¯a(n) = [a(n) a(n − 1) ... a(n − N − M + 2) ]T. Entretanto, uma an´alise de convergˆencia
baseada no vetor de coeficientes do espa¸co global f n˜ao possui uma natureza pr´atica, uma vez que o processo de equaliza¸c˜ao ´e realizado sobre o filtro FIR w. Uma an´alise real´ıstica dos pontos de m´ınimo da fun¸c˜ao custo DDM deveria ser realizada buscando-se solu¸c˜oes para a seguinte equa¸c˜ao:
∇wJDDM = 0 ⇒ E{x∗(n)|y(n)|
2
− |ˆa(n)|2} = 0, (4.26) em que x(n) = [x(n) x(n − 1) ... x(n − M + 1) ]T. Desta forma, o questionamento que deve ser
respondido ´e:
Em que condi¸c˜oes as solu¸c˜oes da eq. (4.25) equivalem `as solu¸c˜oes da eq. (4.26)?
Deve-se ressaltar que os pontos de equil´ıbrio do DDMA correspondem `as solu¸c˜oes da eq. (4.26), ou seja, a eq. (4.26) determina uma situa¸c˜ao real´ıstica, enquanto que a eq. (4.25) corresponde a uma situa¸c˜ao sobretudo te´orica. A resposta para essa pergunta foi encontrada em [67], a partir da seguinte rela¸c˜ao existente entre ¯a(n) e x(n):
x(n) = H · ¯a(n), (4.27) em que H ´e a matriz de convolu¸c˜ao do canal. Assim, pode-se relacionar as grandezas envolvidas nas eqs. (4.25) e (4.26) da seguinte forma:
E{x(n)|y(n)|2
− |ˆa(n)|2} = H · E{¯a(n) |y(n)|2
− |ˆa(n)|2}. (4.28)
De onde se conclui que (4.25) ⇒ (4.26). Contudo, uma vez que a matriz H tenha espa¸co nulo N(H) n˜ao-trivial, a inversa n˜ao ´e obrigatoriamente verdadeira. Em outras palavras, pode existir um ponto que seja solu¸c˜ao de (4.26) e, portanto, um ponto de equil´ıbrio do DDMA, mas que n˜ao seja solu¸c˜ao de (4.25). Desta forma, fica claro que uma an´alise dos pontos de m´ınimo no espa¸co global pode n˜ao representar todos os pontos de equil´ıbrio do respectivo algoritmo. As condi¸c˜oes em que (4.26) ⇒ (4.25) podem, ent˜ao, ser encontradas atrav´es de uma an´alise de N(H). Se N(H) tem dimens˜ao nula, ent˜ao existe uma rela¸c˜ao biun´ıvoca entre as solu¸c˜oes de (4.26) e (4.25). Caso contr´ario, a validade dessa rela¸c˜ao biun´ıvoca depende da dinˆamica do canal e do algoritmo em quest˜ao.
ou se M = +∞. Caso contr´ario, N(H) ´e n˜ao-trivial. O caso N = 1 corresponde a um canal n˜ao-distorsivo, onde n˜ao se faz necess´aria a utiliza¸c˜ao de um equalizador. J´a o caso em que M = +∞, trata-se de um equalizador de comprimento infinito. Foi demonstrado em [67] que mesmo um equalizador infinitamente parametrizado no sentido positivo, i.e., com infinitos coeficientes wi, i ≥ 0, o espa¸co nulo de H pode ser n˜ao-trivial. Entretanto, foi tamb´em demonstrado
que para um equalizador duplamente infinito, i.e., com infinitos coeficientes wi, ∀ i inteiro,
o espa¸co nulo de H ´e necessariamente trivial. Em outras palavras, o equalizador DDMA tem convergˆencia garantida para um dos pontos de equil´ıbrio encontrados na Se¸c˜ao 4.1, para qualquer canal distorsivo, se e somente se ele tem comprimento duplamente infinito. Esse caso representa uma situa¸c˜ao imposs´ıvel de ser implementada na pr´atica, uma vez que, al´em de ter infinitos coeficientes, o equalizador ´e necessariamente anticausal. Foi tamb´em demonstrado no mesmo trabalho [67] que um equalizador de comprimento muito longo n˜ao ´e suficiente para garantir a convergˆencia para um dos pontos de equil´ıbrio encontrados.
