I. ‹ki noktas› verilen bir do¤runun vektörel denklemi A (x1, y1) ve B (x2 , y2) gibi iki nokta
ve AB do¤rusu üzerinde herhangi bir nokta P (x , y) olsun (fiekil 4.45) de:
ÖRNEK 45: A (2 , 3) ve B (4 , - 1) noktalar›ndan geçen do¤runun vektörel denklemini bulal›m.
ÇÖZÜM 45: A ve B noktalar›ndan geçen do¤runun vektörel denklemi Çemberin yar›çap uzunlu¤u, r = MA = -1 - 32 + 4 - 12 = -42 + 32 r = 16 + 9 = 25 = 5 birimdir.
‹stenilen çemberin denklemi x - 32 + y - 12 = 25 olur.
y x O A(x1 , y1) P(x , y) B(x2 , y2) b a p AB = b - a ve AP = p - a d›r. AP = λ AB λ∈R dir. AP = λ b - a oldu¤undan, P noktas› AB do¤rusu üzerindedir. Buna göre, A ve B noktalar›ndan geçen do¤runun vektörel denklemi: p = a + λ b - a d›r.
p = a + λ b - a ; λ∈R dir.
A 2 , 3 ve B 4 , -1 oldu¤undan b - a = 4 , - 1 - 2 , 3 = 4 - 2, - 1 - 3 = 2, -4 tür. p = 2 , 3 + λ 2, - 4 = x , y olur.
x = 2 + 2λ
y = 3 - 4λ Bu denklem sisteminde, λ de¤erini yok edersek, 2λ = x - 2 ise -4λ = -2x + 4 tür. y = 3 - 4λ denkleminde uygularsak, y = 3 - 2x + 4 ten, y= -2x +7 veya 2x + y - 7 = 0 olur.
II. Verilen bir vektöre paralel olan ve verilen bir noktadan geçen do¤runun vektörel denklemi
A noktas›ndan geçen ve k do¤rusuna paralel olan d do¤rusunun denklemi, noktalar kümesidir.
ÖRNEK 46: A (2 , 4) noktas›ndan geçen ve = ( - 3 , 1) vektörüne paralel olan do¤runun denklemini bulal›m.
ÇÖZÜM 46: Do¤ru üzerinde herhangi bir nokta P (x , y) olsun. A (2 , 4) noktas›ndan geçen ve = ( -3 , 1) vektörüne paralel olan do¤runun parametrik denklemi
y = 4 + λ denklemden λ = y - 4 olur. Bunu x = 2 - 3λ denklemde uygularsak x = 2 - 3 (y - 4) olur. Bu denklemi sadelefltirirsek x = 2 - 3y + 12 den x + 3y - 14 = 0 olur.
u = u1 , u2 y x O A(x1 , y1) P(x , y) a p u(u1 , u2) d k
k do¤rusunun do¤rultusu u = u1 , u2 vektörüdür. (fiekil 4.46) da görüldü¤ü gibi, AP = λ u λ∈R ise d// k dır. Do¤runun vektörel parametrik denklemi p = a +λu olur.
d = P x , y ; p = a +λu , λ∈R u u p = a +λu λ∈R dir. x , y = 2 , 4 +λ -3 , 1 λ∈R dir. x = 2 - 3λ
Bu denklem sisteminde, λ de¤erini yok edelim. y = 4 + λ
A (x1, y1) noktas›ndan geçen ve verilen vektörüne paralel olan do¤runun denklemini bulal›m.
ÖZET
* Yönlü do¤ru parças›: Bafllang›ç ve bitim noktas› ile yönü belli olan do¤ru parçalar›na yönlü do¤ru parças› denir. fleklinde gösterilir. Bafllang›ç ve bitim noktalar› aras›ndaki uzakl›¤a yönlü do¤ru parças›n›n uzunlu¤u denir. sembolü ile gösterilir. Yönlü do¤ru parças›n›n üzerinde bulundu¤u do¤ruya tafl›y›c› do¤ru denir.
* Paralel yönlü do¤ru parçalar› Yönlü do¤ru parçalar›n›n tafl›y›c›lar› çak›fl›k veya paralelse, paralel yönlü do¤ru parçalar› denir.
* Efl yönlü do¤ru parçalar›: Do¤rultular›, yönleri, uzunluklar› ayn› olan do¤ru parçalar›na, birbirine efl yönlü do¤ru parçalar› denir.
* Vektö rler: Düzlemdeki yönlü do¤ru parçalar›n›n kümesinde tan›ml› efllik ba¤›nt›s›n›n oluflturdu¤u denklik s›n›flar›n her birine vektör denir. Genel olarak vektörler gibi gösterilir.
* S›f›r vektörü : Bafllang›ç ve bitim noktas› ayn› olan vektöre s›f›r vektörü denir. fleklinde gösterilir.
