Dördüncü Tip Burkulma Problemi

L w

0

q

Şekil 4.9 : Dördüncü Tip Burkulma Problemi

Bu tip problemin literatürdeki kesin sonucunu bilmediğimiz için iki eleman, dört eleman ve sekiz eleman çözümleri yapıldı ve sonuçlar aşağıdaki tabloda gösterildi.

Tablo 4.16 : Yayılı Yük Altında Dördüncü Tip Burkulma Yükü Kritik Burkulma Yükü

(EI/L Eleman Sayısı 3)

2 90,2423 4 75,5561 8 74,6881

5. SONUÇLAR

Bu tez çalışmasında yapılan kabuller doğrultusunda Gateaux diferansiyel yaklaşımı kullanılarak eğri eksenli çubuklara ait bir fonksiyonel sınır terimleri ile birlikte elde edilmiştir. Bu yaklaşımda bütün bilinmeyenler bağımsız değişken olarak kabul edilmiştir.

Fonksiyon çözüm aşaması için artımsal yapıya dönüştürülmüştür. Bu yapının elde edilmesi sırasında iki artımsaldan büyük terimler ihmal edilmiştir. Bulunan artımsal yapının çift artımsallı kısmı sonlu eleman analizinde kullanacağımız eleman matrisini, tek artımsallı kısmı ise yükleme vektörünü verecek şeklide, bütün değişkenlerin artımsal ifadelerine göre türevleri alınmıştır.

Sonlu eleman analizi sırasında kuadratik şekil fonksiyonları kullanıldığından her bir eleman için elemanın sol ucunda, ortasında ve sağ ucunda olmak üzere üçer adet normal kuvvet, moment, yatay yer değiştirme ve düşey yer değiştirme olmak üzere 12 adet bilinmeyen kullanılmıştır. Bulunan yapı içinde bir eleman için, içinde nonlineer terimleri de içeren 12 x 12 büyüklüğüne bir eleman matrisi ve 12 x 1 büyüklüğünde bir yükleme vektörü bulunmuştur.

Ardından sonlu eleman analizi yapıp herhangi bir yükleme altında lineer çözüm bulunmuş ve bulunan bu yeni konum sistemin şekil değiştirmiş hali kabul edilerek yeni artımsal değerler bulunmuştur. Artımsal değerler ve yükleme vektörünün elemanları sıfıra gidinceye kadar enterpolasyon yapılmış ve sıfıra ulaştığı anda problemin çözümü bulunmuştur. Ayrıca fonksiyonel bazı büyüklüklerin ihmal edilmesi ile farklı yapıklarda elde edilmiş ve bunlarında çözümleri aranmıştır.

Bu araştırmalar sırasında kuadratik şekil fonksiyonları kullanılmıştır. Çözümler 2, 4 ve 8 eleman üzerinden yapılmıştır. Sonuçlar incelendiğinde büyük şekil değiştirme ve dış kuvvetler etkisinde ikinci derece mertebeden terimlerin etki açıkça ortaya çıkmıştır.

Bölüm 4.1.2 de, 4.2 de ve 4.3 de sonuçlar lineer teoriye yakın çıkarken, 4.1.1 de sonuçların lineer teoriden uzaklaştığı görülmüştür. Ama aynı problemde ikinci mertebeden büyüklüklerin ihmal edildiği fonksiyonu kullandığımızda sonuçlar lineer teoriye yakın çıkmıştır. Yine 4.1.1 de 2 elemanla düşük kuvvetler altında sonuç alırken, kuvvet büyüyünce sonuç alınamamıştır. Eleman sayısının 4’e ve 8’e çıkarılmasıyla belli bir büyüklüğe kadar sonuç alınmış, ama daha ilerisine gidilememiştir. Ama eleman sayısını arttırınca daha yüksek kuvvetlere çıkılabildiği görülmüştür. Ayrıca şekil fonksiyonları kübik alınırsa daha yüksek kuvvetlere ve daha kesin değerlere gidilebileceği söylenebilir. Fakat bilgisayar kapasitesi ve işlemlerin çok uzun sürmesi sebebiyle eleman sayısı daha fazla arttırılamamış ve kübik şekil fonksiyonları kullanılamamıştır. Bölüm 4.1.2 de, 4.2 de ve 4.3 de ki Tekinalp sonuçları [4] ve [11] den alınmıştır.