Origem dos pontos de m´ınimo em equalizadores cegos
Em [66] foi demonstrado que os pontos de m´ınimo de algoritmos cegos s˜ao gerados por dois diferentes mecanismos. O primeiro deles ´e a parametriza¸c˜ao finita dos equalizadores. Os autores demonstraram que todos os algoritmos cegos que n˜ao utilizam restri¸c˜oes sobre seus coeficientes e que satisfazem as seguintes condi¸c˜oes:
• ±eτ, tal que 0 ≤ τ ≤ N + M − 2, s˜ao os ´unicos m´ınimos globais da fun¸c˜ao custo J(f);
• A fun¸c˜ao custo J(f) ´e cont´ınua em l1(R);
possuem m´ınimos locais quando finitamente parametrizados. Nas restri¸c˜oes acima, l1(R)
representa o conjunto de seq¨uˆencias infinitas reais de norma l1 finita. Os m´ınimos oriundos
desse mecanismo s˜ao chamados de M´ınimos Locais Dependentes do Tamanho - Length-Dependent
Local Minima (LDLM). As restri¸c˜oes acima s˜ao respeitadas por praticamente todos os algoritmos
de equaliza¸c˜ao cega que n˜ao utilizam restri¸c˜oes aos seus coeficientes. Assim, os LDLM est˜ao presentes na grande maioria dos algoritmos de equaliza¸c˜ao cega. O outro grupo de m´ınimos locais tem origem devido ao formato das fun¸c˜oes custo. Esses pontos de m´ınimo, chamados M´ınimos Locais Dependentes do Custo - Cost-Dependent Local Minima (CDLM), est˜ao presentes somente em determinados tipos de fun¸c˜oes custo. Entretanto, para esse tipo de fun¸c˜ao custo, os CDLM existem mesmo se o equalizador ´e duplamente infinito.
Baseando-se nos resultados encontrados na Se¸c˜ao 4.1, pode-se concluir que o DDMA possui apenas os m´ınimos do tipo LDLM para sinais transmitidos com FDP super-gaussiana. J´a para o caso de sinais com FDP sub-gaussiana, o DDMA possui os dois tipos de m´ınimo. Ressalta-se, entretanto, que esses resultados s˜ao v´alidos somente sob a hip´otese que o dispositivo de decis˜ao realiza decis˜oes corretas.
4.2 An´alise da Convergˆencia no Espa¸co do Equalizador 69
Caso Multicanal
A an´alise realizada nesta se¸c˜ao mostrou que para um equalizador com um n´umero finito de coeficientes, o espa¸co nulo da matriz H∗ n˜ao ´e obrigatoriamente trivial. Esses resultados s˜ao v´alidos para o caso de um sistema SISO, ou seja, um sistema monousu´ario monocanal, que ´e exatamente o caso do sistema considerado neste trabalho (ver fig. 2.1). Entretanto, assim como realizado para o CMA-FSE (CMA-Fractionally Spaced Equalizer ) em [40], o DDMA pode ter garantia de convergˆencia para um dos pontos de m´ınimo do espa¸co global, desde que opere em um sistema monousu´ario multicanal. Um sistema monousu´ario multicanal ou
Single-Input Multiple-Output (SIMO) ´e um sistema que possui uma entrada, ou seja, um sinal
transmitido, e diversas sa´ıdas, ou seja, diversos sinais recebidos. Os m´ultiplos subcanais podem ser oriundos de diferentes formas, desde que seja inserida no sistema algum tipo de redundˆancia ou diversidade. Os principais tipos de diversidades existentes nos sistemas de comunica¸c˜ao s˜ao: arranjos de antenas, superamostragem e redundˆancia introduzida por um pr´e-codificador. Assim, ser´a considerado um sistema de comunica¸c˜ao sem ru´ıdo que possui NC subcanais, cujas
respostas ao impulso s˜ao dadas por {h(j)}, 1 ≤ j ≤ NC. Ser´a considerado ainda que esses NC
subcanais satisfazem as seguintes condi¸c˜oes:
h(j)0 6= 0, para algum 1 ≤ j ≤ NC;
h(j)N−16= 0, para algum 1 ≤ j ≤ NC;
{Hz(j)} nao possuem zeros em comum.
