Derste anlatılmayacak

13. Prefabrik olarak üretilecek bir kirişin kesiti solda verilmiştir. Malzeme C30//37-B420C dir. Dengeli donatı alanını, oranını ve dengeli kırılmaya neden olan M_bmomenti bulunuz. Montaj donatısı verilmemiştir, hesaplarda dikkate alınmayacaktır.

ÇÖZÜM:

γ_mc=1.4, γ_ms=1.15

f_cd=30/1.4=21.43 N/mm², f_yd=420/1.15=365.22 N/mm² ε_cu=0.003, ε_s=ε_sd=0.001826 (dengeli kırılma koşulu) k₁=0.82, k₃=0.85

− = Basınç bloğu derinliği orta tablaya sarkmaktadır. Hesabı basitleştirmek için,

basınç alanını ağırlık merkezini bildiğimiz Acc1ve Acc2dikdörtgen alana böldük.

Bu alanların G1ve G2ağırlık merkezlerine etkiyen Fc1ve Fc2beton basınç kuvvetlerini ve bu kuvvetlerin moment kollarını hesaplamak basitleşmektedir.

100150 mm10050

Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2019, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 144

ÖRNEK: kesit Derste anlatılmayacak

14. Ankara’da üretilecek bir kirişin kesiti solda verilmiştir.

Malzeme C25/30-B420C dir. Dengeli donatı oranını ve dengeli kırılmaya neden olan momenti bulunuz. Montaj donatısı verilmemiştir, hesaplarda dikkate alınmayacaktır.

ÇÖZÜM:

γ_mc=1.5, γ_ms=1.15

f_cd=25/1.5=16.67 N/mm², f_yd=420/1.15=365.22 N/mm² ε_cu=0.003, ε_s=ε_sd=0.001826 (dengeli kırılma koşulu) k₁=0.85, k₃=0.85

Hesabı basitleştirmek için, basınç alanını ağırlık merkezini bildiğimiz bir dikdörtgen Acc1ve iki üçgen Acc2alana böldük. Bu alanların G1ve G2ağırlık merkezlerine etkiyen Fc1ve 2 Fc2beton basınç kuvvetlerini ve bu kuvvetlerin moment kollarını hesaplamak basitleşmektedir.

50450 mm

100 250 mm 100

Cb=279.6 mm

Şekil değiştirme εs=0.001826

450-cb

εcu=0.003

Asb=?

TE iTE

a=237.7

a=237.7

G1

G2

G2

Acc1

Acc2

Acc2

İç kuvvetler

0.85fcd=0.85^.16.67=14.17 N/mm²

Fc1=842052 N

Fs=Asb.365.22

Z2=450-237.7. 2/3=291.5 mm 2Fc2=160124 N

e=47.54 e=47.54

f=90 f=90

Z1=450-237.7/2=331.2

100 250 mm 100

Mb=?

Asb=?

c

450 − c = 0.003

0.001826→ c = 279.6 mm

a= k c = 0.85 ∙ 279.6 = 237.7 mm basınç boğu derinliği A = 250 ∙237.7=59425 mm²

e

100=237.7

500 → e = 47.54 mm A _<= 47.54 ∙237.7

2 = 5650.1 mm²

F = A ∙ 14.17 = 59425 ∙ 14.17 =842052 N F _<= A _<∙ 14.17 = 5650.1 ∙ 14.17 =80062 N

F = F + 2F _<=842052+2^.80062=1002176 N2toplam beton basınç kuvveti@

F = F → A ∙ 365.22 = 1002176 → A =2744 mm²2dengeli donatı alanı@

f

100=450

500→ f = 90 mm A = 250^.450 +2^∙90^∙450

2 = 153000 mm22faydalı kesit alanı@

ρ =^MN`

M_$ = ^<abb

H ccc=0.0179 2dengeli donatı oranı@

Z = 450 −^{< a.a}

< = 331.2 mm2F_c1kuvvetinin moment kolu@

Z_<= 450 − 237.7^<= 291.5 mm2F_c2kuvvetinin moment kolu@

M_b=842.05^.0.331+2^.80.06^.0.292=325.5 kNm2kırılma momenti@

Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2019, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 145

ÖRNEK: kesit Derste anlatılmayacak

15. Denetimin iyi olmayacağı düşünülen bir şantiyede üretilecek bir kirişin kesiti solda verilmiştir. Malzeme C20/25-B420C dir. Kirişe minimum donatı konulacak ve kirişin moment taşıma gücü hesaplanacaktır. Montaj donatısı verilmemiştir, hesaplarda dikkate alınmayacaktır.

a) Min A_syi bulunuz, uygun çap ve çubuk sayısına dönüştürünüz. Çubuk sayısı en az 3 olmalıdır.

