TABLO 1: PENCERE ÖZELLİKLERİ ANALİZ TABLOSU
4. DEĞERLENDİRME
Nesta se¸c˜ao estuda-se a rela¸c˜ao existente entre os pontos de equil´ıbrio de (Σε), de
(Σo) e (ΠBLS).
O conjunto E de pontos de equil´ıbrio de (Σε) ´e invariante com rela¸c˜ao a ε. Al´em
disto, o conjunto de equil´ıbrios de (Σo) coincide com o conjunto de equil´ıbrios E de
(Σε). Tamb´em temos que E ⊂ Γ.
Pr´oximo teorema estabelece a rela¸c˜ao entre os pontos de equil´ıbrio de (Σo) e de
(Σε). Ele ´e uma generaliza¸c˜ao de um teorema apresentado em [45].
Teorema 6.3.1 Se um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico do tipo j, digamos (x∗, z∗) ∈ E, de (Σo) pertence a uma componente Γi do tipo k de Γ, ent˜ao existe ε∗ > 0 tal
que (x∗, z∗) ´e um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico do tipo (j+k) de (Σ
ε) para todo
ε ∈ (0, ε∗).
Demonstra¸c˜ao: Como (x∗, z∗) pertence a uma componente do tipo k de Γ, D zg
61 parte real menor do que zero. Portanto, existe um n´umero real α > 0 tal que todo autovalor λ de Dzg satisfaz |Re{λ}| > α > 0.
Considere o sistema (Πε) linearizado no ponto de equil´ıbrio (x∗, z∗), isto ´e,
d∆x dτ d∆z dτ = Jf ast ε ∆x ∆z onde Jf ast ε = εDxf εDzf Dxg Dzg
. O n´umero complexo µ ´e um autovalor de Jf ast
ε se
existir um vetor (∆x, ∆z) 6= 0 satisfazendo
εDxf − µIn εDzf Dxg Dzg − µIm ∆x ∆z = 0
Para ε suficientemente pequeno e para |Re{µ}| > α > 0, a matriz (εDxf − µIn) ´e
invert´ıvel. Ent˜ao, da primeira equa¸c˜ao escreve-se ∆x como uma fun¸c˜ao de ∆z e da segunda equa¸c˜ao obt´em-se:
Dzg − εDxg (εDxf − µIn)−1Dzf − µIm ∆z = 0
isto ´e, µ ´e um autovalor de uma matriz que pode ser vista como sendo uma per- turba¸c˜ao da matriz Dzg.
Defina a fun¸c˜ao pε(µ) := det [Dzg − εC(ε, µ) − µIm] onde
C(ε, µ) := Dxg (εDxf − µIn)−1Dzf . Para |Re{µ}| > α > 0 e ε suficientemente
pequeno, C ´e cont´ınua com rela¸c˜ao a µ e ε.
Considere uma curva simples fechada γ no plano complexo tal que todos autova- lores de Dzg com parte real maior do que zero est˜ao contidos na ´area limitada por
esta curva. Pode-se escolher esta curva de tal forma que γ ⊂ {µ ∈ C : Re{µ} > α > 0}. Portanto po(µ) 6= 0 para qualquer µ ∈ γ e portanto infµ∈γ|po(µ)| =: m > 0.
Usando a continuidade de pε(µ) com rela¸c˜ao a ε conclui-se que infµ∈γ|pε(µ)| =:
m > 0 para ε suficientemente pequeno. Ent˜ao v(ε) := 1 2πi
H
γ p′
ε(µ)
pε(µ) est´a bem definida
e representa, de acordo com a teoria de vari´aveis complexas, o n´umero de zeros de pε(µ) dentro de γ. Como v(ε) deve ser um inteiro e v(ε) ´e cont´ınuo, conclui-se que
k = v(0) = v(ε) para ε suficientemente pequeno. Em outras palavras, a existˆencia de k autovalores de Dzg com parte real maior do que zero implica na existˆencia
de k autovalores de Jf ast
ε com parte real maior do que zero para ε suficientemente
pequeno. Argumentos similares podem ser usados para mostrar que a existˆencia de m − k autovalores de Dzg com parte real menor do que zero implica na existˆencia de
m − k autovalores de Jf ast
ε com parte real menor do que zero para ε suficientemente
pequeno.
