Para algumas pessoas que viveram e estudaram em uma época onde o ensino vigente era o ensino tradicional, pautado na memorização de conceitos, demonstrações e que, nos problemas de aritmética, efetuar cálculos sem o uso de calculadora era de extrema importância. Vale ressaltar que é comum ouvir entre essas pessoas que, a verificação de operações simples se dava frequentemente pela prova do “noves fora”. Ao questionar algumas dessas pessoas sobre como e por que a prova dos noves funciona, elas simplesmente afirmaram que não sabiam, e outras ainda acrescentaram dizendo que, existem alguns momentos que a prova dos noves pode falhar. Atualmente nas escolas de ensino fundamental, pouco se fala na prova dos noves, para a verificação dos cálculos é utilizado a prova real, onde o aluno faz uso da operação inversa, ou seja, para a verificação da adição faz-se uso da subtração ou vice-versa, na multiplicação faz-se uso da divisão ou vice-versa.
No tempo em que vivemos, chamado de era digital, uma discussão sobre a prova dos noves pode parecer inútil e sem sentido. De fato, as futuras gerações dificilmente irão utilizá-las no seu dia a dia. No entanto, percebemos que o assunto “prova dos noves” pode servir para motivar o estudo de sistemas de numeração, além de contribuir na importância que os professores devem dar em ensinar operações aritméticas sem o uso de máquinas.
Dessa forma, tentaremos aqui mostrar por que a prova dos noves funciona; por que foi escolhido a prova dos noves e não dos setes, dos onzes ou de outro número qualquer e por que, às vezes, ela falha.
4.3.1 Definindo a Prova dos Noves
Trata-se de uma forma de verificar resultados nas operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números naturais, retirando da soma dos algarismos destes números o maior múltiplo de nove ou, o que é equivalente, achar o resto da divisão do número por 9. Utiliza-se para isso o artifício de somar os algarismos do número e, ao completar nove retira este valor do cálculo. Por exemplo: 438→4+3+8=15→1+5=6 (ou 15-9=6 e 6 é o resto da divisão de 438 por 9).
A relação entre a soma dos algarismos de um número e o resto de sua divisão por 9 pode ser justificada da seguinte maneira:
438=4 . 102
+3 .10+8=4. 102
+3 . 10+8+4−4+3−3=4.(102
−1)+3(10−1)+8+4+3 4 .99+3. 9+15
Esse argumento é válido para um número n qualquer, uma vez que, para todo i≥1, 10i−1 é múltiplo de 9. Portanto, ao somarmos os algarismos de um número n, jogando os “noves fora” estamos de fato determinando o resto da divisão de n por 9.
4.3.2 Como funciona
No caso da adição a prova dos noves acontece da seguinte maneira: (i) somam-se os algarismos que formam as parcelas aplicando a prova dos noves, em seguida (ii) somam-se os algarismos que formam o resultado da operação também aplicando a prova dos noves, caso os dois valores encontrados sejam iguais, então a operação efetuada está correta segundo a prova dos noves. Por exemplo:
435 +32 467 (i) 4+3+5+3+2=17, noves fora, 8.
(ii) 4+6+7=17, noves fora, 8.
Portanto, a operação está correta, segundo a prova dos noves.
No caso da subtração, efetua-se (i) a soma dos algarismos que formam o minuendo aplicando a prova dos noves, em seguida (ii) somam-se os algarismos que formam o subtraendo e o resultado da operação também aplicando a prova dos noves, caso os dois
valores encontrados sejam iguais, então a operação efetuada está correta segundo a prova dos noves. Por exemplo:
745 −23
722 (i) 7+4+5=16, noves fora, 7.
(ii) 2+3+7+2+2=16, noves fora, 7.
Portanto, a operação está correta, segundo a prova dos noves.
No caso da multiplicação, (i) somam-se os algarismos que formam o primeiro fator, aplicando a prova dos noves, em seguida, (ii) somam-se os algarismos do segundo fator, também aplicando a prova dos noves. (iii) Multiplica-se os dois valores encontrados aplicando a prova dos noves, em seguida (iv) somam-se os algarismos que formam o resultado da operação efetuada e compara com o último valor encontrado, caso os números sejam iguais, a multiplicação efetuada está correta segundo a prova dos noves.
745
x 3
2235 (i) 7+4+5=16, noves fora, 7.
(ii) 3.
(iii) 7x3=21, noves fora, 3. (iv) 2+2+3+5=12, noves fora, 3.
Portanto, a operação está correta, segundo a prova dos noves.
No caso da divisão, devemos considerar a divisão exata e a divisão não-exata. Na divisão exata (i) aplica-se a prova dos noves no divisor e no quociente, em seguida, (ii) multiplica-se os dois resultados encontrados, aplicando também a prova dos noves. (iii) Tiram-se os noves do dividendo. Comparam-se os resultados, sendo iguais, a operação efetuada está correta, segundo a prova dos noves. Na divisão não exata, (i) tiram-se os noves do divisor e do quociente, (ii) multiplicando os dois resultados, em seguida, tiram-se os noves deste resultado junto ao resto da divisão. (iii) Tiram-se os noves do dividendo. Caso os dois últimos resultados sejam iguais, a operação efetuada está correta. Mostremos um exemplo de cada caso:
1º CASO (Divisão Exata): 6288 : 12 = 524 (i) 12, noves fora, 3; 524, noves fora, 2. (ii) 3 x 2 = 6.