b) M_ryi bulunuz

c) Çelik birim uzamasını bulunuz

d) Belirlediğiniz her büyüklüğü; kesit, şekil değiştirme ve iç kuvvet diyagramları üzerinde gösteriniz ÇÖZÜM:

γ_mc=1.7, γ_ms=1.15

f_cd=20/1.7=11.76 N/mm², f_ctd=1.6/1.7=0.94 N/mm² f_yd=420/1.15=365.22 N/mm² ε_cu=0.003, ε_s>ε_sd=0.001826 (denge altı kırılma koşulu)

k₁=0.85, k₃=0.85

Konulacak donatı minimum civarında olacağından kırılma sünek olacaktır, donatı oranının üst sınırını kontrol etmeğe gerek yoktur.

uzaması)

Konulacak çubukların toplam alanı bu değerin altında εs=0.0202>εsd=0.001826 σs=365.22

εcu=0.003

İç kuvvetler TE

iTE

0.85fcd=0.85^.11.76=10.0 N/mm²

Fc=250a^.10.0=2500a

Fs=339^.365.22=123809.6 N Mr=52.6 kNm

Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2019, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 146

ÖRNEK: kesit Derste anlatılmayacak

16. Denetimin iyi olacağı düşünülen bir şantiyede üretilecek bir kirişin kesiti solda verilmiştir. Malzeme C20/25-B420C dir. Kirişe maksimum donatı konulacak ve kirişin moment taşıma gücü hesaplanacaktır. Montaj donatısı verilmemiştir, hesaplarda dikkate alınmayacaktır.

a) Max A_syi bulunuz, uygun çap ve çubuk sayısına dönüştürünüz. Çubuk sayısı en az 3 olmalıdır.

b) M_ryi bulunuz

c) Çelik birim uzamasını bulunuz

d) Belirlediğiniz her büyüklüğü; kesit, şekil değiştirme ve iç kuvvet diyagramları üzerinde gösteriniz ÇÖZÜM:

γ_mc=1.5, γ_ms=1.15

f_cd=20/1.5=13.33 N/mm², f_yd=420/1.15=365.22 N/mm² ε_cu=0.003, ε_s>ε_sd=0.001826 (denge altı kırılma koşulu) k₁=0.85, k₃=0.85,

ρ

_b=0.0164

Konulacak donatının oranı denge altı koşullarını sağlamalıdır:

ρ≤

=0.85

ρ

_b=0.85 ^.0.0164=0.01394 ve

ρ

≤=0.02. Buna göre max

ρ

=0.01394 alınmalıdır.

Konulacak donatı maksimumun biraz altında olacağından kırılma sünek olacaktır, donatı oranının alt sınırını kontrol etmeğe gerek yoktur.

Konulacak çubukların alanı bu değeri aşmamalı

İç kuvvetler TE

0.85fcd=0.85^.13.33=11.33 N/mm²

Fc=250a^.11.33=2832.5a

Fs=1520^.365.22=555134.4 N Mr=195.4 kNm

G Acc=250a

Kesit

iTE

εs=0.028>εsd=0.001826 σs=365.22

Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2019, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 147

ÖRNEK: kesit Derste anlatılmayacak

17. Prefabrik olarak üretilecek bir kirişin kesiti solda verilmiştir. Malzeme C35/40-B420C dir. Kirişe maksimum donatı konulacak ve kirişin moment taşıma gücü hesaplanacaktır. Montaj donatısı verilmemiştir, hesaplarda dikkate alınmayacaktır.

a)Max A_syi bulunuz, uygun çap ve çubuk sayısına dönüştürünüz. Çubuk sayısı en az 3 olmalıdır.

b)M_ryi bulunuz

c)Çelik birim uzamasını bulunuz

d)Belirlediğiniz her büyüklüğü; kesit, şekil değiştirme ve iç kuvvet diyagramları üzerinde gösteriniz

ÇÖZÜM:

γ_mc=1.4, γ_ms=1.15

f_cd=35/1.4=25.0 N/mm², f_yd=420/1.15=365.22 N/mm^2, k₁=0.79, k₃=0.85 ε_cu=0.003, ε_s>ε_sd=0.001826 (denge altı kırılma koşulu)

Bu kesitin dengeli donatı oranı önceki sayfalarda hesaplanmıştı:

ρ

_b=0.0140

Konulacak donatının oranı denge altı koşullarını sağlamalıdır:

ρ≤

=0.85

ρ

_b=0.85 ^.0.0140=0.0119 ve

ρ

≤=0.02. Buna göre max

ρ

=0.0119 alınmalıdır.

