Em [2], Arhangel’ski˘ı demonstrou o seguinte teorema:
Teorema 1.8.1 (Arhangel’ski˘ı [2]). Se X é um espaço de Hausdorff, então |X| ≤ 2L(X)·χ(X). Em particular, se X é de Lindelöf e tem caráter enumerável, então |X| ≤ c.
Ainda em [2], Arhangel’ski˘ı perguntou se a hipótese de caráter enumerável no caso particular do teorema acima pode ser enfraquecida para pseudocaráter enumerável: Problema 1.8.2 (Arhangel’ski˘ı [2]). Existe um espaço de Lindelöf T2 cujos pontos são
todos Gδ e cuja cardinalidade é maior que c?
Há exemplos mostrando que a resposta afirmativa é consistente — vide e.g. [54] e [22]. A consistência de uma resposta negativa permanece em aberto; há resultados parciais nesse sentido obtidos a partir de hipóteses envolvendo grandes cardinais, dentre os quais destacamos o teorema 1.8.4 a seguir.
Definição 1.8.3 (Tall [60]). Um espaço de Lindelöf X é indestrutível se X é um espaço de Lindelöf em toda extensão por forcing enumeravelmente fechado. X é dito destrutível se não é indestrutível.
Cabe aqui mencionar que, por um resultado devido a S. Shelah (vide [60, teorema 3] ou [32, lema 5.3]), tem-se que um espaço de Lindelöf X é indestrutível se, e somente se, X é de Lindelöf em toda extensão genérica pelo forcing (F n(ω1, ω, ℵ1), ⊇).
1.8. Espaços indestrutíveis 21 Teorema 1.8.4 (Tall [60]). Se a existência de um cardinal supercompacto2 é consis-
tente com ZFC, então também é consistente com ZFC que todo espaço de Lindelöf T2
indestrutível cujos pontos são Gδ possui cardinalidade ≤ c.
O conceito de indestrutibilidade introduzido por Tall em [60] propicia, assim, a se- guinte via de investigação para o problema de Arhangel’ski˘ı, a qual é objeto de pesquisa neste tópico desde então:
Problema 1.8.5 (Tall [60]). Um espaço de Lindelöf T2 cujos pontos são Gδ pode ser
destrutível?
É válido notar a seguinte caracterização de indestrutibilidade para espaços compactos: Proposição 1.8.6 (Tall [17]). Um espaço compacto X é indestrutível se, e somente se, X é compacto em toda extensão por forcing enumeravelmente fechado.
Demonstração. A recíproca é imediata. Para a implicação direta, tome uma cobertura aberta U de X na extensão; podemos supor que todos os elementos de U são abertos básicos, e portanto abertos de X no modelo inicial M. Na extensão, existe uma sub- cobertura enumerável U0 ⊆ U de X, uma vez que X é indestrutível. Como o forcing é
enumeravelmente fechado, segue do lema 1.2.1 que U0 ∈ M; assim, como X é compacto
em M, existe um subconjunto finito F ⊆ U0 ⊆ U tal que X =S F. q.e.d.
Uma conexão inesperada entre indestrutibilidade e jogos topológicos foi estabelecida por Scheepers e Tall em [50]:
Teorema 1.8.7 (Scheepers-Tall [50]). Um espaço de Lindelöf X é indestrutível se, e somente se, o jogador Um não possui estratégia vencedora no jogo Gω1
1 (OX, OX).
2
A definição de cardinal supercompacto será omitida por se tratar de um conceito que não ocorrerá novamente neste texto; mencionamos apenas que todo cardinal supercompacto é fracamente compacto, e que a consistência da existência de um cardinal supercompacto é uma hipótese estritamente mais forte que a consistência da existência de um cardinal fracamente compacto.
O teorema 1.8.7 será nossa principal ferramenta para tratar de espaços indestrutíveis neste trabalho.
Capítulo 2
Sobre algumas variações de
separabilidade
Em [38], Kurepa introduziu uma generalização de separabilidade hoje conhecida como d- -separabilidade. Uma versão seletiva desta propriedade foi definida por Bella, Matveev e Spadaro em [9] e denominada D-separabilidade; também em [9], isto conduziu à definição de D+-separabilidade, a qual é uma versão mais forte de D-separabilidade expressa em
termos de jogos topológicos.
Na seção 2.1, apresentamos as definições das propriedades que serão nosso objeto de estudo nesse capítulo (o que inclui propriedades auxiliares aqui introduzidas) e demons- tramos algumas relações entre as mesmas. As seções 2.2 e 2.3 são dedicadas a estabelecer condições que, aliadas a d-separabilidade, impliquem D- e D+-separabilidade, respecti-
vamente. Em particular, o corolário 2.3.5 responde uma pergunta feita em [9].
Por uma questão de conveniência, todos os espaços topológicos considerados neste capítulo serão assumidos T1.
Os resultados deste capítulo foram obtidos em colaboração com Leandro F. Aurichi e Lúcia R. Junqueira, e se encontram no artigo [4].
2.1 As propriedades consideradas
As definições a seguir foram dadas, respectivamente, em [38] — sob outra terminologia — e [9].
