Değişken Masraflar

O entrevistado é autor de livro texto sobre Teoria dos Números, doutor em Matemática, com tese em Álgebra, professor e também pesquisador na área de Educação Matemática em uma instituição privada de ensino, tendo atuado também em uma instituição pública estadual.

Ao abordar a primeira questão, sobre o papel da Teoria dos Números na História da Matemática e nos currículos, a partir da afirmação de Campbell e Zaskis, afirma:

Bem, eu concordo com eles, a Teoria dos Números tem papel central na História da Matemática e de alguma maneira é surpreendente que ela não ocupe lugar mais destacado nos currículos, em particular nos de licenciatura.

Eu não sei se isso é devido a uma certa prioridade que as pessoas responsáveis pelos currículos dão às estruturas algébricas ou se, é ainda, um efeito retardado da Matemática Moderna que se reverteu sobre o currículo universitário também. (...)

Assim, o entrevistado concorda com Campbell e Zazkis quanto ao papel central que essa área tem na História da Matemática, embora não tenha focado esse aspecto. Preocupou- se mais com o papel da Teoria dos Números nos currículos, buscando razões para o fato de ela não ter um papel de maior destaque nos currículos da licenciatura em matemática. Assinala como causa uma possível conseqüência do movimento da Matemática Moderna, em que a ênfase foi colocada nas estruturas algébricas, o que podemos deduzir contribuiu para o distanciamento entre a formação e as exigências da prática docente na escola básica, onde Números é um bloco de conteúdos, cujo ensino tem questões próprias, colocadas ao professor, conforme apontam vários estudos, dentre eles o de Moreira (2004).

Eu acredito que dar as estruturas algébricas, sem que os alunos tenham uma experiência rica sobre alguns exemplos concretos de estrutura, em particular sobre os números inteiros, com uma grande familiaridade, não vale a pena a gente estar explorando estruturas algébricas. (...) (...) o que eu penso é assim o que aconteceu foi que a partir de um certo ponto as pessoas quiseram não ver essa idéia de que aqueles números poderiam ser uma forma para a álgebra superior, mas foram diminuindo o papel deles aí em nome de dar o destaque adequado às estruturas algébricas. Então acho que isso que você retrata, na realidade é o fim, é o pedaço de um percurso histórico que chegou nesse momento.

Avelar destaca a importância do estudo dos inteiros como uma experiência que pode contribuir para a compreensão das estruturas algébricas, levando-nos a inferir a possibilidade de mudança do foco ou da ênfase verificada em alguns cursos e livros didáticos, em que os inteiros são tratados como um exemplo de determinadas estruturas algébricas, ficando negligenciados, ou em segundo plano, elementos que lhes são próprios ou elementos que são importantes para a prática docente na escola básica. O entrevistado destaca que o licenciando deve ter um conhecimento rico do conjunto dos inteiros, para que possa dar significado às estruturas algébricas.

Quanto à presença de conteúdos ligados à Teoria dos Números no currículo da escola básica, considera:

Eu acho que eles deveriam ter mais destaque, talvez não como conteúdos específicos, porque fica um pouco difícil você abordar estes conteúdos específicos (...)

(...) do ponto de vista pedagógico, na Teoria Elementar dos Números, o que pode ser refletido para a educação básica, justamente, é o fato de existirem problemas que podem ser formulados de uma maneira muito clara, porque são conceitos que, facilmente, as crianças podem dominar, sendo uma coisa que pode ser do dia-a-dia, são interessantes e que exigem, às vezes que a criança trabalhe com argumentos. Então a forma de você propiciar o exercício da argumentação já em faixas etárias bem baixas.

Do exposto acima, podemos perceber que o entrevistado, ao considerar que seja complicado tratar elementos de Teoria dos Números como conteúdos específicos, esteja se referindo a conteúdos mais avançados, pois, conforme apresentado anteriormente, tópicos de Teoria dos Números são propostos nos PCN; ou esteja se referindo a um tratamento estritamente formal, o que fugiria dos objetivos do ensino fundamental, certamente. No entanto, ao falar do ponto de vista pedagógico, esclarece o seu posicionamento, considerando que existem questões interessantes que podem ser trabalhadas, estimulando o desenvolvimento da capacidade de argumentar, o que é também sugerido nos PCN. Dessa forma, aponta para um dos valores do ensino da Matemática, indicado por D’Ambrósio (1990), o valor formativo, que diz respeito ao desenvolvimento de habilidades, no caso, a de argumentar, a partir de problemas interessantes que a Teoria dos Números permite propor.

Ainda pensando sobre a presença de tópicos de Teoria dos Números na educação básica, conjectura:

(...) pois uma das minhas conjecturas sobre o fato de que a Teoria dos Números, não a Teoria dos Números, mas questões envolvendo números inteiros, não tenham uma presença mais forte nos currículos da educação básica, ou seja, trabalhados na prática efetivamente, é que os professores não têm familiaridade para mexer com esse tipo de questão (...) E essas questões aparecem nas olimpíadas por alguma razão. Elas não são assim tão difíceis. Às vezes, os alunos por não terem na cabeça estes temas de uma maneira preconcebida, eles são capazes de resolver os problemas e os professores ficam surpreendidos. São problemas que eles poderiam ter trabalhado com eles lá.

Essa hipótese apresentada pelo entrevistado, de que questões envolvendo números inteiros não têm uma presença mais forte na educação básica pela falta de familiaridade dos professores, vem corroborar a existência de um distanciamento entre a formação e a prática profissional, no que se refere ao tratamento dado aos números inteiros. Pode estar associada também ao que aponta Moreira (2004), os inteiros são abordados de maneira estritamente formal ou como “dados”, o professor não percebe a possibilidade de exploração de atividades ligadas a este tema que conduzam à investigação e à argumentação, pois não vivenciou esta experiência na licenciatura.