Ayrıca fonksiyoneli inceleyebilmek için kendi ekseni doğrultusunda yayılı yük altında Euler burkulma problemleri çözülmüştür. Birinci ve üçüncü tipin sonuçları, literatürdeki sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Ortalama olarak iki eleman da %0.4, dört elemanda %0.05 ve sekiz elemanda %0.003 hata payı ile kritik yayılı yüke ulaşılabiliştir. Elde edilen hata oranları mühendislik açısından kabul edilebilir mertebede olsa da eleman sayısının artırılmasıyla ve şekil fonksiyonlarının mertebelerinin büyültülmesiyle daha iyi sonuçlara gidilebileceği kabul edilmiştir.

KAYNAKLAR

[ ]

1 Bathe, K.J., 2002. Finite Element Procedures, Prentice Hall, New Jersey

[ ]

2 Bradford, M.A. and UY, B. and Pi, Y.L., 2002. In-plane Elastic Stab. of Arches Under a Central Concentrated Load, Jour.of Eng.Mec., 128, 710-719.

[ ]

3 DaDeppo, D.A. and Calhoun, P.R., 1983. Non-linear Finite Element Analysis of Clamped Arches, Journal of Struc. Eng., 109, 599-612.

[ ]

4 Güven, N., 2002. Geometrik Nonlineer Çubukların Hesabı, Yüksek Lisans Tezi, İ.T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul

[ ]

5 Hsiao, K.M. and Hou, F.Y., 1987. Non-Linear Finite Elements Analysis of Elastic Frames, Comput.Struct., 26, 693-701.

[ ]

6 Ibrahimbegoviç, A. and Frey, F., 1993. Finite Element Analysis of Linear and Non-linear Planar Deformations of Elastic Initially Curved Beams.,

Int.Journal.Numer.Methods.Eng., 36, 3239-3258.

[ ]

7 Lee, Y.and Park, K.C., 2002. Numerically Generated Tangent Stiffness Matrices for Nonlinear Structural Analysis, Comp.Met.Appl.Mech.Eng., 191, 5833-5846

[ ]

8 Pak, R.Y.S. and Stauffer, E.J., 1994. Nonlinear Finite Deformation Analysis of Beams and Columns, Journal of Eng. Mech., 120, 2136-2153.

[ ]

9 Pi ,Y.L. and Trahair ,N.S., 1997. Nonlinear Elastic Behaviour of I-Beams Curved in Plane, Journal of Structural Eng., 123, 1201-1209.

[

10

]

Rajasekaran ,S. And Padmanabhan ,S., 1989. Equations of Curved Beams,

Journal of Eng. Mechanics , vol.115, 1094-1111.

[ ]

11 Tekinalp, B., 1954. Düzlem Çubukların Büyük Elastik Yer Değiştirmeleri,

[

12

]

]

]

]

Torkamani, A.M., Sönmez, M. and Cao, J., 1997. Second-order Elastic Plane-frame Analysis Using Finite Element Method, Journal Of Structural

Eng., 123, 1225-1235

[ ]

13 Yang, Y.B. ,Kuo, S.R. and Cherng, Y.D., 1989. Curved Beam Elements For Nonlinear Analysis, Journal Of Eng. Mechanics, 115, 840-855

[

14 Yoo, C.H. ,Kang, Y.J. and Davidson, J.S., 1996. Buckling Analysis of Curved Beams By Finite-Element Discretization, Jour.Of Mech., 122, 762-770

[ ]

15 Yoo, C.H. and Pfeiffer, A., 1984. Buckling of Curved Beams With In-plane Deformation, Journal Of Structural Eng., 100, 291-301

[

16 Zielinski, A.P. and Frey, F., 2001. On Linearization in non-linear structural Finite Element Analysis , Comput Struct., 79, 825-838

ÖZGEÇMİŞ

Mustafa AKPINAR, 1980 yılında Giresun’da doğmuştur. İlköğrenimini Yeşilgiresun İlkokulu’nda tamamlamıştır. 1998 yılında Giresun Hamdi Bozbağ Anadolu Lisesi’nden mezun olmuştur. ve orta öğrenimini Giresun’da tamamlamıştır. 1998 yılında Yıldız Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümünde lisans öğrenimine başlamıştır. 2003 yılında aynı okuldan İnşaat Mühendisi unvanı ile mezun olmuştur. Aynı yıl İ.T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Yapı Mühendisliği Programında yüksek lisans programına başlamıştır. Halen Karayolları Genel Müdürlüğü’nde Keşif İhale Mühendisi olarak görev almaktadır.

Belgede Doğru Eksenli Düzlem Çubuklarda Nonlineer Analiz (sayfa 58-63)