* Ters vektörler : Do¤rultular› ayn› yönleri ters olan vektörlere, ters (z›t) vektörler denir.
* Bir vektörün normu: Bir vektörün bafllang›ç noktas› ile bitim noktas› aras›ndaki uzakl›¤a vektörün normu (büyüklü¤ü, uzunlu¤u) denir. fleklinde gösterilir.
* Vektörler kümesinde ifllemler
1. Toplama ifllemi: vektörleri verilmifl olsun. vektörüne toplama ifllemi denir. Vektörler kümesi toplama ifllemine göre de¤iflmeli bir gruptur.
2. Ç›karma ifllemi: vektörleri verilmifl olsun. fark›na vektörlerde ç›karma ifllemi denir.
3. Bir reel say› ile ça rpma: vektörü ile k∈R verilsin. fleklindeki iflleme bir vektörü reel say› ile çarpma ifllemi denir. vektörü için;
k > 0 ise ayn› do¤rultuda ve ayn› yöndedir. k < 0 ise ayn› do¤rultuda ve ters yöndedir. k = 0 ise, CD s›f›r vektörüdür. AB AB a , b , u , ϑ, ... 0 = AA , BB, ... AB = AB u ve ϑ u + ϑ u ve ϑ u ve ϑ AB CD = k AB CD
* Ye r vektörü: Analitik düzlemde bulunan ve bafllang›ç noktas› orjinde olan bir vektöre yer (konum) vektörü denir. Uç noktalar› A (x1 , y1) ve B (x2 , y2) ise, yer vektörü (x2 - x1 , y2- y1) dir.
* ‹ki vektörün eflitli¤i : ‹ki vektörün eflit olmas› için bunlar›n birinci birleflenleri ile ikinci birleflenleri birbirine eflit olmal›d›r.
* Bir vektörün uzunlu¤u :
* ‹ki vektörün paralelli¤i : Düzlemde s›f›rdan farkl›
* ‹ki vektörün dikli¤i : Düzlemde s›f›rdan farkl›
* Birim Vektörler: Uzunlu¤u bir birim olan vektöre birim vektör denir.
* Bir vektörü normlama: vektörü, uzunlu¤unun tersi ile çarpr›l›rsa, bu iflleme vektörü normlama denir.
* Temel birim vektörü:
* Vektörlerde lineer ba¤›ml›l›k, lineer ba¤›ms›zl›k: birer vektör, a ve b reel say›lar olmak üzere, eflitli¤i varsa vektörler lineer ba¤›ml›d›r. Paralel vektörler lineer ba¤›ml›d›r.
* Vektörlerde iç çarpma ifllemi: vektörleri için
* ‹ki vektör aras›ndaki aç›: Analitik düzlemde s›f›rdan farkl› vektörler aras›ndaki aç›n›n cosinüs de¤eri,
OP = P =
A= x , y yer vektörünün uzunlu¤u (normu) : OA = A = x2+y2 birimdir. A= x , y yer vektörünün uzunlu¤u (normu) : OA = A = x2+y2 birimdir.
A= x1 , y1 ve B= x2 , y2 x1
x2 = y1
y2 = k dir. Paralel vektörler lineer ba¤›ml› vektörlerdir. vektörleri birbine paralel ise x1
x2 = y1
y2 = k dir. Paralel vektörler lineer ba¤›ml› vektörlerdir.
A= x1 , y1 ve B= x2 , y2 vektörleri birbine dik ise x1
x1 = y1
y2 = -1 veya x1x2+ y1 y2 = 0 d›r. vektörleri birbine dik ise, yx1
1 . yx2 2 = - 1 veya x1 . x2 +y1 . y2 = 0 d›r. A A0 = 1 A . A vektörüdür.
e1 = 1, 0 ve e2 = 0 , 1 birim vektörlerine temel (standart) birim vektörler denir.
e1 = 1, 0 ve e2 = 0 , 1 birim vektörlerine temel (standart) birim vektörler denir.
A ve B aA + bB = 0
A= x1 , y1 ve B= x2 , y2 vektörleri birine paralel ise x1
x2 = y1
y2 = k dir. Paralel vektörler lineer ba¤›ml› vektörlerdir. A . B = x1 . y1 + x2 . y2 reel say›s›na iç çarpma ifllemi denir. A . B ya da <A . B >
fleklinde gösterilir.
A ve B
cos θ = A . B A B
eflitli¤i ile bulunur. x1 . y2 - x2 . y1 = 0 d›r.
ALIfiTIRMALAR
1. Analitik düzlemde, A (1 , -2) ve B (4 , 5) noktalar› veriliyor. vektörünün yer (konum ) vektörünü bulunuz.
2. A (3 5) , B (x , y) ve = (4 , 1) ise, B noktas›n›n koordinatlar›n› bulunuz. 3.
4. 5. 6.
