2. SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ
2.4 Dikgen Ayrıştırma Yöntemi
Bu çalışmada kullanılan düğüm noktası bazlı Green Gauss bir düğüm noktasında lineer bir fonksiyonun değerlerini ikinci dereceden mekansal bir doğruluğu koruyarak hesaplamaktadır. Bu şemada 𝜙̅𝑓 Denklem 2.48’deki gibi açılmaktadır. Burada 𝑁𝑓 yüzeydeki düğüm noktası sayısını temsil etmektedir.
𝜙̅𝑓 = 1
𝑁𝑓∑ 𝜙̅𝑛
𝑁𝑓
𝑛
(2.48)
2.3.4 İkinci derece Upwind yöntemi
Mekansal bir ayrıklaştırma metodu olan ikinci derece Upwind yöntemi ile hücre yüzeylerindeki skalerler çok boyutlu bir doğrusal yeniden yapılandırmaya uğratılarak ikinci dereceden doğruluk elde edilmektedir. Bu yaklaşımda hücre merkezli bir çözümün Taylor serisi açılımı yapılarak yüksek doğruluk elde edilmektedir [70]. İkinci dereceden Upwind yöntemi ile ayrıklaştırma Denklem 2.49’daki gibi yapılmaktadır. Denklemde 𝜙 ve ∇𝜙 hücre merkezli bir skaler ve onun gradyanını ifade etmektedir. 𝑟 yer değiştirme vektörüdür.
𝜙𝑓 = 𝜙 + ∇𝜙 ∙ 𝑟 (2.49)
2.4 Dikgen Ayrıştırma Yöntemi
Düşük mertebeli modelleme akışkanlar mekaniği uygulamalarında sıklıkla kullanılan bir yaklaşımdır. Karmaşık sistemler daha düşük mertebeli sistemlere indirgenerek çözüme daha hızlı ulaşılmakta, veri topluluğuna karşılık gelen hafıza yükü hafiflemektedir [47]. Dikgen Ayrıştırma Yöntemi veri setlerinin analizlerinde ve veri setlerinin içindeki baskın özelliklerin tespitinde kullanılan güçlü bir düşük mertebeli
2.4.1 Dikgen Ayrıştıma Yöntemi teorisi
Proje kapsamında kavite içindeki yapıları daha iyi anlamak, akış karakteristiklerini daha detaylı incelemek adına kavite içindeki akış alanına ait x-yönündeki hız verilerine DAY uygulanmıştır. Kavite içindeki eşit aralıklı 𝑥 = (𝑥, 𝑦) noktalarına ait x- yönündeki hız verileri 𝑀 sayıdaki gözlem anı için 𝑈𝑖(𝑥 ) matrisinde toplanmıştır. 𝑀 sayıdaki gözlem anı 𝑀 sayıdaki zaman adımını temsil etmektedir. Akış alanının 𝑀 sayıdaki anlık görüntüsü 𝑈𝑖(𝑥 ) matrisinde toplanmıştır ve Denklem 2.50’de gösterilmiştir. Bir diğer anlamda, akış alanında gözlemlenen fiziksel davranışın sayısal ifadesi 𝑈𝑖(𝑥 ) matrisinde taşınmaktadır.
