Foucault’nun Panoptikon’u ve Gözün "ktidarı
DUYGU PAYLA!IMINDA DAVRANI! GÖSTERGES" OLAN
3.4 Dilsel "leti Kullanımı .1 Alt Metin
A estratégia básica de resolução do problema de mínimos quadrados é minimizar a soma dos quadrados dos erros entre a resposta do modelo e as observações.
Consideremos “n” dados observados (por exemplo, resistividade aparente) sendo representados pelo seguinte vetor:
d = (d1, d2, ... , dn) (eq.8.5-1) e as respostas do modelo pelo vetor
Seja p o vetor que representa os “m” parâmetros do modelo (por exemplo, resistividade dos blocos).
p = (p1, p2, ... , pm) (eq.8.5-3). Seja 0
j
p uma estimativa inicial do parâmetro pj, (j=1, ... , m) e y0, a resposta do modelo inicial. Se a resposta do modelo, y, é uma função linear dos parâmetros, uma perturbação da resposta do modelo em torno de p0 pode ser representada pela expansão de Taylor de primeira ordem:
∑
= = − ∂ ∂ + = m 1 j 0 j j p p j 0 | (p p ) p 0 y y y (eq.8.5-4) ou em notação matricial, y = y0 + Jδ, (eq.8.5-5)onde J é uma matriz de derivadas parciais de y com relação a cada um dos parâmetros do modelo (pj). Esta matriz de dimensão n x m é denominada de “Jacobiana” e seus elementos são dados por: j i ij p y ∂ ∂ = J (eq.8.5-6).
O vetor δ = p - p0 é a diferença de parâmetros, com os elementos δ
j representando as alterações ou perturbações no parâmetro pj, ou seja:
0 j j
j p p
δ = − j = 1, ..., m (eq.8.5-7).
A escolha das perturbações em p será feita de tal forma a minimizar a soma dos quadrados dos erros entre a resposta do modelo (y) e o dado medido (d), que sempre estará associado com erros observacionais. Portanto, a relação entre estas duas grandezas deve levar em consideração este erro, representado pelo vetor e (expressando a diferença entre a resposta do modelo e o dado observado):
d - y = e (eq.8.5-8). Combinando as eqs.(8.5-5) com (8.5-8) teremos:
d - (y0 + Jδ) = e (eq.8.5-9) ou
O vetor d - y0, que contêm as diferenças entre a resposta do modelo inicial e o dado observado, é chamado de vetor de discrepância (g), ou seja:
g = d - y0 (eq.8.5-11) e, portanto:
e = g - Jδ (eq.8.5-12).
Da eq.(8.5-12), procura-se determinar δ. Comumente, o número de dados coletados excede o número de parâmetros do modelo, ou seja, estamos diante de um problema sobredeterminado. Aplica-se então o método de mínimos quadrados para a solução do mesmo.
Na mais simples aproximação por mínimos quadrados (“Gauss-Newton”), procura-se minimizar o erro quadrático cumulativo S = eTe com relação ao vetor δ. Então, de (8.5-12) obtemos:
S = eTe = (g - Jδ)T(g - Jδ) (eq.8.5-13). A minimização do erro S em relação à δ implica que
0 = ∂ ∂ δ S (eq.8.5-14).
Substituindo (8.5-14) em (8.5-13) e aplicando algumas identidades matriciais, teremos:
0 ) ( T T − T − T T + T = ∂ ∂ g g g J δ Jδ g Jδ J δ δ (eq.8.5-15).
Diferenciando em relação a δ, obtemos as denominadas “equações normais” JTJδ = JTg (eq.8.5-16)
cuja solução para o vetor de perturbações do parâmetro, δ, é dada por δ = (JTJ)-1 JTg (eq.8.5-17)
também conhecida como solução de “Gauss-Newton” ou “solução por mínimos quadrados sem vínculo” (“unconstrained least-squares solution”), que apresenta algumas limitações e propriedades indesejáveis quanto à estabilidade e convergência.
Para contornar estas dificuldades, LEVENBERG (apud LINES & TREITEL, 1984) sugere um método de mínimos quadrados amortecido (“damped least squares”), idéia posteriormente utilizada por MARQUARDT (apud LINES & TREITEL, 1984) no
desenvolvimento de um algoritmo não linear. Esta técnica, denominada de “ridge regression” ou método de Marquardt-Levenberg, tornou-se um procedimento de inversão muito utilizado pela comunidade geofísica. Esta condição restritiva tem por finalidade a suavização do vetor atualização dos parâmetros, δ, visando a estabilidade da solução.
A solução de mínimos quadrados com vínculo de suavidade se dá pela resolução do problema do multiplicador de Lagrange, no qual eTe é minimizado e sujeito a uma restrição dada por:
2 0
Tδ δ
δ = (eq.8.5-18).
Ou seja, a soma dos quadrados dos elementos do vetor atualização dos parâmetros, δ, está limitada por um valor constante ( 2
0
δ ). Desta forma, estima-se δ que minimize a função S (δ,μ) dada por ) ( ) , ( S 2 0 T Te δ δ δ e δ μ = +μ − (eq.8.5-19) onde μ é um multiplicador de Lagrange.
