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Novamente, como o lado esquerdo das inequa¸c˜oes (6.26) ´e inteiro, logo pode-se reescrever tais inequa¸c˜oes da seguinte forma:

X ℓ∈δ_Gℓ(N1,N2) wℓ+ X ℓ∈δ_Gℓ(N1,N3) wℓ+ X ℓ∈δ_Gℓ(N2,N3) wℓ≥     X tp∈δP(N1,N2) fp mp + X tp∈δP(N1,N3) fp mp + X tp∈δP(N2,N3) fp mp     . (6.27)

Na verdade, a partir das inequa¸c˜oes (6.9), pode-se obter uma fam´ılia de inequa- ¸c˜oes de k-parti¸c˜ao, bastando se fixar k > 2, isto ´e, utilizar uma parti¸c˜ao do conjunto de n´os do grafo Gℓ em k subconjuntos disjuntos.

6.2

Avalia¸c˜ao Preliminar dos Cortes

Nesta se¸c˜ao, apresenta-se uma avalia¸c˜ao preliminar da utiliza¸c˜ao dos planos-de- corte dados pelas inequa¸c˜oes da se¸c˜ao anterior na resolu¸c˜ao do TGP. Para tanto, implementou-se “parcialmente” um m´etodo de planos-de-corte em C++ utilizando a biblioteca de fun¸c˜oes do COIN-CBC [78]. Nesta implementa¸c˜ao n˜ao se procurou resolver por completo o TGP e ela sequer possuia uma heur´ıstica para gera¸c˜ao de limites superiores.

A principal motiva¸c˜ao de tal esfor¸co era obter um conjunto de resultados pre- liminares capazes de ajudar na condu¸c˜ao e bom andamento deste trabalho. Sendo assim, essa implementa¸c˜ao limita-se a gerar (e avaliar) uma s´erie de planos-de-corte a partir de uma vers˜ao inicial simplificada do problema2_{. Esse problema inicial s´o}

possuia as restri¸c˜oes de conserva¸c˜ao de containers (ou de continuidade dos lightpaths – restri¸c˜oes (3.10c)), j´a as restri¸c˜oes de integralidade das vari´aveis de decis˜ao foram relaxadas e todas as vari´aveis de fluxo foram removidas.

Um vez resolvido o problema inicial, a cada itera¸c˜ao do algoritmo implementado, uma s´erie de planos-de-corte era gerada e acrescentada `a formula¸c˜ao que, por sua vez, era resolvida novamente. Nos testes apresentados abaixo utilizaram-se as inequa¸c˜oes de corte de capacidade e de 3-parti¸c˜ao descritas anteriormente, juntamente com as inequa¸c˜oes de grau (adicionadas `a formula¸c˜ao apenas durante a primeira itera¸c˜ao). Para resolu¸c˜ao dos problemas de programa¸c˜ao linear gerados durante esse processo utilizou-se o COIN-CLP [78].

Durante a obten¸c˜ao dos planos-de-corte torna-se necess´ario a resolu¸c˜ao dos pro- blemas de separa¸c˜ao associados a cada conjunto de inequa¸c˜oes, isto ´e, encontrar inequa¸c˜oes v´alidas que sejam violadas pela solu¸c˜ao atual. Contudo, como tais pro- blemas s˜ao N P-dif´ıceis3_{, na implementa¸c˜ao testada optou-se pela utiliza¸c˜ao de uma}

heur´ıstica simples e extremamente eficiente.

2_{A ado¸c˜ao de uma vers˜ao inicial simplificada (com um n´umero menor de restri¸c˜oes) ´e um artif´ıcio}

comum na literatura da ´area, sendo utilizado, via de regra, quando se encontram dificuldades na

obten¸c˜ao de uma solu¸c˜ao para relaxa¸c˜ao linear do pr´oprio problema original.

3_{O problema de separa¸c˜ao das inequa¸c˜oes de corte de capacidade se reduz ao problema do corte}

6.2. AVALIA ¸C ˜AO PRELIMINAR DOS CORTES 145 Tabela 6.1: Resultado dos Cortes nas Redes em Anel (valores m´edios)

|V | |N | |A| |P | Var Restr Cortes Tempo Gap (seg) (%) 4 20 32 40 32 16 40 0,02 0,00 80 32 16 40 0,04 0,00 120 32 16 40 0,06 3,91 5 25 40 40 40 20 58 0,03 0,00 80 40 20 58 0,05 0,00 120 40 20 67 0,09 3,43 6 30 48 40 48 24 84 0,05 0,00 80 48 24 84 0,07 0,00 120 48 24 88 0,12 0,43 9 45 72 40 72 36 178 0,10 0,22 80 72 36 178 0,16 0,00 120 72 36 189 0,27 0,84 10 50 80 40 80 40 220 0,13 0,00 80 80 40 220 0,19 0,00 120 80 40 220 0,27 0,52 16 80 128 40 128 64 541 0,49 3,76 80 128 64 544 0,65 0,00 120 128 64 544 0,81 2,79

A sele¸c˜ao dos subconjuntos para os quais a validade das inequa¸c˜oes era verificada foi feita randomicamente. No caso das inequa¸c˜oes de corte de capacidade, os n´os de add-drop da rede foram repartidos aleatoriamente em quantidades iguais entre os dois subconjuntos (N1 e N2). J´a nas inequa¸c˜oes de 3-parti¸c˜ao, o processo de distribui¸c˜ao

aleat´oria dos n´os de add-drop entre os 3 subconjuntos aconteceu livremente desde que se garantisse que nenhum subconjunto ficasse vazio. De modo a aumentar a probabilidade de se encontrar algumas inequa¸c˜oes v´alidas violadas pela solu¸c˜ao atual, o processo de gera¸c˜ao randˆomica de subconjuntos foi repetido v´arias vezes a cada itera¸c˜ao (n2

e/2 tentativas por itera¸c˜ao).

