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A mecânica clássica dos materiais possui uma abordagem física e generalista do comportamento estrutural. A estrutura é imaginada em um modelo estrutural analítico linear simplificado e geral. Na análise estrutural pela mecânica clássica não são, por exemplo, considerados os comportamentos variados dos materiais constituintes dos elementos estruturais.

Desde o ano 1678, o comportamento elástico dos materiais pode ser descrito a partir da lei de Hooke, onde a deformação elástica do material é proporcional à força aplicada. Apesar de essa generalização ser observada apenas em determinados materiais e em determinadas condições, ela possui um grande utilidade prática.

Até o século XIX, a mecânica dos materiais considerava que os materiais das estruturas tinham comportamento que seguiam a lei de Hooke em um comportamento elástico uniforme ao longo da seção do elemento estrutural. No começo do século XIX, estudos trouxeram novos fundamentos para o comportamento elásticos dos elementos estruturais (TIMOSHENKO, 1953). A ideia, existente desde a época de Newton, era de que o

comportamento elástico do material poderia ser explicado a partir das forças de atração e repulsão de suas “partículas internas”, ou seja, das forças de atração e repulsão dos átomos. Já na época, alguns autores como Roger Joseph Boscovich propunham que as forças entre os átomos de um material são relacionadas à distância entre os mesmos. Segundo a teoria de Boscovich, em certas distâncias, as forças entre os átomos são atrativas e em outras e menores distâncias as mesmas se tornam repulsivas, sendo que existe uma distância que os átomos estão em equilíbrio, portanto a força é nula.

Em 1812, matemático e físico francês Siméon Denis Poisson realiza estudos sobre a flexão de vigas utilizando as ideias de Boscovich. Em 1821, Claude Louis Marie Henri Navier, engenheiro e matemático francês, adota a teoria de Boscovich em seu modelo de comportamento de vigas, considerando que as força entre os átomos das seções da viga em flexão é proporcional à distância entre as seções. Uma vez que, na flexão a parte inferior da viga alonga, afastando os átomos das seções, a parte inferior é tracionada em uma força proporcional a este alongamento e a propriedade elástica do material. O contrário ocorre na parte superior, ela encurta e sofre compressão. A originalidade da abordagem de Navier foi considerar dois sistemas distintos de equilíbrio de forças: um interno, atuando sobre os átomos do material estrutural; e outro externo, equilibrando os esforços e carregamentos. Assim, ele pode aplicar a lei de Hooke a este sistema interno, definindo um modelo teórico matemático adequado ao comportamento de elementos estruturais a flexão. Este modelo corrigiu o erro da teoria de vigas de Galileu e é utilizado até hoje (Figura 72).

Figura 72 - Diagrama de esforços na seção de uma viga Fonte: autor

Os trabalhos de Navier são considerados os fundadores da moderna análise estrutural. Também a partir de Navier, a análise estrutural passa a incorporar fortemente uma abordagem matemática. Os fenômenos físicos descritos e estudados nas análises passam a ser representados por equações matemáticas. Como exemplos desta relação tem a introdução controversa da constante elástica nos cálculos e análises estruturais.

Navier assumiu em sua teoria da elasticidade que a força elástica de um material era diretamente proporcional a distância de seus átomos. Deste modo, considerando um material isotrópico, ou seja, um material que mantém suas propriedades em diferentes direções, é possível estabelecer relações entre um determinado material e sua propriedade de resistir a uma determinada força. Assim, nesse caso, poderia ser introduzida uma constante elástica referente a esta propriedade intrínseca do material.

Inicialmente autores como o matemático francês Augustin-Louis Cauchy utilizou duas constantes para os estudos de elasticidade. Mais tarde o próprio Cauchy junto com Poisson, adotaram seis componentes para as tensões do material, introduzindo 36 constantes elásticas. Com o desenvolvimento dos estudos, Poisson demonstrou que nos materiais isotrópicos existia uma relação entre as tensões axiais e laterais, relacionando as mesmas e simplificando a constante elástica para situações de simples compressão ou tração. COMPRESSÃO TRAÇÃO SE Ç Ã O D O E EE M E N TO ES TR U TU R A E EINHA NEUTRA FO R Ç A

A ideia de uma única constante elástica para materiais isotrópicos foi amplamente aceita nos primeiros anos da teoria da elasticidade. Porém, em 1828, o matemático e físico inglês George Green, apresenta estudos sobre a eletricidade e magnetismo, introduzindo a função potencial para descrever os fenômenos físicos. A função potencial representava as forças naturais como potências matemáticas que satisfaziam a equação de Laplace46

. Assim, surgem estudos de derivações da representação matemática da teoria da elasticidade substituindo o espaço vetorial por funções potenciais. A conclusão desses trabalhos obtém duas constantes elásticas para materiais isotrópicos e 21 constantes para materiais não isotrópicos.

A partir de então a teoria da elasticidade inicia uma controvérsia entre duas escolas: os seguidores de Navier e Chachy, que utilizam 1 constante para materiais isotrópicos e 15 para os demais; e os seguidores de Green, que utilizam 2 constantes e 21 constantes para as mesmas condições47

.

Nesta época, iniciou-se na universidade de Cambridge, um grupo de estudos sobre elasticidade que trouxeram inúmeras contribuições para o desenvolvimento da teoria. Entre elas destacam-se as contribuições de George Gabriel Stokes, vindas das investigações do autor sobre a dinâmica de fluidos. Na escola francesa, podemos destacar as contribuições do engenheiro Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant. Saint- Venant que introduzem a questão da torção, cargas dinâmicas e vibração na teoria da elasticidade. O autor investigou a aplicação da teoria da elasticidade na prática da engenharia e arquitetura.

A teoria da elasticidade permitiu que a análise estrutural obtivesse adequados resultados frente às condições físicas as que as estruturas são submetidas. É um importante método

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A equação de Laplace é uma equação diferencial desenvolvida a partir doe estudos astronômicos do matemático, astrônomo e físico francês Pierre Simon Marquis de Laplace. A equação busca descrever através de modelos matemáticos o comportamento de diversos fenômenos físicos como a astronomia, eletricidade, fluidos, a partir de funções matemáticas destes fenômenos.

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Apenas por curiosidade, vale destacar que a polêmica entre as escolas da teoria de elasticidade dos franceses Navier e Cauchy e a do inglês Green, repete muitas outras polêmicas França/Inglaterra observadas na Ciência, como, por exemplo, Racionalista versus Empiristas. Talvez, aqui, tenhamos a indicação da influência psicológica subjetiva do ser mesmo em questões objetivas.

com boa aproximação da realidade do fenômeno. Mas, como todo conhecimento teórico, possui suas limitações, inerentes as simplificações necessárias. Entendemos, hoje, que a rigor, nenhum material tem um comportamento isotrópico absoluto. Nosso próprio entendimento dos sistemas das forças naturais muda e evolui. Hoje, por exemplo, descrevemos forças e espaços por equações diferenciais não lineares48

, adequadas a determinadas condições observadas nos diversos fenômenos físicos. As estruturas têm comportamentos complexos e variados e, apesar da boa aproximação pela teoria da elasticidade, elas podem ser descritos com mais rigor. Além disto, as soluções analíticas pela teoria da elasticidade são possíveis para estruturas de geometria simples. Quando as estruturas tem geometria complexas e comportamentos não lineares o método não é adequado. Para estes objetivos foram desenvolvidos novas ferramentas de análises estruturais, como os métodos de aproximação numérica.