Konulacak donatı maksimumun biraz altında olacağından kırılma sünek olacaktır, donatı oranının alt sınırını kontrol etmeğe gerek yoktur.

uzaması)

Konulacak çubukların alanı bu değeri aşmamalı Ek6 tablosundan

200 mm

c=306.8 mm243.2

Şekil değiştirme

İç kuvvetler M_r=161.6 kNm

εs=0.0024>εsd=0.001826 σs=365.22

3Φ22(1140 mm²)

a=242.4

Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2019, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 148

ÖRNEK: kesit Derste anlatılmayacak

18. Solda görülen kesitin kırılma anındaki şekil değiştirme diyagramı deneysel olarak belirlenmiştir. Malzeme C20/25-B420C dir. Çelik birim uzama ve gerilmelerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

19. Solda görülen kesitin kırılma anındaki şekil değiştirme diyagramı deneysel olarak belirlenmiştir. Malzeme C20/25-B420C dir. A_s2donatı alanını ve M_r momentini bulunuz.

ÇÖZÜM:

γ_ms=1.5, γ_ms=1.15, f_cd=20/1.5=13.33 N/mm²_,f_yd=420/1.15=365.22 N/mm² ε_cu=0.003, k₁=0.85, k₃=0.85, ε_sd=0.001826, E_s=2^.10⁵ N/mm²

Çelik birim uzama ve gerilmeleri bir önceki örnekte hesaplanmıştı.

0.85f_cd=0.85^.13.33=11.33 N/mm² a=k₁c=0.85^.290=246.5 mm

F_c=0.85f_cdab_w=11.33^.246.5^.250 =698211.3 N F_s1=1257^.365.22=459081.5 N

F_s2=A_s2^.220

F_s1+F_s2=F_c 459081.5+A_s2^.220=698211.3 A_s2=1087 mm² F_s2=1087^.220=239140 N

Z₁=500-246.5/2=376.8 mm Z₂=400-246.5/2=276.8 mm

M_r=F_s1Z₁+F_s2Z₂=459.1^.0.377+239^.0.277=239.3 kNm

İç kuvvetler

a=246.5 mm

20. Yukarıda görülen basit kiriş; genişliği 300 mm , yüksekliği 700 mm olan kirişlere oturmaktadır(saplama). P hareketli ve g sabit karakteristik yüktür. Bu yüklerden oluşan momentin güvenle taşınabilmesi için P en fazla ne olabilir?

Çelik birim uzamasını bulunuz. Malzeme: C30/37 ve B420C, Şantiye: iyi denetimli

ÇÖZÜM:

f_cd=20 N/mm²_,f_ctd=1.27 N/mm²_, f_yd=365.22 N/mm², k₁=0.82, k₃=0.85 ρ_b=0.0237, 0.85ρ_b=0.020

minρ=0.8^.1.27/365.22=0.0028, maxρ=0.020 Çekme donatısı oranı kontrol:

A_s=1520 mm², ρ=1520/300/650=0.0078 minρ< ρ<maxρ(denge altı)

Karakteristik etkiler:

M_g=5.25^.62/8=23.6 kNm, Max M_q=P^.6/4=1.5P

Tasarım Momenti: M_d=1.4^.23.6+1.6^.1.5P=33.04+2.4P (kNm biriminde) Çalışan tabla genişliği: b>800 mm olamaz!

b≤300+12^.150=2100 mm, b≤300+0.2^.1^.5700=1440 mm, b=800 mm alınacak Kesitin moment taşıma gücü:

a=1520^.365.22/0.85/20/800=40.8 mm<150 mm (basınç bloğu tabla içinde) M_r=1520^.365.22(650-40.8/2)=349512.6 Nmm=349.5 kNm

M_d≤M_rolmalı: 33.04+2.4P≤349.5 P ≤131.9 kN olabilir.

Çelik birim uzaması: c=a/k₁=40.8/0.82=49.8 mm

Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2019, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 149

ÖRNEK: kesit Derste anlatılmayacak

Hareketli yük kiriş ortasında iken

b f 85 . 0

f a A

cd yd

= s

2) d a ( f A M_r= _syd −

εs/0.003=600.2/49.8 εs=0.0362>εsd=0.001826(sünek kırılma)

21. Yukarıda görülen basit kiriş; genişliği 300 mm , yüksekliği 700 mm olan kirişlere oturmaktadır(saplama). P hareketli ve g sabit karakteristik yüktür. Kırılma çelik 0.05 birim uzamasına ulaşınca olsun isteniyor. A_s alanını belirleyiniz, çubuk çap ve sayısını veriniz. Bu yüklerden oluşan momentin güvenle taşınabilmesi için P en fazla ne olabilir? Malzeme: C30/37 ve B420C, Şantiye: iyi denetimli