A implementa¸c˜ao descrita acima foi testada nos mesmos problemas apresenta- dos na se¸c˜ao 5.6, utilizando-se da mesma fun¸c˜ao de custo. Al´em disso, o n´umero m´aximo de itera¸c˜oes foi limitado a 100 e se estabeleceu o gap de dualidade m´ı- nimo em 0,5%. Caso nenhuma nova inequa¸c˜ao v´alida violada fosse encontrada em determinada itera¸c˜ao, o algoritmo tamb´em era interrompido.

Para o conjunto I (90 instˆancias do TGP para redes em anel), os resultados obtidos pela implementa¸c˜ao parcial do m´etodo de planos-de-corte (em um proces- sador Pentium 4 de 1,8 GHz com 512 MB RAM) s˜ao mostrados na Tabela 6.1. A primeira coluna desta tabela apresenta o n´umero de n´os na rede original; enquanto que, na segunda e terceira colunas s˜ao apresentados, respectivamente, o n´umero de n´os e o n´umero de arcos da representa¸c˜ao estendida associada a cada uma das redes. A quarta coluna exibe o n´umero de produtos de cada subconjunto. O n´umero de vari´aveis e o n´umero de restri¸c˜oes da formula¸c˜ao inicial simplificada s˜ao mostrados na quinta e sexta colunas. O n´umero m´edio de cortes gerados e o tempo m´edio gasto pelo algoritmo para cada subconjunto s˜ao apresentados nas duas colunas seguintes,

Tabela 6.2: Resultado dos Cortes nas Redes Irregulares (valores m´edios) |V | |E| |N | |A| |P | Var Restr Cortes Tempo Gap

(seg) (%) 6 8 38 76 40 76 32 84 0,06 0,00 80 76 32 84 0,10 0,00 120 76 32 84 0,16 0,15 10 24 58 108 40 108 48 220 0,16 0,00 80 108 48 220 0,24 0,00 120 108 48 225 0,42 0,43 15 21 99 230 80 230 84 478 0,92 0,07 120 230 84 478 1,12 0,26 20 48 116 216 80 216 96 840 1,59 0,32 120 216 96 840 1,89 0,14

seguidos pelo gap de dualidade m´edio calculado utilizando-se como limite superior a solu¸c˜ao ´otima obtida pelo CPLEX (durante os testes apresentados na se¸c˜ao 5.6) ou o melhor valor de limite superior obtido pela heur´ıstica lagrangeana (para os casos em que o CPLEX n˜ao foi capaz de encontrar uma solu¸c˜ao ´otima).

Como pode ser facilmente constatado, apesar da sele¸c˜ao randˆomica de cortes, a implementa¸c˜ao exibe um desempenho excepcional, sendo seus resultados muito pro- missores. Entretanto, o mesmo fenˆomeno observado durante os testes apresentados na se¸c˜ao 5.6 parece ocorrer novamente, isto ´e, dificuldade em solucionar algumas ins- tˆancias pequenas e sobrecarregadas, bem com algumas instˆancias grandes com pouco volume de tr´afego. Tal situa¸c˜ao parece estar relacionada ao conjunto de inequa¸c˜oes v´alidas utilizadas e a “real” existˆencia de um gap de dualidade.

O conjunto II cont´em 50 instˆancias do TGP para redes irregulares e, na Ta- bela 6.2, apresentam-se os resultados para esse conjunto. Ela possui as mesmas colunas da Tabela 6.1, exceto pela inser¸c˜ao da segunda coluna em que o n´umero de arcos da topologia irregular original ´e exibido. Novamente, os resultados obtidos s˜ao muito satisfat´orios.

J´a a Tabela 6.3 apresenta os resultados detalhados para cada uma dessas ins- tˆancias do conjunto III (10 instˆancias baseadas na rede Pan-Europ´eia da Fig. 5.4), al´em dos valores m´edios para cada subconjunto.

Finalmente, a Tabela 6.4 exibe os resultados obtidos pela aplica¸c˜ao do algoritmo `a rede em anel com 4 n´os descrita na se¸c˜ao 5.7. Para tanto foi utilizada a mesma matriz de tr´afego (Tabela 5.12); variando-se a taxa de grooming, isto ´e, a capacidade m´axima de transporte de um comprimento de onda (ou container virtual ) entre os valores 3, 12 e 48. Os resultados obtidos s˜ao bem semelhantes aos apresentados nas tabelas anteriores. Deve-se destacar que ao se utilizar uma taxa de grooming igual a 12, o algoritmo foi capaz de obter um limite inferior igual ao valor fornecido para a solu¸c˜ao ´otima do problema. Contudo, na medida em que a capacidade de transporte ´e reduzida (ou que o volume do tr´afego aumenta), o mesmo n˜ao ocorreu (por exemplo, para o caso em que a taxa de grooming ´e igual a 3).

Em primeiro lugar, deve-se lembrar que o valor do limite superior utilizado neste caso representa a melhor solu¸c˜ao vi´avel obtida (n˜ao sendo necessariamente a solu¸c˜ao ´otima do problema). Este fato talvez fosse o bastante para justificar o elevado gap

6.3. M ´ETODO DE PLANOS-DE-CORTE 147