7. = (2k , 3) vektörünün normu (boyu) 5 birim ise, k nin pozitif de¤erini bulunuz. 8. A (1 , - 1) ve B (-2 , 3) noktalar› veriliyor. vektörü ile ayn› yönde olan birim vektörünü bulunuz.
9. vektörleri veriliyor. Bu vektörler aras›ndaki aç›n›n
kaç derece oldu¤unu bulunuz.
10. vektörlerinin birbirine dik olup olmad›¤›n› gösteriniz. 11. A (1 , 2) , B (3 , 4) , C (3 , 2) ve D (4 , k) noktalar› veriliyor. oldu¤una göre, k say›s›n› bulunuz.
12. A (2 , 3) , B (1 , - 2) ve C (3, 1) noktalar› veriliyor. oldu¤una göre, D noktas›n›n koordinatlar›n› bulunuz.
13. 14. 15.
16. = (3 , 4) vektörünü standart taban vektörleri cinsinden yaz›n›z.
17. = (12 , 5) vektörünü (birim vektör) normlay›n›z. Normlad›¤›n›z vektörün boyunu hesap ediniz.
18. = (4 , -3) vektörüne paralel olan birim vektörü bulunuz.
19. A (1 , 1) , B (-2 , 3) , C (x , 2) ve D(1 , 3) noktalar› veriliyor. vektörü, vektörüne dik olmas› için x kaç olmal›d›r?
2 0 . Merkezi M (1 , 2) ve yar›çap uzunlu¤u 6 birim olan, çemberin denklemini yaz›n›z. AB
AB
A = 2 , - 1 , B = -3 , 4 ve 2A + 3B = C ise, C vektörünü bulunuz. A 1 , 5 ve B -3 - 2 ise AB vektörünün uzunlu¤unu bulunuz.
A = 3 , -6 vektörü veriliyor. 2 A +3 B = 0 ise B vektörünün bileflenlerini bulunuz. A = -2 , 4 ise B = 3
2 A vektörünü analitik düzlemde çiziniz. Sonucu aç›klay›n›z. A AB A = 3 , -1 ve B = 2 , 1 A = 4 , 2 ve B = 2 , -4 AB // CD AB = CD
A = 1 , 3 ve B = 2 , 6 vektörleri lineer ba¤›ml› m›d›r?
A = 2 , 4 ve B = k , 3 dür. A . B = 18 oldu¤una göre k nin de¤erini bulunuz. A = 2 birim B = 3 birim ve A + B = 5 birim oldu¤una göre, A.B çarp›m›n›n de¤erini bulunuz. A A A AB = CD AB // CD
21. Merkezi M (3 , 1) olan ve P (- 1 , 4) noktas›ndan geçen çemberin denklemini bulunuz.
22. A (2 , 1) noktas›ndan geçen, = ( 3 , 5) vektörüne parelel olan do¤runun denklemini yaz›n›z.
23. E¤im aç›s›n›n ölçüsü 30° olan ve orijinden 5 birim uzakta bulunan do¤runun denklemini yaz›n›z.
24. Köflelerinin koordinatlar› A (- 4 , 6) , B (- 2, 8) , C(2 , 4) ve D (0, 2) olan, ABCD dörtgeninin bir dikdörtgen oldu¤unu gösteriniz. Bu dikdörtgenin alan›n› bulunuz. 25. Köflelerinin koordinatlar›, A (0, 1) , B (1 , - 2) , C (2 , 1) ve D (1 , 4) olan, ABCD dörtgenin bir eflkenar dörtgen oldu¤unu gösteriniz. Bu eflkanar dörtgenin alan›n› bulunuz.
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ 4 1. 2. A) 11 B)12 C) 13 D) 14 3. A) (-7 , 8 ) B) (5 , -6) C) (-4 , 6) D) ( -2 , 2) 4. A) 0 B) 2 C) 5 D) 7 5. A) (4 , -3 ) B) C) (3 , - 4) D) 6. A ( 1, 2) , B (2, - 3) ve C(2 , 5) noktalar› veriliyor. D noktas›n›n bileflenleri afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (3 , -4 ) B) (1 , -1) C) (-4 , 3) D) (3 , 4)
7.
A) -2 B) -1 C) 3 D) 5
8. = (-3 , 7) ve = (2 , 5) vektörleri aras›ndaki aç›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A) 30 B) 45 C) 60 D) 90
9. = (m+1 , 2) ve = (1 , 4) vektörleri birbirine dik ise, m kaçt›r?
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7
A 3 , 2 , B 2 , 1 noktalar› veriliyor. Buna göre, AB vektörü afla¤›dakilerden hangisidir?