ÇÖZÜM:

f_cd=20 N/mm²_,f_ctd=1.27 N/mm²_, f_yd=365.22 N/mm², k₁=0.82, k₃=0.85 ρ_b=0.0237, 0.85ρ_b=0.020

min ρ=0.8^.1.27/365.22=0.0028, max ρ=0.020 ε_s=0.05>ε_sd=0.001826(sünek kırılma)

c /(650-c)=0.003/0.05 c=36.8 mm(tarafsız eksen derinliği) a=k₁c=0.82^.36.8=30.2 mm(basınç bloğu derinliği)

b=800 mm(çalışan tabla genişliği, soldaki örnekten) F_c=800^.30.2^.17=410720 N

A_s^.365.22=410720 A_s=1125 mm² Seç: 3φ22(1140 mm²)

ρ =1140/300/650=0.0058 min ρ< ρ<max ρ(denge altı)

Z=650-30.2/2=634.2 mm(moment kolu) M_r=410.72^.0.635=260.8 kNm

M_d=33.04+2.4P(soldaki örnekten) M_d≤M_rolmalı:

33.04+2.4P≤260.8 P ≤94.9 kN olabilir.

Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2019, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 150

ÖRNEK: kesit Derste anlatılmayacak

22.Yukarıda görülen basit kiriş; genişliği 300 mm , yüksekliği 700 mm olan kirişlere oturmaktadır(saplama). P hareketli ve g sabit karakteristik yüktür. Bu yüklerden oluşan momentin güvenle taşınabilmesi için P en fazla ne olabilir?

Çelik birim uzamasını bulunuz. Malzeme: C30/37 ve B420C, Şantiye: iyi denetimli

ÇÖZÜM:

f_cd=20 N/mm²_,f_ctd=1.27 N/mm²_, f_yd=365.22 N/mm², k₁=0.82, k₃=0.85 ρ_b=0.0237, 0.85ρ_b=0.020

minρ=0.8^.1.27/365.22=0.0028, maxρ=0.020 Çekme donatısı oranı kontrol:

A_s=1520 mm², ρ=1520/300/650=0.0078 minρ< ρ<maxρ(denge altı)

Karakteristik etkiler:

M_g=5.25^.62/8=23.6 kNm, Max M_q=P^.6/4=1.5P

Tasarım Momenti: M_d=1.4^.23.6+1.6^.1.5P=33.04+2.4P (kNm biriminde) Kesitin moment taşıma gücü:

a=1520^.365.22/0.85/20/300=108.8 mm

M_r=1520^.365.22(650-108.8/2)=330638 Nmm=330.6 kNm M_d≤M_rolmalı: 33.04+2.4P≤330.6 P ≤124 kN olabilir.

Çelik birim uzaması: c=a/k₁=108.8/0.82=132.7 mm

Hareketli yük kiriş ortasında iken

b 0.85f

f a A

w cd

yd

= s

2) d a ( f A M_r= _syd −

150

23. Yukarıda görülen basit kiriş; genişliği 300 mm , yüksekliği 700 mm olan kirişlere oturmaktadır(saplama). P hareketli ve g sabit karakteristik yüktür. Kırılma çelik 0.05 birim uzamasına ulaşınca olsun isteniyor. A_s alanını belirleyiniz, çubuk çap ve sayısını veriniz. Bu yüklerden oluşan momentin güvenle taşınabilmesi için P en fazla ne olabilir? Malzeme: C30/37 ve B420C, Şantiye: iyi denetimli

ÇÖZÜM:

f_cd=20 N/mm²_,f_ctd=1.27 N/mm²_, f_yd=365.22 N/mm² k₁=0.82, k₃=0.85

ρ_b=0.0237, 0.85ρ_b=0.020

min ρ=0.8^.1.27/365.22=0.0028, max ρ=0.020 ε_s=0.05>ε_sd=0.001826(sünek kırılma)

c /(650-c)=0.003/0.05 c=36.8 mm(tarafsız eksen derinliği) a=k₁c=0.82^.36.8=30.2 mm(basınç bloğu derinliği)

F_c=300^.30.2^.17=154020 N

A_s^.365.22=154020 A_s=422 mm² Seç: 4φ14(616 mm²)

ρ =616/300/650=0.0032 min ρ < ρ<max ρ(denge altı)

Z=650-30.2/2=634.2 mm(moment kolu) M_r=154.02^.0.635=97.8 kNm

M_d=33.04+2.4P(soldaki örnekten) M_d≤M_r olmalı:

33.04+2.4P≤97.8 P ≤27.0 kN olabilir.

εs/0.003=517.3/132.7 εs=0.0117>εsd=0.001826(sünek kırılma)

3φ14(462 mm²) yeterli, fakat min As=0.0028^.300^.650=546 mm² olduğundan 4φ14(616 mm²) seçildi

50650 mm

700 mm 700

Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2019, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 151

Belgede Kesitte şekil değiştirme-gerilme dağılımı aşamaları (sayfa 42-50)