Suponha que (x∗, z∗) seja um ponto de equil´ıbrio do tipo j de (Σo). Ent˜ao, pode-
se mostrar que Jred:= Dxf − Dzf Dzg−1Dxg tem j autovalores com parte real maior
do que zero e n − j com parte real menor do que zero. Al´em disto, existe um n´umero real M > 0 tal que todo autovalor λ de Jred satisfaz |λ| < M.
Considere o sistema (Σε) linearizado no ponto de equil´ıbrio (x∗, z∗), isto ´e, ˙ ∆x ˙ ∆z = Jε ∆x ∆z onde Jε := Dxf Dzf Dxg Dzg
. O n´umero complexo µ ´e um autovalor de Jf ast
ε se existir um vetor (∆x, ∆z) 6= 0 satisfazendo Dxf − µIn Dzf 1 εDxg 1 εDzg − µIm ∆x ∆z = 0 que ´e equivalente a
Dxf − µIn Dzf Dxg Dzg − εµIm ∆x ∆z = 0
Se µ ´e limitado e ε ´e suficientemente pequeno, ent˜ao (Dzg − εµIm) ´e invert´ıvel.
Ent˜ao, da segunda equa¸c˜ao, pode-se escrever ∆z como uma fun¸c˜ao de ∆x e da primeira equa¸c˜ao tem-se:
Dxf − Dzf (Dzg − εµIm)−1Dxg − µIn ∆x = 0
Usando a identidade B−1 = A−1 − B−1(B − A)A−1 com B = (D
zg − εµIm) e
A = Dzg tem-se:
[Jred− εµC(µ, ε) − µIn] ∆x = 0
onde C(µ, ε) := Dzf (Dzg − εµIm)−1Dzg−1Dxg. O autovalor µ de Jε pode ser visto
como um autovalor de uma matriz que ´e uma pequena perturba¸c˜ao de Jred. Al´em
disto, pode-se facilmente mostrar que λ ´e um autovalor do sistema linearizado asso- ciado a (Σo) se e somente se λ ´e um autovalor de Jred.
Defina a fun¸c˜ao qε(µ) := det [Jred− εµC(µ, ε) − µIn]. Para |µ| < M e ε suficien-
temente pequeno, C ´e cont´ınuo com rela¸c˜ao a µ e ε.
Considere uma curva fechada simples γ no plano complexo tal que todos os auto- valores de Jred com parte real maior do que zero est˜ao contidas na ´area limitada por
esta curva. Pode-se escolher esta curva tal que γ ⊂ {µ ∈ C : Re{µ} > 0 and |µ| < M}. Portanto qo(µ) 6= 0 para todo µ ∈ γ e logo infµ∈γ|qo(µ)| =: b > 0. Usando
a continuidade de qε(µ) com rela¸c˜ao a ε conclui-se que infµ∈γ|qε(µ)| =: b > 0 para
ε suficientemente pequeno. Ent˜ao, da teoria de vari´aveis complexas, tem-se que v(ε) := 1 2πi H γ q′ ε(µ)
qε(µ) ´e o n´umero de zeros de qε(µ) dentro de γ. Como v(ε) deve ser
um inteiro e v(ε) ´e cont´ınuo, conclui-se que k = v(0) = v(ε) para ε suficientemente pequeno. Em outras palavras, a existˆencia de j autovalores de Jred com parte real
maior do que zero implica na existˆencia de j autovalores de Jε com parte real maior
do que zero para ε suficientemente pequeno. Argumentos similares podem ser uti- lizados para mostrar que a existˆencia de n − j autovalores de Jred com parte real
63 menor do que zero implica na existˆencia de n − j autovalores de Jε com parte real
menor do que zero para ε suficientemente pequeno. Usando o fato de que Jf ast
ε = εJε tem-se que λ ´e um autovalor de Jεf ast se e
somente se λ
ε ´e um autovalor de Jε. Ent˜ao, para ε suficientemente pequeno, os m
autovalores de (Σε) obtidos na an´alise na escala de tempo r´apida tem m´odulo sufi-
cientemente grande e s˜ao certamente distintos dos n autovalores obtidos na an´alise na escala de tempo lenta. Consequentemente, (x∗, z∗) ´e um ponto de equil´ıbrio
hiperb´olico do tipo j+k de (Σε) para ε suficientemente pequeno.