(iii) 6288, noves fora, 6.
Como (ii) = (iii), portanto, a operação está correta, segundo a prova dos noves.
2º CASO (Divisão não exata): 7145 : 15 = 476, com resto igual a 5. (i) 15, noves fora, 6; 476, noves fora, 8.
(ii) 6 x 8 = 48, noves fora, 3. 5+3=8. (iii) 7145, noves fora, 8.
Como (ii) = (iii), portanto, a operação está correta, segundo a prova dos noves.
4.3.3 Por que funciona?
Justifiquemos a prova em cada uma das operações. Sejam dados dois números n1 e
n2 que, divididos por 9, deixam restos r1 e r2, respectivamente. Nessas condições, podemos
escrever: n1=9q1+r1 e n2=9q2+r2. Segue-se, portanto, que:
ADIÇÃO
n1 + n2 = 9q1+r1+ 9q2+r2 = 9(q1+q2) + r1+r2
A última igualdade nos permite concluir que n1 + n2 e r1+r2, quando divididos por 9, deixam o
mesmo resto. O princípio de funcionamento da prova dos noves é a substituição da operação n1 + n2 por r1 + r2, e a verificação se, quando divididos por 9, eles deixam o mesmo resto. Se
isso não ocorrer, uma das duas (ou ambas as) operações estão erradas. Dada a simplicidade da determinação de r1 e r2, e da soma de r1+r2 (afinal os dois números são menores do que 9), é
muito mais provável que o erro esteja na operação original.
SUBTRAÇÃO
n1 - n2 = 9q1+r1 - 9q2 - r2 = 9(q1-q2) + (r1-r2)
A última igualdade nos permite concluir que n1 - n2 e r1-r2 , quando divididos por 9, deixam o
n1 - n2 por r1 – r2, e a verificação se, quando divididos por 9, eles deixam o mesmo resto. Se isso
não ocorrer, uma das duas (ou ambas as) operações estão erradas. Dada a simplicidade da determinação de r1 e r2, e da diferença de r1-r2 (afinal os dois números são menores do que 9),
é muito mais provável que o erro esteja na operação original.
MULTIPLICAÇÃO
n1 . n2 = (9q1+r1).(9q2 + r2) = 81q1q2 + 9q1r2 + 9q2 r1+r1r2 = 9Q + r1r2
A última igualdade nos permite concluir que n1 . n2 e r1 . r2 , quando divididos por 9, deixam o
mesmo resto. O princípio de funcionamento da prova dos noves é a substituição da operação n1 . n2 por r1 . r2, e a verificação se, quando divididos por 9, eles deixam o mesmo resto. Se isso
não ocorrer, uma das duas (ou ambas as) operações estão erradas. Dada a simplicidade da determinação de r1 e r2, e do produto de r1.r2 (afinal os dois números são menores do que 9), é
muito mais provável que o erro esteja na operação original.
DIVISÃO
Considerando n1, n2, n3 e n4 que, divididos por 9, deixam restos r1, r2, r3 e r4, respectivamente.
Nessas condições, podemos escrever: n1=9q1+r1; n2=9q2+r2; n3=9q3+r3 e n4=9q4+r4. Segue-se,
portanto, que:
n1=n2 . n3 + n4, onde 0≤n4<n2
temos 9q1+r1 = (9q2+r2).(9q3+r3) + (9q4+r4) daí 9q1+r1 = 9(9q2q3+q2r3+q3r2+q4) + r2r3 + r4
4.3.4 Por que a prova dos noves?
Usamos a prova dos noves porque a base do nosso sistema de numeração é 10 e para todo i≥1, 10i dividido por 9 deixa resta 1. Dessa forma, não há nenhuma restrição teórica em utilizarmos, por exemplo, uma prova dos quinze. A dificuldade é essencialmente de ordem prática, pois estamos efetuando as operações no sistema decimal. Caso fizéssemos a operação utilizando o sistema de base 15, a prova dos 15 seria válida pelos mesmos motivos já mostrados na prova dos noves.
4.3.5 Por que, às vezes, ela falha?
Inicialmente vamos perceber que, se uma conta estiver certa e a prova dos noves for executada corretamente, ela irá sempre confirmar a exatidão da resposta. A possibilidade de falha ocorre quando a conta está errada e a prova não é capaz de detectar o erro. Da discussão feita acima, segue-se facilmente que isso ocorrerá se e somente se o resultado obtido e o resultado correto diferem por um número múltiplo inteiro de nove, ou seja, se houver alternância de posição dos algarismos que formam o número já que a ordem das parcelas não altera a soma. De fato, se a resposta dada para a multiplicação 234 x 135 fosse 31950, o nosso erro não seria detectado pela prova dos noves.