Definição 2.1.1 (Kurepa [38]). Um espaço topológico é d-separável se contém um sub- conjunto denso que é σ-discreto, i.e., que é uma reunião enumerável de subconjuntos discretos.
Notemos que d-separabilidade é uma generalização de separabilidade: é imediato que todo espaço separável é d-separável; por outro lado, um espaço discreto não-enumerável é d-separável mas não é separável.
Definição 2.1.2 (Bella-Matveev-Spadaro [9]). Um espaço topológico X é dito
· D-separável se, para toda sequência (En)n∈ω de subconjuntos densos de X, existe
uma sequência (Dn)n∈ω de subconjuntos discretos de X tal que Dn⊆ En para todo
n ∈ ω e S
n∈ωDn = X;
· D+-separável se Dois possui estratégia vencedora no jogo G
dis(DX, DX), definido
como segue: em cada rodada n ∈ ω, o jogador Um escolhe um subconjunto denso En de X, e em seguida o jogador Dois escolhe um subconjunto discreto Dn ⊆ En;
Dois vence se Sn∈ωDn é denso em X, do contrário Um é o vencedor.
Assim, D-separabilidade é uma versão seletiva de d-separabilidade — no mesmo sentido em que a propriedade de Rothberger é uma versão seletiva da propriedade de Lindelöf. É imediato que todo espaço D+-separável é D-separável e que todo espaço
D-separável é d-separável. As recíprocas destas afirmações não valem em geral; vide [9]. No corolário 3.2 de [53], B. Šapirovski˘ı provou que todo espaço topológico que possui uma base σ-ponto-finita é d-separável. O próximo resultado mostra que tal hipótese pode ser enfraquecida. Um espaço topológico X é dito quase-desenvolvível (vide [10])
2.1. As propriedades consideradas 25 se existe um quase-desenvolvimento para X, i.e., uma sequência (Gn)n∈ω de famílias de
subconjuntos abertos de X tal que, para todo x ∈ X, o conjunto {st(x, Gn) : n ∈ ω}\{∅}
é uma base local para X em x, sendo st(x, Gn) =S{V ∈ Gn: x ∈ V }.
Proposição 2.1.3. Considere as seguintes afirmações sobre um espaço topológico X: (a) X possui uma base σ-ponto-finita;
(b) X é quase-desenvolvível; (c) X é d-separável.
Então (a) → (b) → (c).
Demonstração. A implicação (a) → (b) é o teorema 3 de [3]. Para (b) → (c), seja (Gn)n∈ω
um quase-desenvolvimento para X. Para cada n ∈ ω, seja Gn = {Uαn : α ∈ γn} uma
boa-ordenação de Gn; em seguida, para cada α ∈ γn, defina recursivamente:
· Vn
α = Uαn e Anα = {xnα}, sendo xnα qualquer elemento de Uαn \
S
β∈αVβn, se este
conjunto for não-vazio e Un α ∩ S β∈αAnβ = ∅; ou · Vn α = Anα = ∅, se Uαn⊆ S β∈αVβn ou Uαn∩ S β∈αAnβ 6= ∅.
Note que o conjunto Dn=
S
α∈γnA
n
α é discreto. Afirmamos que Sn∈ωDn é denso em X.
De fato, seja Ω um aberto não-vazio de X, e fixe x ∈ Ω. Como (Gn)n∈ω é um
quase-desenvolvimento, tem-se que ∅ 6= st(x, Gn) ⊆ Ω para algum n ∈ ω. Seja ξ =
min{α ∈ γn : x ∈ Uαn}. Por construção, se Dn ∩ Uξn fosse vazio, deveríamos ter que
Un ξ ⊆
S
β∈ξVβn, e assim x ∈ Uξn ⊆
S
β∈ξUβn, o que contradiz a definição de ξ. Portanto,
∅ 6= Dn∩ Uξn ⊆ Dn∩ Ω. q.e.d.
Nas definições 2.1.4 e 2.1.6 a seguir, introduziremos duas propriedades que serão úteis neste capítulo. Sendo X um espaço topológico e Y ⊆ X, dizemos que (Vy)y∈Y é
uma atribuição de vizinhanças abertas — ou, abreviadamente, o.n.a. (do inglês open neighbourhood assignment) — se, para todo y ∈ Y , tem-se que Vy é uma vizinhança
aberta de y em X.
Definição 2.1.4. Dizemos que um espaço topológico X satisfaz a propriedade P se: para todo discreto D ⊆ X, todo o.n.a. (Vd)d∈D e toda sequência (En)n∈ω
de subconjuntos densos de X, existe uma sequência (Dn)n∈ω de subconjuntos
discretos de X tal que ∀n ∈ ω (Dn⊆ En) e ∀d ∈ D (Vd∩Sn∈ωDn6= ∅).
O intuito de considerar esta propriedade auxiliar é obter uma condição que, na pre- sença de d-separabilidade, implique D-separabilidade. A propriedade P cumpre este papel para o caso de espaços de caráter enumerável (como veremos no corolário 2.2.2) e, como veremos a seguir, é uma consequência de outras propriedades topológicas mais usuais. Cabe observar o seguinte fato, cuja demonstração é imediata:
Lema 2.1.5. Todo espaço D-separável satisfaz a propriedade P.