𝑈𝑖(𝑥 ) = 𝑈1(𝑥, 𝑦), 𝑈2(𝑥, 𝑦), … , 𝑈𝑀(𝑥, 𝑦) (2.50) Veri topluluğu 𝑈𝑖(𝑥 ) matrisinde toplandıktan sonra, bu veri topluluğunun ortalaması alınarak orijinal veri topluluğundan çıkarılmıştır. Bu işlem yapılarak ölçekleme yapma ihtiyacının önüne geçmek amaçlanmıştır [47],[71]. Bu işlem Denklem 2.51’de gösterilmiştir. Elde edilen 𝐾𝑖(𝑥 ) matrisi incelenecek esas veri topluluğunu içermektedir. 𝐾𝑖(𝑥 ) = 𝑈𝑖(𝑥 ) − 1 𝑀∑ 𝑈𝑖(𝑥 ) 𝑀 𝑖=1 𝑖 = 1,2, . . , 𝑀 (2.51) DAY ile serbestlik derecesi düşürülen veri topluluğunun en iyi şekilde temsil edilebilmesi istenmektedir. Veri topluluğunu en iyi şekilde ifade edebilmek adına temel fonksiyonlar elde etmek hedeflenmektedir. Temel fonksiyonlar kipleri ve bağıl kip genliklerini içerir ve Denklem 2.52’deki gibi tanımlanır. ∅(𝑥 ) temel fonksiyonları ifade ederken, 𝛼𝑖𝑘 kip genliklerini, 𝐾𝑖(𝑥 ) ise M tane anlık görüntü sayısından alınan verilerden ortalama değerin çıkarıldığı veri topluluğunu temsil etmektedir [47], [71], [72].
∅(𝑥 ) = ∑ 𝛼𝑖𝑘 𝐾𝑖(𝑥 )
𝑀
𝑖=1
𝑘 = 1,2, … , 𝑆(𝑘𝑖𝑝 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤) (2.52) Temel fonksiyonların veri topluluğunu düzgün bir şekilde temsil edebilmesi için uygun kip genliği değerlerinin bulunması gerekmektedir. Temel fonksiyona ait değerlerin mümkün olan en yüksek mertebeye çıkartılması gerekmektedir [73]. Bu
amaçla 𝐿2 iç çarpım ve norm alma işlemleri kısıt olarak kullanılmıştır. Kısıtlar
Denklem 2.53 ve Denklem 2.54’te gösterilmiştir [72]. İç çarpım işlemi (. , . ) ile gösterilirken, ‖. ‖ ifadesi normu temsil etmektedir. İncelenen veri topluluğunun etkinlik alanı ise sembolü ile gösterilmiştir.
𝐹 = 1 𝑀∑|𝐾𝑖, ∅| 𝑀 𝑖=1 (2.53) ‖∅‖2 = (∅, ∅) = ∫|∅|2𝑑𝐴 = 1 (2.54)
Euler-Lagrange integral eşitliğinin çözümü ile temel fonksiyonlar elde edilebilmektedir [47], [72], [74], [75]. Euler-Lagrange integral eşitliği Denklem 2.55’te gösterilmiştir. Öz değerler sembolü ile, öz fonksiyonlar ∅(𝑥 ) ifadesi ile gösterilmektedir. 𝐶(𝑥 , 𝑥 ′) korelasyon tensörüdür. Rastgele iki farklı noktadaki
değişkenlerin birbirleri ile olan bağıntıları, korelasyon tensörü ile noktalar arası uzaklığın mekansal ya da zamansal ifadesi şeklinde tutulmaktadır [75].
∫ 𝐶(𝑥 , 𝑥 ′)∅(𝑥 ′)𝑑𝑥 ′ =∅(𝑥 ) (2.55)
Euler-Lagrange integral eşitliğinin çözümünde hesaplamalarda önemli ölçüde sadeleştirmelere imkan verdiği için Sirovich [76] tarafından önerilen Anlık Görüntü Sayıları Metodu tercih edilmiştir. Bu method yardımı ile birkaç anlık görüntü analiz edilerek akış karakteristiklerini ifade eden temel fonksiyonlar (kipler, modlar) elde edilebilmektedir. Temel fonksiyonlar bir anlamda anlık görüntülerin doğrusal kombinasyonlarını ifade etmektedir. Temel fonksiyon ifadesi (∅(𝑥 )) Euler-Lagrange integral eşitliğinde yerine koyulduğunda 𝑀𝑥𝑀 boyutlarındaki 𝐶 kovaryans matrisinin cebirsel öz değer problemi Denklem 2.56 ve Denklem 2.57’de olduğu gibi elde edilmektedir [74], [76]. 𝐶𝛼𝑛 = 𝑛𝛼𝑛 𝑛 = 1,2, … , 𝑀 (2.56) (𝐶)𝑖𝑗 = 1 𝑀∫ 𝐾𝑖(𝑥 )𝐾𝑗(𝑥 )𝑑𝑥 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑀 (2.57)
Negatif olmayan kovaryans matrisi simetriktir. Kovaryans matris verilerine Tekil Değer Ayrıklaştırma yöntemi Denklem 2.58’deki gibi uygulanarak öz değerler ve öz fonksiyonlar elde edilebilmektedir [49]. R, öz fonksiyonları (kip) içeren dikgen bir matristir. Tekil Değer Ayrıştırma Metodu uygulandıktan sonra dikgen P matrisi elde edilir, fakat bu matrisin sonuca bir etkisi bulunmamaktadır. matrisi ise köşegenlerinde öz değerleri taşıyan negatif olmayan bir matristir. Öz değerler büyükten küçüğe doğru sıralanırsa, 1 > 2 > ⋯ >𝑀 ≥ 0 ifadesi elde edilir.
