2.2. Tüketicilerin Banka Tercihini Etkileyen Faktörler
2.2.6. Demografik Faktörler
Este m´etodo, proposto em (27), aplica a transformada de Fourier para estimar a dimens˜ao fractal de contornos bidimensionais. Seja C um contorno fechado em ℜ2. Inicialmente, esta
estrutura ´e parametrizada por uma vari´avel t, possibilitando sua descri¸c˜ao por uma fun¸c˜ao complexa I:
I(t) = x(t) + iy(t), (3.4.40)
em que x e y s˜ao as coordenadas de cada ponto em C e i ´e o n´umero imagin´ario. A seguir, calcula-se a s´erie de Fourier unidimensional I :
I= Z +∞
−∞
I(t)e−2πitudt, (3.4.41)
em que u ´e a frequˆencia.
Em seguida, obt´em-se o espectro de potˆencia P de I: P =
n
X
k=1
|Ik|2, (3.4.42)
em que n ´e o n´umero de componentes da transformada.
3.5 Comparativo entre M´etodos Num´ericos de Dimens˜ao Fractal 69
log(P ). Como esperado pela teoria (52), esta curva apresenta um comportamento similar ao linear. Baseado nisso, uma reta ´e ajustada, por m´ınimos quadrados (65), `a curva e a dimens˜ao D ´e obtida a partir do coeficiente angular α por:
D = −34α + 1
4, (3.4.43)
sendo que os coeficientes s˜ao obtidos empiricamente.
3.5
Comparativo entre M´etodos Num´ericos de Dimens˜ao
Fractal
Em (27), os autores apresentam um comparativo entre v´arios m´etodos de estimativa num´erica da dimens˜ao de fractais matem´aticos cl´assicos cuja medida anal´ıtica ´e conhecida.
A Tabela 3.1 mostra as dimens˜oes estimadas para cada m´etodo. O m´etodo de Fourier em contornos fechados proposto naquele trabalho mostrou-se eficiente, obtendo o valor mais pr´oximo da dimens˜ao anal´ıtica em 60% dos casos. Esta precis˜ao ´e particularmente interessante considerando-se um m´etodo simples e de custo computacional significativamente menor do que seus concorrentes.
Tabela 3.1– Dimens˜ao dos objetos fractais matem´aticos calculada por diferentes m´etodos e com- parada `a dimens˜ao te´orica de Hausdorff-Besicovitch. Os valores sublinhados corres- pondem `as melhores aproxima¸c˜oes.
Fractal Box-counting Bouligand-Minkowski Fourier Proposto Hausdorff
Dragon 1.4414 1.4524 1.3689 1.5760 1.5236 Fibonacci 1.3044 1.3453 1.2669 1.2499 1.2465 Gosper 1.1284 1.1217 1.0685 1.1213 1.1292 Julia1 1.0905 1.0538 1.1283 1.1485 1.0812 Julia2 1.1465 1.1972 1.2146 1.2509 1.2683 Julia 3 0.9677 1.0166 1.0680 1.0076 1.0043 Koch 1.2479 1.2497 1.1080 1.2722 1.2619 Rabbit 1.2724 1.3643 1.2197 1.3586 1.3934 Terdragon 1.1871 1.0949 1.1162 1.2313 1.2619 Vicsek 1.3757 1.4356 1.3308 1.5436 1.4650
Aquele trabalho ainda analisa o comportamento de cada m´etodo quando o objeto fractal ´e afetado por transforma¸c˜oes geom´etricas e ru´ıdo aleat´orio. As Tabelas 3.2 e 3.3 mostram o erro quadr´atico m´edio de cada abordagem e o m´etodo de Fourier em contorno obteve vantagem em rela¸c˜ao a outras solu¸c˜oes da literatura. Mais resultados deste experimento podem ser encontrados na Se¸c˜ao 7.7.
Tabela 3.2– Erro m´edio na estimativa da dimens˜ao fractal pelos m´etodos comparados em objetos fractais submetidos a transforma¸c˜oes geom´etricas.
M´etodo Erro M´edio Quadr´atico
Box-counting 0.2340
Bouligand-Minkowski 0.2249
Fourier 0.3610
Proposto 0.1269
Tabela 3.3 – Erro m´edio na estimativa da dimens˜ao de objetos fractais afetados por ru´ıdo.
M´etodo Erro M´edio Quadr´atico
Box-counting 0.2307
Bouligand-Minkowski 0.2244
Fourier 0.3667
Proposto 0.2228
3.6
Complexidade
Uma das medidas mais importantes de um objeto e, por consequˆencia, da imagem que o representa, ´e a complexidade. Embora n˜ao exista uma defini¸c˜ao consensual na literatura, a complexidade pode ser explicada como sendo a medida do qu˜ao irregular ´e o objeto. Na an´alise de formas, a complexidade estima o n´ıvel de ocupa¸c˜ao do espa¸co. J´a para texturas, a complexidade mede a distribui¸c˜ao dos pixels dentro da imagem.