Um espaço topológico X é dito discretamente gerado (vide [18]) se, para todo A ⊆ X e todo x ∈ A, existe D ⊆ A discreto tal que x ∈ D. Este conceito pode ser generalizado tomando-se subconjuntos discretos ao invés de pontos, resultando no seguinte conceito: Definição 2.1.6. Um espaço topológico X é discretamente discretamente gerado (DDG) se, para todo A ⊆ X e todo D ⊆ A discreto, existe D0 ⊆ A discreto tal que D ⊆ D0.
Antes de proceder às relações existentes entre tais propriedades, façamos uma pe- quena observação:
Lema 2.1.7. As seguintes condições são equivalentes para um espaço topológico X: (a) X é hereditariamente coletivamente de Hausdorff;
2.1. As propriedades consideradas 27 (b) para todo discreto D ⊆ X, existe uma família celular {Vd : d ∈ D} em X tal que
Vd∩ D = {d} para cada d ∈ D.
Demonstração. A implicação (b) → (a) é imediata. Para (a) → (b), seja D um subcon- junto discreto de X. Então o conjunto A de todos os pontos de acumulação de D em X é disjunto de D, o que implica que D é um subconjunto fechado e discreto de Y = X \A. Por (a), existe uma família {Vd : d ∈ D} de abertos de Y dois a dois disjuntos tal que
d ∈ Vd para cada d ∈ D. Mas Y é aberto em X, logo Vd é aberto em X para todo
d ∈ D. q.e.d.
Veremos agora como os conceitos anteriores se relacionam. Aqui faremos menção a espaços monotonicamente normais; em lugar de apresentar a definição original deste conceito (introduzido em [25]), mencionaremos a seguinte caracterização (também esta- belecida em [25]): um espaço topológico (X, τ) é monotonicamente normal se, e somente se, existe uma função
Ω : {(x, U ) ∈ X × τ : x ∈ U } → τ
satisfazendo x ∈ Ω(x, U) e tal que Ω(x, U) ∩ Ω(y, V ) 6= ∅ implica x ∈ V ou y ∈ U. Proposição 2.1.8. Considere as seguintes afirmações sobre um espaço topológico X:
(a) X é metrizável;
(b) X é monotonicamente normal;
(c) X é discretamente gerado e hereditariamente coletivamente de Hausdorff; (d) X é DDG;
(e) X satisfaz a propriedade P. Então (a) → (b) → (c) → (d) → (e).
Demonstração. Para a primeira das implicações, fixe uma métrica d sobre X compatível com sua topologia. Para cada par (x, U) com U ⊆ X aberto e x ∈ U, basta tomar r(x, U ) > 0 tal que x ∈ Bd(x, r(x, U )) ⊆ U e definir Ω(x, U ) = Bd(x,r(x,U )2 ).
Pelo teorema 3.10 de [18], todo espaço monotonicamente normal é discretamente gerado. A implicação (b) → (c) segue então deste resultado e do lema 2.1.7; alternativa- mente, este fato decorre também do teorema 3.1 de [25].
Para (c) → (d), sejam D, A ⊆ X tais que D é discreto e D ⊆ A. Pelo lema 2.1.7, existe uma família celular {Vd : d ∈ D} em X tal que d ∈ Vd para todo d ∈ D.
Para cada d ∈ D, seja Ad um subconjunto discreto de A satisfazendo d ∈ Ad. Então
D0 =Sd∈D(Ad∩ Vd) é um subconjunto discreto de A tal que D ⊆ D0.
Finalmente, (d) implica (e) uma vez que podemos tomar D0 ⊆ E0 tal que D ⊆ D0 e
definir Dn = ∅ para n ∈ ω \ {0}. q.e.d.
O próximo resultado faz menção à seguinte propriedade: um espaço topológico X é dito screenable (vide [11]) se toda cobertura aberta de X possui um refinamento que é uma reunião enumerável de famílias celulares.
Proposição 2.1.9. Todo espaço que é hereditariamente screenable satisfaz a propriedade P.
Demonstração. Sejam D, (Vd)d∈De (En)n∈ω como no enunciado da propriedade P. Como
Y = S
d∈DVd é screenable, existe uma sequência (Un)n∈ω de famílias celulares em Y tal
que U = Sn∈ωUn é um refinamento aberto de {Vd : d ∈ D}. Para cada n ∈ ω e cada
U ∈ Un, tome yUn ∈ U ∩ Enarbitrário; como os elementos de Un são dois a dois disjuntos,
segue que Dn = {ynU : U ∈ Un} é um subconjunto discreto de En.
Agora, para d ∈ D arbitrário, sejam k ∈ ω e U ∈ Uk tais que d ∈ U. Como U é um
refinamento de {Vx : x ∈ D} e d /∈ Vx se x ∈ D \ {d}, devemos ter que U ⊆ Vd, logo
yn
U ∈ Vd∩ Dk ⊆ Vd∩
S