𝐶 = 𝑅𝑃𝑇 (2.58)
Özdeğerler (kipler), temel fonksiyonların temsil ettiği veri topluluğuna ait baskın özelliklerin bir ölçüsüdür. Bu çalışmada veri topluluğu olarak ortalama değerden sapan veriler alınmıştır. Özdeğerlerin enerji içeriği, o öz değerin akış alanındaki baskın karakteristikleri yansıtabilme becerisini ifade etmektedir. Sistemi ifade etmede kullanılan kiplerin toplam enerji içeriği ne kadar fazla ise o sistemin ifade edilebilme oranı da o kadar yükselmektedir [50].
Sistemi ifade etmede kullanılan kiplerin toplam enerji içeriği yeterli bulunduktan sonra, kullanılan kipler ve bağıl kip genlikleri yeniden yapılandırılarak esas veri topluluğunun düşük mertebeli bir ifadesi olan alt bir uzay oluşturululabilmektedir [56]. Denklem 2.59’daki 𝑈 esas veri topluluğunu, 𝑈̅ esas veri topluluğunun ortalama değerini, ∅𝑘 elde edilen kipleri, 𝛼𝑘 bağıl kip genliklerini, 𝑆 ise yeterli enerji düzeyini sağlayan kip sayısını temsil etmektedir.
𝑈 = 𝑈̅ + ∑ 𝛼𝑘∅𝑘
𝑆
𝑘=1
(2.59)
Bu proje kapsamında serbest akış hızı 1.5 Mach olan ve L/D değeri 5.07’ye karşılık gelen iki boyutlu süpersonik kavite akışı incelenmiştir. Kavitenin içinden alınan x- yönündeki hız verilerine DAY uygulamak adına oluşturulan Matlab kodu EK-1’de verilmiştir.
2.4.2. Dikgen Ayrıştırma Yöntemi uygulaması
Bu tez çalışmasında 1.5 Mach sayısına sahip ve L/D değeri 5.07 olan süpersonik kavite akışına DAY uygulanmıştır. Bu amaçla kavite içindeki akış periyodik hale geldikten
sonra bir dizi anlık görüntü sayısı için kavite içinde eşit aralıklı noktalardan x- yönündeki hız verisi alınıp, bu hız verilerine DAY uygulanmıştır.
İki boyutlu kavite akışı düzene oturduktan sonra, 8. İle 14. Rossiter periyoduna denk gelen aralık incelenmek için seçilmiştir. 6 periyoda denk gelen bu aralıkta 6000 anlık görüntü kullanılmıştır. Boyutları 0.12065 m x 0.02381 m olan kavite içindeki akış alanı eşit aralıklı parçalara bölünmüştür. 255𝑥51 ’lik bir matris oluşturulmuş ve oluşturulan 13,005 noktadaki x-yönü hız bileşenine DAY uygulanmıştır.