Dalga spektrumu kavramı ve deney kayıtlarından

Spektrum fonksiyonu fiziksel olarak düzensiz dalga serisi içinde her frekansa tekabül eden enerjinin ifadesidir (Goda, 1985) ve boyutu uzunluğun karesi çarpı zaman [L2.T] şeklindedir. Genel olarak bir dalga spektrumu aşağıdaki şekilde ifade edilmektedir (Techet, 2005):

( )

_B/ 4 5 A S ω e ω ω − = (6.19)

Burada S spektrum fonksiyonu, ω açısal frekans, A ve B spektrumda kullanılan ve düzensiz dalga serisinin özelliklerini yansıtan boyutlu sabitlerdir. Düzensiz rüzgar dalgalarının oluşturduğu spektrum fonksiyonunun şekli, denizin gelişmişlik durumuna (denizin fiziksel olarak taşıyabileceği dalga enerjisinin ne kadarının rüzgar enerjisi tarafından sağlandığına) bağlıdır. Şekil 6.34’te farklı spektrum şekilleri için denizin gelişmişlik durumu karşılaştırılmıştır.

Yerel rüzgarlar altında tam gelişmiş deniz durumunu betimleyen Pierson-Moskowitz spektrumu, tek parametreli olması itibarı ile en kolay karakterize edilen spektrum ifadesi sayılabilir. Genel şekli SI sisteminde (6.20)’deki gibidir.

( )

( ) 2 2 2 0,032 / 3 5 8,1 10 s g H g S ω e ω ω − = (6.20)

Şekil 6.34 : Denizin farklı gelişmişlik durumları için düzensiz dalga spektrumu şekillerinin kıyaslanması (Techet, 2005).

Burada g yerçekimi ivmesi (m/s2), Hs ise düzensiz dalga serisinin en yüksek 1/3’lük

dilimine karşılık gelen yükseklik olan belirgin dalga yüksekliğidir (m). Aslında Pierson-Moskowitz spektrumu iki parametreli bir spektrum olan Gamma spektrumunun özel bir halidir (Goda, 1985). İfadesi (6.21)’de verilmiş olan bu spektrumda belirgin dalga yüksekliğinin yanında düzensiz dalga serisinin analizinden elde edilen sıfırı kesme ortalama periyodu (Tz) da bağımsız değişken olarak

kullanılmaktadır:

( )

4 1 3 2 2 4 5 4 Tz s z H S e T ω π π π ω ω −   −     = (6.21)

Bir kıyı bölgesinde, birden fazla bileşenin bir araya gelmesiyle oluşan birleşik

spektrumlar da gözlemlenebilir. Bu olayın en bilinen örneğini solugan dalga (veya

ölü deniz) tabir edilen açıktaki bir bölgede oluşmuş ve mesafe ile kısmen sönümlenerek gözlem bölgesine ulaşmış düzensiz dalga serileri teşkil etmektedir. Bu durumda gözlenen spektrum yerel rüzgar özelliklerinin etkilediği spektrum fonksiyonu ile solugan dalgaların spektrum fonksiyonunun toplamı olacaktır:

( )

yerel

( )

solugan

( )

S ω =S ω +S ω (6.20)

Dalgaların tek bir yönden gelmemesi, belli bir yönsel yayılım içermesi durumunu tanımlamak için spektrumlar bir yönsel yayılım fonksiyonu ile geliştirilebilmektedirler. Bu durumda spektrumun ifadesi aşağıdaki gibi olmaktadır:

tam gelişmiş deniz

gelişen deniz

gelişmeye başlayan deniz

(

,

)

( ) (

,

)

S+ ω µ S ω M µ ω

= (6.21)

Burada µ gelen dalganın baskın dalga yönüyle yaptığı açı ve M spektrumun yönsel yayılım fonksiyonudur (Techet, 2005). Bu yönsel yayılım fonksiyonu için literatürde birçok farklı yaklaşım ortaya konsa da, en bilineni ve deniz mühendisliği uygulamalarında en çok kullanılanı Mitsuyasu’nun 1975’te ortaya koyduğu yöntemdir (Goda, 2008a). Yine de kıyı yakınlarındaki bölgelerde, özellikle kıyı boyu katı madde hareketi veya kirletici yayılımı gibi süreçlerin incelenmesinde, her bir fırtınanın tek bir baskın yönden geldiği kabulü doğrultusunda hesaplama yürütülmesi günümüzdeki kıyı mühendisliği uygulamalarında hakim yaklaşımdır (Goda, 2008b). Düzensiz bir dalga katarının sabit bir örnekleme aralığıyla sayısal olarak kaydedilmiş su kotu zaman serisinden dalga spektrumu birkaç aşamada elde edilebilmektedir. Spektrum açısal frekansın bir fonksiyonu olduğuna göre, öncelikle eldeki zaman serisinin tanım kümesini zamandan frekansa çevirmek gereklidir. Bu da eldeki zaman serisini sürekli, (-∞ , +∞) aralığında her noktada tanımlı ve türevlenebilir bir fonksiyon olarak kabul edip, Fourier serisi açılımıyla ifade ederek sağlanabilir. Bir fonksiyonun Fourier serisi açılımı kısaca sonlu değerdeki o fonksiyonun “sonsuz boyutlu bir uzaydaki vektörel ifadesi” şeklinde ortaya konabilir (Strang, 1988). Bu sonsuz boyutlu uzaydaki sonsuz sayıda vektör de birbirleriyle ortagonal özellikte olan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarıyla ifade edilir. Eldeki zaman serisi η (t) fonksiyonu ise, Fourier serisi açılımı şu şekilde olacaktır:

( )

0 1 1 2 2

lim cos sin cos 2 sin 2 ...