Se os pontos de equil´ıbrio do sistema reduzido (Σo) s˜ao hiperb´olicos, ent˜ao o
Teorema 6.3.1 garante, para ε > 0 suficientemente pequeno, que os equil´ıbrios de (Σε) s˜ao hiperb´olicos. Al´em disto, o Teorema 6.3.1 estabelece a rela¸c˜ao entre os
tipos destes pontos de equil´ıbrio. Considere a seguinte hip´otese:
(H1) Todos os pontos de equil´ıbrio de (Σo) s˜ao hiperb´olicos.
A hip´otese (H1) ´e genericamente satisfeita, isto ´e, ela ´e verdadeira para quase todos os sistemas dinˆamicos na forma de (Σo). Esta hip´otese e o teorema 6.3.1
garantem que todos os pontos de equil´ıbrio de (Σε) s˜ao hiperb´olicos para ε suficien-
temente pequeno. Os seguintes resultados para pontos de equil´ıbrio do tipo zero e tipo 1 s˜ao uma consequˆencia direta do teorema 6.3.1 e hip´otese (H1). Pontos de equil´ıbrio do tipo 1 em especial tˆem uma importˆancia significativa na caracteriza¸c˜ao e obten¸c˜ao de estimativas da ´area de atra¸c˜ao [12].
Teorema 6.3.2 Se a hip´otese (H1) ´e satisfeita, ent˜ao um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico do tipo zero (ponto de equil´ıbrio assintoticamente est´avel) de (Σε) necessariamente
pertence a uma componente est´avel Γs de Γ para ε suficientemente pequeno.
Demonstra¸c˜ao: Todo ponto de equil´ıbrio de (Σε) pertence a Γ por defini¸c˜ao.
Suponha, por contradi¸c˜ao, que o equil´ıbrio do tipo zero (x∗, z∗) de (Σ
ε) pereten¸ca
a uma componente inst´avel Γu do tipo k, (k ≥ 1), de Γ . Pela hip´otese (H1),
(x∗, z∗) ´e um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico de (Σ
o). Portanto, o Teorema 6.3.1
implica que (x∗, z∗) ´e um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico do tipo (j+k) de (Σε) para
ε suficientemente pequeno. Como j + k > k ≥ 1 > 0, chega-se a uma contradi¸c˜ao provando o resultado. Teorema 6.3.3 Se a hip´otese (H1) ´e satisfeita, ent˜ao um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico de tipo 1 de (Σε) pertence ou a uma componente est´avel ou a uma componente do
tipo 1 de Γ para ε suficientemente pequeno.
Demonstra¸c˜ao: Todo ponto de equil´ıbrio de (Σε) pertence a Γ por defini¸c˜ao.
Suponha, por contradi¸c˜ao, que o ponto de equil´ıbrio do tipo 1 (x∗, z∗) de (Σε)
perten¸ca a uma componente inst´avel Γu de tipo k, (k ≥ 2), de Γ. Pela hip´otese
(H1), (x∗, z∗) ´e um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico de (Σ
6.3.1 implica que (x∗, z∗) ´e um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico do tipo (j+k) de
(Σε) para ε suficientemente pequeno. Como j + k > k ≥ 2 > 1, chega-se a uma
contradi¸c˜ao provando o resultado. Teorema 6.3.4 Se a hip´otese (H1) ´e verdadeira e o ponto de equil´ıbrio hiperb´olico do tipo 1 (x∗, z∗) de (Σ
ε) pertence a uma componente Γu de Γ do tipo 1, ent˜ao, para
ε suficientemente pequeno, (x∗, z∗) ´e um ponto de equil´ıbrio assintoticamente est´avel de (Σo).
