Para resolver os outros problemas de PL solicitados pela metaheur´ıstica VNS usamos o quadro dual simplex de um problema de PL anteriormente resolvido. Verificamos que esse quadro dual simplex pode ser qualquer um deles desde que na base n˜ao se encontre uma vari´avel tipo ri e elas estejam todas na qualidade de vari´aveis n˜ao b´asicas no seu limite inferior.
Portanto, para resolver de forma eficiente um problema de PL quando j´a foram resolvidos anteriormente outros problemas de PL, neste trabalho, foi implementada a seguinte estrat´egia: • Usar a base inicial e o quadro dual simplex inicial do primeiro problema de PL at´e encontrar uma incumbente com base n˜ao degenerada, isto ´e, at´e que seja resolvido um PL proposto pelo algoritmo VNS e que corresponde a uma proposta de solu¸c˜ao sem corte de carga e a proposta de menor investimento e, adicionalmente, n˜ao tenha uma base degenerada.
• Resolver todos os outros problemas de PL usando base final e o quadro dual simplex final da ´ultima incumbente com base n˜ao degenerada.
• Para que o quadro dual simplex escolhido para resolver o novo PL se encontre pronto devemos apenas atualizar a coluna independente RHS com os novos valores das vari´aveis n˜ao b´asicas e obviamente atualizar o valor dos limites das vari´aveis tipo fij. Lembramos que mesmo que preservemos a natureza dos limites das vari´aveis tipo fij (o limite inferior ou superior especificado no quadro dual simplex escolhido para montar o quadro inicial) os valores desses limites de algumas dessas vari´aveis podem mudar porque na nova proposta estamos adicionando ou retirando linhas de transmiss˜ao. Obviamente, os limites das vari´aveis b´asicas tamb´em podem mudar. Como resultado dessa atualiza¸c˜ao encontramos os novos valores da coluna independente RHS, isto ´e, os novos valores das vari´aveis b´asicas incluido o valor da fun¸c˜ao objetivo.
Para ilustrar o processo de resolu¸c˜ao de um novo problema de PL vamos resolver um novo PL para o sistema el´etrico mostrado na figura 3.1. Vamos supor que aparece uma nova proposta de investimento:
n12 = n13= n14 = 1 n23= n24 = 0
isto ´e, uma proposta com a adi¸c˜ao de 3 novas linhas de transmiss˜ao. Para resolver esse novo PL usamos o quadro inicial do problema de PL que corresponde ao primeiro problema de PL (o problema de PL inicial que corresponde a uma proposta sem investimento j´a resolvido anteriormente).
Neste caso devemos observar apenas que os novos limites das vari´aveis tipo fij assumem os seguintes valores: −70 ≤ f12 ≤ 70 −80 ≤ f13 ≤ 80 −80 ≤ f14 ≤ 80 −40 ≤ f23 ≤ 40 0 ≤ f24≤ 0 e as outras vari´aveis permecem com os mesmos limites.
Com esses novos valores e sem mudar a natureza atual do limite encontramos os novos valores da coluna RHS, isto ´e, os valores das vari´aveis b´asicas e da fun¸c˜ao objetivo. Esses valores s˜ao os seguintes:
xB = g1 f23 f13 f14 = 190 −10 60 60 =⇒ w = 0
Observemos que a vari´avel f12foi mantido como n˜ao b´asica no limite superior mas como novo valor de f12 = 70 e f24 = 0 permanece sem mudan¸ca. O quadro dual simplex montado dessa forma est´a pronto para ser otimizado usando o algoritmo dual simplex canalizado. Podemos verificar que esse quadro satisfaz o crit´erio de factibilidade e, portanto, ´e um quadro ´otimo e, assim, encontramos a solu¸c˜ao ´otima do novo PL sem nenhuma itera¸c˜ao do quadro dual simplex, apenas encontrando os novos valores da coluna RHS e verificando a factibilidade do quadro. Este fenˆomeno poder´a acontecer com muita frequˆencia na resolu¸c˜ao dos novos problemas de PL. A solu¸c˜ao ´otima desse PL ´e seguinte:
f12= 70 f13= 60 f14 = 60 f23 = −10 f24= 0 g1 = 190 r2 = 0 r3 = 0 r4 = 0 w = 0 M W Os detalhes completos da resolu¸c˜ao desse novo PL encontram-se no Apˆendice.
Para ilustrar a forma de usar o quadro simplex final de uma proposta de solu¸c˜ao que n˜ao apresenta corte de carga vamos resolver um ´ultimo exemplo neste cap´ıtulo. Neste caso vamos supor que temos a seguinte proposta de investimento sugerido pelo algoritmo VNS:
n13 = 2 n14= 1 n12= n23= n24 = 0
isto ´e, uma proposta com a adi¸c˜ao de 3 novas linhas de transmiss˜ao. Esta proposta na verdade ´e vizinha do exemplo anterior onde foi retirada a linha do caminho 1 − 2 e adicionada uma linha no caminho 1 − 3.
Para resolver esse novo PL usamos o quadro final do problema de PL que n˜ao apresenta corte de carga e que na verdade ´e nossa incumbente corrente.
Neste caso devemos observar apenas que os novos limites das vari´aveis tipo fij assumem os seguintes valores: −35 ≤ f12 ≤ 35 −120 ≤ f13 ≤ 120 −80 ≤ f14 ≤ 80 −40 ≤ f23 ≤ 40 0 ≤ f24≤ 0 e as outras vari´aveis permanecem nos mesmos limites.
Com esses novos valores e sem mudar a natureza atual do limite encontramos os novos valores da coluna RHS, isto ´e, os valores das vari´aveis b´asicas e da fun¸c˜ao objetivo. Esses valores s˜ao os seguintes:
xB = g1 f23 f13 f14 = 190 −45 95 60 =⇒ w = 0
Podemos verificar que a ´unica vari´avel b´asica que tem o limite violado ´e a f23= −45 com o limite inferior violado. Essa vari´avel sai da base sendo substitu´ıda pela vari´avel n˜ao b´asica r2 Assim, o algoritmo dual simplex canalizado encontra a solu¸c˜ao ´otima do novo PL em apenas uma itera¸c˜ao com a seguinte solu¸c˜ao ´otima:
f12= 35 f13= 90 f14 = 60 f23 = −40 f24= 0 g1 = 185 r2 = 5 r3 = 0 r4 = 0 w = 5 M W A solu¸c˜ao completa desse exemplo se encontra no Apˆendice.
Como foi mencionado anteriormente, no algoritmo VNS, a solu¸c˜ao corrente tamb´em ´e a incumbente (esse comportamento n˜ao acontece nas outras metaheur´ısticas) e, portanto, os problemas de PL que resolvemos correspondem a propostas de solu¸c˜oes vizinhas da solu¸c˜ao
corrente (a diferen¸ca entre a proposta de solu¸c˜ao corrente, que tamb´em ´e a incumbente, e a proposta de solu¸c˜ao vizinha a ser analisada ´e apenas em um n´umero reduzido de linhas de transmiss˜ao e depende do n´ıvel de vizinhan¸ca que estamos trabalhando no algoritmo VNS). Assim, se escolhermos a base final e o quadro dual simplex final da incumbente para resolver o novo problema de PL, esperamos que a solu¸c˜ao ´otima do novo PL seja encontrada em poucas itera¸c˜oes dual simplex canalizadas . Essa proposta foi implementada neste trabalho.