... cos sin N N N t a a t b t a t b t a Nt b Nt η →∞ = + + + + + + + (6.22)

Fourier serisinin N terimle ifade edilen yukarıdaki halinde n. terimin belirlenmesi için yapılan işlem ise Fourier dönüşümü olarak anılmaktadır.

Fourier dönüşümü ile bulunan terimler karmaşık sayı halindedir. Zira karmaşık sayıları ifade eden sanal eksen ile gerçek eksen ortagonaldir. Bu amaçla

1

i= − biçiminde bir sanal kök tanımlanırsa, bir karmaşık sayı p= +r i qşeklinde olacaktır. Burada hem p hem de q reel sayılar olmak üzere, sırasıyla karmaşık sayının gerçek ve sanal kısmını ifade ederler. Karmaşık Kartezyen koordinat sisteminde cn

r büyüklüğünde bir vektör;

(

cos sin

)

i

n n n

cr = c θ+i θ = c eθ (6.23)

şeklinde ifade edilecektir. Burada, matematik ve mühendislik hesaplamaları açısından tarihteki en önemli eşitliklerden biri sayılan Euler eşitliği (özdeşliği) görülmektedir (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_identity, 2008). Bölüm 8’de ayrıntılı olarak açıklanacağı üzere; hem genel olarak iki boyutlu bir potansiyel akım ortamındaki akım ve potansiyel denklemlerinin ifadesinde, hem de özel olarak lineer dalgadaki hız potansiyeli fonksiyonunun zaman teriminden bağımsız halde (sadece uzaysal koordinatlarla) yazılabilmesi için karmaşık sayılardan ve Euler özdeşliğinden sıkça faydalanılmaktadır. Karmaşık Kartezyen koordinat sisteminde ifade edilen birim vektör Şekil 6.35’te gösterilmiştir.

Şekil 6.35 : Karmaşık düzlemde birim vektörün gösterimi ve Euler özdeşliği (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_identity).

Yukarıda tanımlanan özelliklerdeki η (t) fonksiyonu için n. terimi veren Fourier dönüşümü ifadesi aşağıda verildiği gibidir:

( )

( )

ˆ i t n c η ω +∞η t e−ωdt −∞ = =

∫

(6.24)

Burada ω, n. terim için tanımlanan açısal frekanstır ve şu şekilde ifade edilir: 2 n

ω = π (6.25)

Zaman serisi fonksiyonu artık frekans cinsinden tanımlandığı için spektrum fonksiyonu da aşağıdaki gibi hesap edilebilecektir:

( )

1 ˆ

( )

2 S ω η ω π = (6.26) (Gerçek) (Sanal)

Ne var ki deney verileri belli bir süre boyunca (Tkayıt) ve süreksiz olarak (∆t zaman

aralıklarında) kaydedilmektedir. Bu durumda N adet veri (η

( )

t ) için N-1 adet Fourier serisi terimi (η ω ) elde edilebilecek ve bu dönüşüm için uygulanacak işlem de ayrık ˆ

( )

Fourier dönüşümü olacaktır (Strang, 1988). Bu durumda n. terim için açısal frekans; 2 kayıt n T π ω = (6.27)

şeklinde hesaplanabilir. Veriler ∆t zaman aralıklarında (veya f0 = 1/∆t örnekleme

frekansıyla) kaydedildiği için N-1. terimin frekansı f0, açısal frekansı da ω0 = 2πf0

olacaktır. Bu durum, Fourier çözümlemesi örnekleme sıklığından daha ayrıntılı yapılamayacağı için tutarlılık arz etmektedir.

Süreksiz Fourier dönüşümü işlemini hızlı ve verimli olarak yapabilmek için en sık kullanılan yöntem “hızlı Fourier dönüşümü” (FFT) olarak bilinen algoritmadır. Bu algoritma sayesinde dönüşümün gerçekleştirilebilmesi için gerekli işlem sayısı muazzam derecede azaltılabilmektedir. Hızlı Fourier dönüşümünde veri sayısı her basamakta iki parçaya ayrılarak çapraz adresleme ile çözümlendiğinden, N toplam veri sayısı olmak üzere log2N değerinin tam sayı olması gerekmektedir. Birçok paket

bilgisayar programı ile yapılabilen FFT işlemi bu tez çalışmasında MS Excel 2007 programındaki “veri çözümleme paketi eklentisi” ile gerçekleştirilmiştir.

6.2.2 Düzensiz dalga serilerinde dalga yüksekliklerinin istatistiksel özellikleri

Belgede Düşey Yüzlü Kıyı Yapılarında Önyüz Konfigürasyonunun Yapı Performansına Etkisi (sayfa 93-97)