Quanto à segunda questão sobre a relação – Teoria dos Números, Álgebra e Aritmética –, afirma:

Eu vejo a Teoria dos Números como uma parte da Álgebra Moderna.

Já entre Aritmética e Álgebra aí sim, eu acho que a relação já é mais problemática. (...) pensar quando se introduz variáveis, letras, etc, a gente está no campo da Álgebra, mas eu vejo, quando a gente trata de questões de Aritmética que a gente encontra um certo... como é que a gente poderia chamar isso....poderia chamar de uma certa visão que trabalha ou uma idéia de invariante, ou uma idéia de seqüência, problemas, então aí a gente está mais entrando no domínio da Álgebra, que da aritmética propriamente dita.

Assim, o entrevistado deixa clara a sua concepção de que Teoria dos Números é uma parte da Álgebra Moderna, embora não tenha esclarecido as particularidades de uma e de outra. Percebe a relação entre Álgebra e Aritmética como mais problemática, ficando subjacente ao seu discurso que não as concebe de forma isolada, pois deixa claro que, ao se trabalhar com características do pensamento algébrico, como a percepção de “invariantes”, já se está no domínio da álgebra. Essa concepção parece corroborar posições como a de e Lins e Gimenez (1997), de que a educação algébrica e a aritmética coexistem, estando uma imbricada no desenvolvimento da outra.

Indagado sobre o que é específico de Teoria dos Números, deixa claro que se limitará ao domínio dos inteiros e afirma:

números primos é uma coisa central, e aqueles conceitos que eu já falei: máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, o teorema fundamental da aritmética e todas as idéias ligadasá teoria dos números inteiros.

Assim, o entrevistado enumera alguns tópicos específicos de Teoria dos Números, os quais podemos tomar como básicos, pois estão presentes, inclusive, no ensino fundamental. Nos currículos dos diferentes níveis de ensino, o estudo desses temas poderia permitir aos alunos compreender o que é próprio do conjunto dos inteiros, o que, segundo Campbell, pode ficar obscurecido, quando se tratam os inteiros como um subconjunto dos números racionais ou dos reais.

Avaliando o que propomos como Teoria Elementar dos Números para os cursos de licenciatura, diz:

Esses tópicos eu dou, eu considero essenciais, até o teorema fundamental da aritmética. O papel da Aritmética módulo m, congruência modulo m,... tem um papel que está na notação

dela e que eu acredito, pode ser tratado independentemente dessa notação, isto eu estou de acordo. O interesse da Aritmética módulo m é introduzir um tipo de .. um sistema, um conjunto em que você tem uma aritmética um pouco diferente da aritmética dos números inteiros, justamente para criar experiências dos alunos para depois introduzir a idéia de anel, de uma maneira mais geral. Então eu vejo que esse tema não é essencial. Teoremas de Fermat, Euler e Wilson, eu acho que tem um valor histórico importante. Mostram como a Teoria Elementar dos Números pode apresentar questões interessantes, envolvendo números primos, mas eu não consideraria essencial. Entre a aritmética módulo m e os teoremas de Euler, Fermat e Wilson,

eu ficaria com os últimos, se eu tivesse tempo de acrescentar no meu curso e também equações diofantinas lineares. Estou totalmente de acordo com você.

Assim, Avelar confirma os conteúdos que considera essenciais num curso de Teoria dos Números, pois já os havia indicado anteriormente, porém não justifica a seleção em função da formação do professor. Esclarece a sua posição com relação à aritmética módulo m, colocando-a como um tópico que poderia ser suprimido por se tratar de uma forma de notação, cujas idéias poderiam ser tratadas independentemente dela. Indica, ainda, alguns elementos para a seleção / priorização dos demais tópicos propostos, como o valor histórico e o tempo disponível.

Em síntese, Avelar:

• reconhece que a Teoria dos Números deveria ser mais enfatizada nos cursos de licenciatura de matemática;

• considera que em Teoria dos Números existem problemas que podem ser formulados de maneira clara, envolvendo conceitos que as crianças podem dominar;

• aponta para o valor formativo de seu ensino na escola básica, como fonte de questões que podem conduzir ao desenvolvimento da capacidade de argumentar;

• considera o estudo do conjunto dos inteiros importante para a compreensão do estudo das estruturas algébricas;

• conjectura que questões envolvendo os inteiros não têm uma presença mais forte nos currículos da educação básica, pela falta de familiaridade dos professores com este tipo de questões;

• percebe a Teoria dos Números como parte da Álgebra Moderna;

• considera como conteúdos básicos de Teoria dos Números, essenciais na licenciatura: o conjunto dos inteiros, operações, a noção de número primo, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, teorema fundamental da aritmética;

• concorda com a proposta de Teoria Elementar dos Números apresentada. Considera o estudo da Aritmética módulo m não essencial, por se tratar de uma notação. Os teoremas de Euler, Fermat (o pequeno) e o de Wilson são vistos como importantes historicamente, envolvendo questões interessantes sobre primos. Incluiria equações diofantinas lineares num curso de Teoria Elementar dos Números, caso houvesse tempo disponível;

• indica, como critérios para a seleção de conteúdos, o valor histórico e o tempo disponível.

Assim, o entrevistado concebe a Teoria dos Números, enquanto saber científico como parte da Álgebra Moderna e, do ponto de vista de saber a ensinar, como um conjunto constituído de alguns tópicos básicos da área, percebe, no entanto, que o seu ensino ainda é marcado pela influência do Movimento da Matemática Moderna, em que a ênfase recai nas estruturas algébricas e nos aspectos formais.