Na verdade, as condi¸c˜oes supracitadas equivalem `as chamadas Condi¸c˜oes de Identifiabilidade baseadas em cicloestacionariedade de segunda ordem, como mostrado em [68].
Desta forma, os NC sinais recebidos s˜ao dados por
x(j)(n) = N−1 X i=0 a(n − i)h(j)i + v (j)(n), para 1 ≤ j ≤ NC. (4.29)
A cada subcanal ´e associado um equalizador w(j) (1 ≤ j ≤ N
C) e a sa´ıda do sistema
multicanal y(n) ´e o somat´orio das NC sa´ıdas dos filtros, como mostrado a seguir:
y(n) = NC X j=1 M−1 X i=0 w(j)i x(j)(n − i). (4.30)
O vetor de coeficientes do equalizador multicanal pode ser expresso em fun¸c˜ao dos vetores de coeficientes dos filtros individuais w(j) da seguinte forma:
¯
Deste modo ´e poss´ıvel encontrar uma express˜ao que relacione o vetor de coeficientes ¯w e a resposta ao impulso global do sistema multicanal f [40]:
¯
HTw = f,¯
em que ¯H(M.NC)×(N+M−1)´e a matriz de convolu¸c˜ao do canal SIMO dada por
¯
H =HT
1 HT2 . . . HTNC
T
, (4.31)
sendo que Hj ´e matriz de convolu¸c˜ao associada ao subcanal j (1 ≤ j ≤ NC). Em [40] foi
demonstrado para o caso sem ru´ıdo que, se o vetor f pode assumir qualquer valor dentro do conjunto CN+M −1, ent˜ao o conjunto de pontos e
τ, ∀ τ tal que 0 ≤ τ ≤ N + M − 1, s˜ao os ´unicos
pontos de m´ınimo da fun¸c˜ao custo CM, uma vez respeitadas as Condi¸c˜oes de Identifiabilidade. Deste modo, existe uma correspondˆencia biun´ıvoca entre os pontos de m´ınimo em uma an´alise no espa¸co da resposta ao impulso global e no espa¸co da resposta ao impulso finita do equalizador se a matriz ¯H possui posto pleno e as Condi¸c˜oes de Identifiabilidade s˜ao respeitadas. A condi¸c˜ao para que ¯H possua rank pleno ´e dada por
N NC ≥ (N + M − 1) ⇒ N(NC − 1) + 1 ≥ M. (4.32)
Assim, pode-se resumir os resultados de convergˆencia encontrados para o caso multicanal da seguinte forma:
Assumindo a hip´otese que o dispositivo de decis˜ao realiza decis˜oes corretas, o DDMA
multicanal converge sempre para um dos m´ınimo encontrados na Se¸c˜ao 4.1, para o caso sem
ru´ıdo, se o comprimento do equalizador ´e tal que M ≤ N(NC− 1) + 1, uma vez respeitadas as
Condi¸c˜oes de Identifiabilidade.
Coment´arios Finais a Respeito de Convergˆencia
A an´alise de convergˆencia feita nesta se¸c˜ao baseia-se principalmente nos trabalhos sobre a convergˆencia do CMA encontrados em [40, 66, 67]. A teoria desenvolvida nesses trabalhos ´e baseada no fato de que a fun¸c˜ao custo CM tem como ponto de m´ınimo no espa¸co global apenas o ponto corresponde `a solu¸c˜ao ZF [65]. Uma vez que uma propriedade semelhante foi verificada para a fun¸c˜ao custo DDM na Se¸c˜ao 4.1, a teoria desenvolvida nos referidos trabalhos pode ser aplicada ao DDMA. Outros trabalhos interessantes sobre a convergˆencia e estabilidade do CMA, que podem ser ´uteis para se estudar o comportamento do DDMA, podem ser encontradas em [9, 69-75]
Apesar da convergˆencia global do CMA ser garantida apenas para o caso multicanal (CMA-FSE), tem se verificado na pr´atica, para a grande maioria dos casos, que a convergˆencia do CMA SISO ocorre de maneira satisfat´oria [36]. Um comportamento semelhante ´e encontrado para o DDMA SISO, em que os casos de convergˆencia para pontos de m´ınimo local indesejados
4.3 An´alise do Erro Quadr´atico M´edio em Excesso 71