DÖNGÜ

O algoritmo de registro por ponto mais próximo iterativo proposto por Besl e McKay (1992), semelhante ao registro por PCA, utiliza conjuntos de pontos esparços, os quais representam os fiduciais. O alinhamento por PCA, entretanto, não fornece um resul- tado preciso, servindo basicamente para um alinhamento inicial, que é refinado através do método ICP. Neste método de registro é necessário recuperar a correspondência entre os pontos, utilizando o conceito de vizinho mais próximo. Calculando a corres- pondência através da permutação das linhas da matriz de vértices dos marcadores, o problema se reduz ao registro por mínimos quadrados (LS). O algoritmo de registro por LS descrito na seção 2.8 não recupera a correspondência entre os pares de pontos, sendo necessário que o usuário identifique os fiduciais mantendo a ordem dos centros nas matrizes. O ICP pode ser considerado como uma extensão do método LS, no qual a correspondência entre os pontos é feita automaticamente.

Para calcular a correspondência entre os pontos, define-se o operador de proximi- dade C:

Ppc= C(Mp, Pp), (2.86)

onde Ppc é uma matriz com as linhas ordenadas, cujas linhas são um subconjunto

das linhas de Pp, cada uma delas correspondendo a uma linha de Mp. Dessa maneira,

árvore K-d trees, algoritmo de busca por afinidade (Wang et al., 1996) e busca exaustiva são métodos de implementação do operador C. A Figura 2.10 mostra a etapa de alinhamento inicial (por PCA), necessária para a recuperação da correspondência entre os conjuntos. Cabe observar que o número de pontos obtidos através de MRI para os fiduciais é uma ordem de magnitude menor que no caso de CT, pois a resolução de CT é bem maior que a resolução de MRI. Esta correspondência entre os conjuntos é calculada pelo algoritmo de vizinho mais próximo, podendo ser visualizada na Figura 2.11.

2. Fundamentos Teóricos Gerais e Específicos 31

(a) (b)

Figura 2.10: (a)Os pontos vermelhos representam os nós da malha dos marcadores MRI e os verdes os nós do marcadores CT.(b) Mp e Pp (MRI e CT respectivamente)

após a transformação inicial.

(a) (b)

Figura 2.11: (a)Os pontos vermelhos representam os nós da malha dos marcadores MRI e os verdes os nós do marcadores CT após a transformação inicial.(b) Os pon- tos amarelos são os nós dos marcadores CT mais próximos dos nós dos marcadores MRI. Esses pontos são calculados através do operador de proximidade C. Os números indicam os pares de pontos mais próximos de Mp e Pp (MRI e CT respectivamente).

2. Fundamentos Teóricos Gerais e Específicos 32 A Equação de registro Mp = RPp pode ser reescrita conforme a Equação abaixo:

Mp = RPpO, (2.87)

onde O é uma matriz de permutação, a qual é usada para colocar pontos correspon- dentes na mesma ordem (Wang et al., 1996).

Algoritmo 3 Algoritmo de recuperação da correspondência entre os pontos (Wang et al., 1996)

1. Cálculo das matrizes de correlação PT

cpPcp e MTcpMcp

onde Pcp e Mcp centraliza Pp e Mp.

2. Cálculo dos autovetores e autovalores QP

e QM aplicando PTcpPcp e MTcpMcp.

3. Cálculo da afinidade hij.

4. Matching através do algoritmo de Karp.

Outra alternativa de calcular a correspondência é utilizar uma árvore K-d, a qual acelera a busca dos vizinhos mais próximos. Neste algoritmo, cada nó representa uma partição do conjunto de pontos em dois nós sucessores . A raiz representa toda a nuvem de pontos e cada folha um ponto. Árvores K-d podem ser usadas para obter a matriz de permutação O no rearranjo da matriz P. Tanto o algoritmo baseado na afinidade (Wang et al., 1996) (ver algoritmo 3), quanto árvores K-d aumentam a velocidade de busca em relação à busca exaustiva do subconjunto de linhas de Pp que minimiza a

soma das distâncias às linhas correspondentes de Mp.