A -3 , 7 ve B 2 , -5 noktalar› verililor. Buna göre, AB vektörünün uzunlu¤u kaç birimdir?
A = 1 , -2 , B = -3 , 4 vektörleri veriliyor.
2A +3B vektörünün bileflenleri afla¤›dakilerden hangisidir?
A = 5 , -4 , B = x , y C = -2 , 3 vektörleri veriliyor. A +B = C ise, x + y nin de¤eri kaçt›r?
4
5 , - 35 35 , - 45
A -1 , 1 ve B 3 , -2 noktalar› veriliyor. AB ile ayn› yönde olan birim vektörü afla¤›dakilerden hangisidir?
AB = CD oldu¤una göre,
A = 5 , - 1 , B = 2, 3 ve C = 1, -7 vektörleri veriliyor.
m A + nB = C oldu¤una göre, m + n nin de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?
A B
A B
A) (1 , 1) B) (5 , 3) C) (-1 , -1) D) ( 4 , 3)
10. = (2 , -1) ve = (m , n + 2) vektörleri lineer ba¤›ml› ise, m ve n aras›nda nas›l bir ba¤›nt› vard›r?
A) m +2n + 4 = 0 B) m- n + 1 = 0 C) 2m + n - 2 = 0 D) 2m + 4n - 1 = 0
11. = (2 , 1) ve = (m+1 , m -2) vektörleri paralel ise m kaçt›r?
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7
12.
A) B) C) D)
13. Afla¤›daki kümelerden hangisi lineer ba¤›ms›zd›r? A)
{
(1 , -3) , (-1 , 3)}
B){
(2 , 4) , (4 , 8)}
C)
{
(3 , 2) , (2 , 3)}
D){
(1 , 2) , (3 , 6)}
14.
A) 1 B) 2 C) D)
15. Denklemi, x - 2y + 3 = 0 olan do¤ruya paralel olan vektör afla¤›dakilerden hangi-sidir?
A) (1 , -2) B) (2 , 1) C) (1 , 3) D) ( -2 , 3)
16. Denklemi, x - 2y - 5 = 0 olan do¤ruya dik olan vektör afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (1 , 2) B) (-2 , 1) C) (1 , -2) D) ( 3 , 2) 17. A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 A B A B
A +B A -B = 0 ise, A ile B vektörleri aras›nda, afla¤›daki ba¤›nt›lardan hangisi vard›r?
A ⊥ B A // B A = B A =B
A = 8 , 4 ve B = 2, n vektörleri lineer ba¤›ml› ise B kaç birimdir?
A
B C
5
fiekilde m B = 90° ve AB = 5 birim ise AB AC +AD iç çarp›m› kaçt›r?
18.
A) 6 B) 9 C) 12 D) 18
19. = (2 ,3) ve = (3 , 4) vektörleri veriliyor. Buna göre, çarp›m› afla¤›dakilerden hangisidir?
A) -12 B) -10 C) - 8 D) -7
20. = (3 ,1) vektörüne paralel olan ve (-3 , 2) noktas›ndan geçen do¤runun denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x + 3y + 6 = 0 B) x - 3y + 9 = 0 C) 3x - y - 3 = 0 D) 2x - 3y + 4 = 0
21. Köflelerinin koordinatlar› ( 1 , 3) , B (2 , 4) ve C( 5, 0) olan ABC üçgenin alan› kaç birim karedir?
A) 3 B) C) 4 D)
22. Merkezi M (3, 1) ve yar›çap›n uzunlu¤u r = 4 birim olan çemberin denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) C)
23. Merkezi M (1, 3) olan ve P (4 , 5) noktas›ndan geçen çemberin vektörel denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A)
24. Köflelerinin koordinatlar› A (0, 6) , B (2 , 0) , C (11 , 3) ve D (9 , 9) olan ABCD dikdörtgenin alan› kaç birim karedir?
A) 40 B) 50 C) 60 D) 70
25. Köflelerinin koordinatlar› A (3, 4) , B (2 , 2) , C (3 , 0) ve D (6 , 2) olan deltoitin alan› kaç birim karedir?
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32
A = 3 birim , B = 6 birimdir. A ve B vektörleri aras›ndaki aç› 60° oldu¤una göre, A . B afla¤›dakilerden hangisidir?
A = 3 birim , B = 6 birimdir. A ve B vektörleri aras›ndaki aç› 60° oldu¤una göre, A . B afla¤›dakilerden hangisidir? A B A + B . A - B çarp›m› A 7 2 9 2 x + 32 + y + 12 = 4 B) x - 32 + y - 12 = 4 x - 32 + y - 12 = 16 D) x + 32 + y + 12 = 16 MP2 = 7 B) MP2 = 11 C) MP2 = 13 D) MP2 = 17