Embora o conceito original de dimens˜ao fractal (Hausdorff-Besicovitch) n˜ao possa ser aplicado a objetos do mundo real, que n˜ao s˜ao fractais no sentido estrito, a literatura reporta um grande n´umero de estudos nos quais m´etodos de estimativa (aproximada) da dimens˜ao s˜ao usados para medir estes objetos. O primeiro estudo deste tipo conhecido ´e empreendido por Richardson (126), quando, em um trabalho investigando rela¸c˜oes entre a geografia de um pa´ıs e a probabilidade de estes entrarem em guerra, acaba descobrindo uma lei exponencial entre a medida do comprimento da costa britˆancia e o comprimento da unidade de medida empregada. Richardson observou que o expoente envolvido era particular de cada costa analisada e trazia uma informa¸c˜ao importante a respeito da irregularidade da mesma. Mais tarde, Mandelbrot cita este estudo em (44) e chama esse expoente de dimens˜ao fractal (1). Embora esta nomenclatura tenha gerado polˆemica, sobretudo pelo fato da medida de dimens˜ao ser tomada apenas em um intervalo (pequeno na maioria das vezes) (127, 128), hoje o uso do nome “dimens˜ao fractal” para estas medidas ´e amplamente aceito, como se vˆe em in´umeros trabalhos nas mais variadas ´areas de aplica¸c˜ao (32, 52, 69, 124).
Dada sua natureza, a dimens˜ao fractal tamb´em tornou-se uma medida de complexidade consolidada na literatura. Para ilustrar a capacidade da dimens˜ao em medir este atributo, tome-se um exemplo em que a dimens˜ao de Bouligand-Minkowski ´e estimada para duas figuras geom´etricas simples, mas que apresentam padr˜oes de complexidade distintos.
3.6 Complexidade 71
Tome-se ent˜ao, por exemplo, um hex´agono e um triˆangulo, na Figura 3.8, baseada em (82). No m´etodo de Bouligand-Minkowski, a dimens˜ao e, consequentemente, a complexi- dade ´e estimada pela ´area de dilata¸c˜ao dos pontos da forma. `A medida que a estrutura vai sendo dilatada, nota-se que o maior n´umero de quinas no hex´agono faz com que a ´area de dilata¸c˜ao cres¸ca mais rapidamente. Esta velocidade de crescimento ´e diretamente relacionada `a dimens˜ao fractal. Assim, a estrutura com mais cantos possui maior dimens˜ao e, conse- quentemente, maior complexidade, como era de se esperar intuitivamente. Esta rela¸c˜ao entre complexidade e dimens˜ao ´e demonstrada no gr´afico da derivada de log(A(r)) em fun¸c˜ao de r, representada por du/dt para fins de simplifica¸c˜ao. Este gr´afico ´e exibido na parte inferior da Figura 3.8. A derivada corresponde ao valor instantˆaneo da dimens˜ao fractal quando o raio ´e variado e confirma a maior dimens˜ao do hex´agono.
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 t du/dt Triângulo Hexágono
Figura 3.8– Dois objetos com graus de complexidade distinta e gr´afico da dimens˜ao fractal mos- trando a maior dimens˜ao do objeto mais complexo.
Um processo semelhante ocorre na an´alise de texturas. A diferen¸ca ´e que, neste caso, a imagem em tons de cinza ´e convertida em uma superf´ıcie e a complexidade est´a relacionada `a sua topografia, que, por sua vez, ´e proporcional `a diferen¸ca entre as intensidades dos pixels
em cada regi˜ao. Assim, por exemplo, uma regi˜ao de borda gera uma superf´ıcie com uma irregularidade dr´astica e, similar ao que ocorria com as quinas das formas, vai levar a um valor estimado maior de complexidade. Deste modo, a complexidade mede ent˜ao a distribui¸c˜ao das intensidades de pixels na imagem.
Desta forma, qualquer um dos m´etodos de estimativa de dimens˜ao fractal pode ser usado para determinar o grau de complexidade da textura representada em uma imagem digital. Esta complexidade por sua vez est´a fortemente relacionada `a percep¸c˜ao humana de propriedades dos materiais como rugosidade, porosidade, luminˆancia, etc. Assim, ´e uma consequˆencia natural que este tipo de modelagem constitua uma ferramenta poderosa no desenvolvimento de metodologias que automatizem o reconhecimento de padr˜oes em texturas (66).
73