O Algoritmo 4 sumariza o método de registro por ICP em quatro passos: (i) Os conjuntos de pontos Mp e Pp são gerados através do processo de segmentação; (ii)

através do operador C, calcula-se o subconjunto Ppc; (iii) cáculo de T por LS e tran-

formação de corpo rígido do conjunto de pontos Ppc; e (iv) verificação do critério de

parada.

Algoritmo 4 Algoritmo de registro ICP

Input: CT e MRI nós da malha dos marcadores Output: Matriz de rotação R e translação t 1. Segmentação de M e P; while ((d = 1/Np Np P i=1||m pi− p∗pci||)2 ≤ ǫ) do 2. _{y = {m}pi ∈ Mp|ppci ∈ Ppc : Ppc = C(Mp, Pp)} onde Mp = RPpc, Mp = {mpi}N1M, Ppc = {ppci}N1P e C(Mp, Pp) = argmin||mpi− ppi||.

3. Estimação por mínimos quadrados de T. 4. P∗

pc = RPpc (Transformação)

end

2. Fundamentos Teóricos Gerais e Específicos 33 quadrados (ver secção 2.8), reduz a distância média entre os pontos correspondentes durante cada iteração do ICP, onde a determinação do ponto mais próximo reduz a distância para cada ponto individualmente. Segundo Besl e McKay (1992), o algoritmo de pontos mais próximos iterativo sempre converge monotonicamente para um o mínino local, onde a função objetiva é a distância quadrática média. Para cada iteração, o erro quadrático médio é dado por:

Figura 2.12: Busca dos vizinhos mais próximos.

ek = ||Mp− Ppck||, (2.88)

onde ek é a norma do erro de cada iteração.

A distância quadrática média dk após a transformação é:

dk = ||Mppcik − RkPkOk||. (2.89)

onde Rk é determinado de forma que dk ≤ ek. Na próxima iteração aplica-se a trans-

formação T no conjunto de pontos Ppck gerando Ppck+1. Se a correspondência for

mantida entre as iterações k e k + 1 o erro quadrático médio ek+1 é dado por (Besl e

McKay, 1992):

ek+1 = dk. (2.90)

Outras implementações de registro por ICP são descritas em Trucco et al. (1999) e Zinβer et al. (2003). Em Zinβer et al. (2003) há variações no ICP como seleção hierárquica de pontos, implementação da árvores K-d para busca do vizinho mais próximo e monitorição dos parâmetros de movimento no critério de parada.

2. Fundamentos Teóricos Gerais e Específicos 34 Trucco et al. (1999) implementam a estimação de movimento robusta baseada em LMeds no lugar da estimação por LS usado no método de Besl e McKay (1992). Essa estimação robusta pode ser sumarizada em quatro passos dado um problema de regres- são onde o número de parâmetros é n: escolha aleatória de n−tuplas para compor um modelo; estimar a sobreposição desse modelo através da média do resíduo quadrático; repetir até otimizaçar essa sobreposição. A Equação de registro Mp = RPp pode ser

reescrita como:

Jr= b (2.91)

onde J é uma matriz 3Np×9. A matriz r(9×1) é obtida através da matriz R justaposta

e b(3Np× 1) através de Mp justaposta. O vetor desconhecido r é calculado através de

LMeds. A matriz J é dada por:

J=                      pT ct,1 ... pT ct,Np    0 0 0    pT ct,1 ... pT ct,Np    0 0 0    pT ct,1 ... pT ct,Np                      , (2.92)

onde pct,Np ∈ PP, pct,Np corresponde ao ponto após eliminar a translação e Np é o

número de pontos selecionados. No caso de Np = 3 têm-se J9x9, r9x1e b9x1. O algoritmo

5 sumariza o LMeds. Algoritmo 5 LMeds

while Média dos resíduos quadráticos != min(Média dos resíduos quadráticos) do 1. Seleção de três pontos aleatórios;

2. Cálculo de r9x1;

3. Cáculo dos resíduos s = Lr − b end

2. Fundamentos Teóricos Gerais e Específicos 35 de s: wi = ( 1, |si| ≤ 2.5σ 0, (2.93)

R final é calculado através de um problema de mńimos quadrados ponderados.