Demonstra¸c˜ao: Todo ponto de equil´ıbrio (x∗, z∗) de (Σ
ε) ´e um ponto de equil´ıbrio
de (Σo) para qualquer ε. Al´em disto, (x∗, z∗) pertence a Γ. Suponha que (x∗, z∗)
seja um ponto de equil´ıbrio do tipo 1 de (Σε) na componente Γu de Γ do tipo 1.
Pela hip´otese (H1), pode-se supor que (x∗, z∗) ´e um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico
do tipo j de (Σo). Ent˜ao, do Teorema 6.3.1, para ε suficientemente pequeno, (x∗, z∗)
´e um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico do tipo j+1 de (Σε). Isto implica que j = 0,
isto ´e, (x∗, z∗) ´e um ponto de equil´ıbrio assintoticamente est´avel de (Σo).
6.3.2
Equil´ıbrios na Fronteira da ´Area de Atra¸c˜ao
Nesta se¸c˜ao, estabelece-se a rela¸c˜ao existente entre os pontos de equil´ıbrio na fron- teira da ´area de atra¸c˜ao do sistema singularmente perturbado (Σε) com os pontos de
equil´ıbrio nas fronteiras da ´area de atra¸c˜ao dos sistemas lento (Σo) e r´apido (ΠBLS).
Vimos no cap´ıtulo 3, para sistemas dinˆamicos autˆonomos, sob condi¸c˜oes bem razo´aveis, tais como as condi¸c˜oes de campos vetorias de Morse-Smale, que a fronteira da ´area de atra¸c˜ao ´e caracterizada pela uni˜ao das variedades est´aveis daqueles pontos de equil´ıbrio que pertencem a fronteira da ´area de atra¸c˜ao. Portanto, ´e importante estabelecer a rela¸c˜ao entre os pontos de equil´ıbrio que pertencem a fronteira da ´area de atra¸c˜ao de (Σε) e os pontos de equil´ıbrio que pertencem a fronteira da ´area de
atra¸c˜ao de (Σo) e (ΠBLS).
Zou et al. [45] estudaram esta rela¸c˜ao para pontos de equil´ıbrio em componentes est´aveis de Γ provando o seguinte resultado:
Teorema 6.3.5 [45] Suponha que (xs, zs) e (xu, zu) sejam respectivamente pontos
de equil´ıbrio est´avel e inst´avel de (Σo) em uma componente est´avel Γs. Suponha
que para cada ε > 0, o sistema singularmente perturbado (Σε) possua uma fun¸c˜ao
energia e seus pontos de equil´ıbrio sejam todos isolados. Ent˜ao, existe um ε∗ > 0 tal
que para todo ε ∈ (0, ε∗), o ponto de equil´ıbrio inst´avel (xu, zu) pertence a fronteira
da ´area de atra¸c˜ao ∂Ao(xs, zs) de (Σo) se e somente se (xu, zu) pertence a fronteira
da ´area de atra¸c˜ao ∂Aε(xs, zs) de (Σε).
A Figura 6.1 ilustra o Teorema 6.3.5. Ele estabelece a rela¸c˜ao entre os pontos de equil´ıbrio quando (xu, zu) pertence a uma componente est´avel Γs de Γ. Ele afirma
65 (x ,z )u u (Σ )ε (x ,z )u u (Σ )ο Γs Γs (x ,z )s s A (x ,z )s s A (x ,z )s s (x ,z )s s
Figura 6.1: Ilustra¸c˜ao geom´etrica do Teorema 6.3.5. O ponto de equil´ıbrio inst´avel (xu, zu) pertence a fronteira da ´area de atra¸c˜ao de (xs, zs) do sistema (Σ
o) se e
somente se (xu, zu) pertence a fronteira da ´area de atra¸c˜ao de (xs, zs) do sistema
(Σε), para ε suficientemente pequeno
.
sistema reduzido (Σo) se e somente se ele pertence a fronteira da ´area de atra¸c˜ao do
sistema singularmente perturbado (Σε) para ε suficientemente pequeno. Entretanto,
este n˜ao ´e sempre o caso.
Em muitas situa¸c˜oes pr´aticas, o ponto de equil´ıbrio inst´avel pertence a uma componente Γu de Γ do tipo 1. O pr´oximo teorema estuda este caso.