Diferenciando em relação ao vetor δ, obtêm-se uma solução modificada das equações normais apresentadas em (8.5-16):
(JTJ + μI)δ = JTg (eq.8.5-20) cuja solução para δ é dada por
δ = (JTJ + μI)-1 JTg (eq.8.5-21).
Nestas equações, I é uma matriz identidade (m x m) e o multiplicador de Lagrange, μ, é denominado “fator de amortecimento” (“damping factor”), pois este efetivamente “amortece” as variações do vetor de parâmetros (p), limitando a energia no vetor discrepância de parâmetros (δ). A eq.(8.5-21) é conhecida, portanto, como solução de “mínimos quadrados amortecida” (“damped least-squares solution”).
Uma das principais vantagens do método de inversão por mínimos quadrados é a sua aplicação em quase todos os problemas que exijam a construção de um modelo. Geralmente, a solução do “problema direto” (que transforma um conjunto de parâmetros do modelo em um conjunto de dados sintéticos) é simples, procedendo-se posteriormente no sentido contrário, resolvendo o problema inverso.
Achado um método que encontre a resposta do modelo, y, a partir de um conjunto de parâmetros, p, deve-se calcular a matriz Jacobiana de derivadas parciais ∂yi/∂pj. Estas derivadas podem ser resolvidas por diferenciação formal se o modelo for suficientemente simples. Em outros casos, as derivadas parciais podem ser aproximadas por diferenças finitas. Esta última alternativa pode ser computacionalmente dispendiosa. Alternativamente, pode-se recorrer a alguns métodos especiais para determinação das derivadas parciais. Independente destas dificuldades, o modelamento iterativo por mínimos quadrados é bastante versátil e pode ser adotado para uma série de problemas geofísicos inversos.
A classe dos problemas inversos lineares é particularmente simples. Contudo, problemas não lineares (caso dos métodos elétricos) são sempre resolvidos procedendo-se com aproximações que os reduzam localmente a problemas lineares (PARKER, 1977). Podem ser solucionados através de sucessivas aproximações, utilizando um método linear de mínimos quadrados. Esta estratégia padrão adotada na inversão geofísica é denominada de “linearização”.
Para finalizar o desenvolvimento matemático, será introduzido o conceito de “rugosidade”. A magnitude aproximada da rugosidade da variação espacial na resistividade em torno de cada bloco é definida da seguinte forma (SASAKI, 1989):
) δp δp δp 4 δp δp ( p δ S j N j j W j E j j , j=α + − + + j=1,2,...m (eq.8.5-22)
onde os índices E, W, S e N referem-se às quatro vizinhanças imediatas do j-ésimo bloco e αj representa o fator gradiente-amplificador. O termo entre parênteses da equação anterior funciona como uma medida da rugosidade da função contínua. A eq.(8.5-22) pode ser reescrita na seguinte forma matricial:
δp’=Cδp (eq.8.5-23).
A matriz C (m x m), cujos coeficientes são αj, -4αj, ou 0, desempenha o papel de um “filtro de rugosidade” sobre δ. A rugosidade total do modelo pode então ser definida como:
φ2 = (Cδ)T(Cδ) (eq.8.5-24).
Minimizando a rugosidade total φ2, sujeita à restrição que φ1 seja uma constante conhecida, requer a minimização da seguinte função objetiva:
φ = φ2 + λ-1(φ1 - constante) (eq.8.5-25). Então o método dos multiplicadores de Lagrange produz:
(JTJ + μCTC)δ = JTg (eq.8.5-26).
A eq.(8.5-26) é exatamente a eq.(8.5-21) substituindo simplesmente a matriz identidade I pela matriz CTC. Esta é a equação utilizada no método de inversão 2D por mínimos quadrados com vínculo de suavidade, cuja solução será dada por:
δ =(JTJ + μCTC)-1 JTg (eq.8.5-27)
No caso dos métodos elétricos, a inversão tem por meta a determinação da distribuição da resistividade em subsuperfície determinando-se o potencial elétrico a partir de um conjunto de eletrodos de corrente posicionados na superfície do terreno. O objetivo é minimizar a diferença entre os valores de resistividade elétrica aparente medidos e calculados, visando a determinação do valor da resistividade de cada bloco retangular do modelo 2D. Uma síntese da aproximação iterativa por mínimos quadrados na inversão geofísica será descrita a seguir.
As mudanças de parâmetros, δ, a partir da resposta do modelo inicial são determinadas pela eq.(8.5-27). Obtém-se então a atualização do conjunto dos parâmetros que são usados para estimar uma nova resposta do modelo. Em cada etapa, a soma do quadrado do erro entre a resposta do modelo e as medidas (dados observados) é monitorada. A busca iterativa da estimativa dos parâmetros termina quando o erro quadrático ou a variação relativa deste torna-se menor do que um valor pré-estabelecido. Satisfeito este critério de convergência, pode-se dizer que os parâmetros geofísicos estimados produziram um modelo em conformidade com os dados observados, dentro das especificações estabelecidas.
Contudo, a não unicidade da solução nos permite afirmar que uma boa concordância entre o modelo e as observações não necessariamente garante que a solução correta tenha sido encontrada.