Lema 6.3.6 Considere o sistema (Σε) e os subsistemas associados (Σo) e (ΠBLS).
Suponha que para todo ε > 0, o sistema (Σε) possua uma fun¸c˜ao energia e seus
pontos de equil´ıbrio sejam isolados. Seja (xs, zs) um ponto de equil´ıbrio assintoti-
camente est´avel de (Σo) na componente est´avel Γs e (xu, zu) um ponto de equil´ıbrio
assintoticamenete est´avel de (Σo) na componente Γu de Γ do tipo 1. Suponha que
(xu, z∗) perten¸ca a A
o(xs, zs) ⊂ Γs e (xu, zu) perten¸ca a fronteira da ´area de atra¸c˜ao
∂ABLS(xu, z∗) do subsistema r´apido (ΠBLS) para x = xu fixo. Ent˜ao existe ε∗ > 0 tal
que, para todo ε ∈ (0, ε∗), o ponto de equil´ıbrio inst´avel (xu, zu) pertence a fronteira
da ´area de atra¸c˜ao ∂Aε(xs, zs) de (Σε).
Demonstra¸c˜ao:
Para provar que (xu, zu) pertence a ∂A
ε(xs, zs), temos que mostrar que existem
pontos, arbitrariamente pr´oximos de (xu, zu), tal que as trajet´orias de (Σ
ε) iniciando
nestes pontos tendem para o ponto de equil´ıbrio assintoticamente est´avel (xs, zs)
quando t → ∞.
Por hip´otese, (xu, zu) ∈ ∂A
BLS(xu, z∗). Logo, para qualquer n´umero r > 0,
Br(xu, zu) ∩ ABLS(xu, z∗) 6= ∅, portanto deve existir um ponto (x1, z1) ∈ Br(xu, zu)
tal que φ(τ, x1, z1) → (xu, z∗) quando τ → ∞.
Para qualquer n´umero ρ > 0 arbitrariamente pequeno, existe um tempo T1(ρ) >
0 tal que (ˆx, ˆz) = φ(T1, x1, z1) ∈ Bρ2(xu, z∗). Usando a teoria de perturba¸c˜oes
Γs (x ,z )s s Γu (x ,z )u u (x ,z )* ο (Σ ) (Π )x BLS r ρ υ
Figura 6.2: Ilustra¸c˜ao geom´etrica do Lema 6.3.6 . Γs (x ,z )s s Γu (x ,z )u u (x ,z )* (Σ )ε (x ,z )s s A (x ,z )s s A r ρ υ
Figura 6.3: Ilustra¸c˜ao geom´etrica do Lema 6.3.6 .
kφε(T1, x1, z1) − φ(T1, x1, z1)k < ρ2 para todo ε ∈ (0, ε∗∗). Portanto, da desigualdade
triangular, φε(T1, x1, z1) ∈ Bρ(xu, z∗) para todo ε ∈ (0, ε∗∗).
Por outro lado, sabe-se que (xu, z∗) ∈ A
o(xs, zs), isto ´e, ϕo(t, xu, z∗) → (xs, zs)
quando t → ∞. Para um n´umero ν arbitrariamente pequeno, existe um tempo T2 >
0 tal que ϕo(T2, xu, z∗) ∈ Bν
2. Como ρ pode ser escolhido arbitrariamente pequeno,
O teorema de Tikhonov, para intervalos finitos de tempo, garante a existˆencia de ˆ
ε > 0 tal que ϕε(T2, φε(T1, x1, z1)) ∈ Bν(xs, zs) para todo ε ∈ (0, ˆε).
Uma escolha de ν suficientemente pequena e a estabilidade exponencial de (xs, zs)
com rela¸c˜ao a (Σo) garante, via teorema de Tikhonov para intervalos infinitos de
tempos, que ϕε(t, ϕε(T2, φε(T1, x1, z1))) ´e limitada para t ≥ 0 e permanece pr´oxima
de (xs, zs) para ε suficientemente pequeno. A existˆencia de uma fun¸c˜ao energia
para (Σε) implica que ϕε(t, x1, z1) → (xs, zs) quando t → ∞ para ε suficientemente
67