Cinsiyet ve Yazarlık

Chamamos de m´etodo NBV (No Boundary Values) ao processo de obten¸c˜ao da solu¸c˜ao de uma EDO pelo algoritmo acima descrito, mas sem a ado¸c˜ao de condi¸c˜oes de contorno.

Analogamente, ao m´etodo NIV (No Initial Values), idˆentico ao anterior, mas sem a ne- cessidade de condi¸c˜oes iniciais.

A justificativa para a possibilidade de resolu¸c˜ao de uma EDO sem condi¸c˜oes iniciais ou de contorno adv´em do fato de que a solu¸c˜ao proposta no presente m´etodo ´e de car´ater global e n˜ao localmente puntual, como no caso da resolu¸c˜ao tradicional do c´alculo.

Quando se determina a integral de uma fun¸c˜ao f (x) qualquer, este processo fornece uma solu¸c˜ao local F (x) cuja constante de integra¸c˜ao deve ser especificada de acordo com o valor que se deseja que a fun¸c˜ao F assuma num dado ponto.

No m´etodo apresentado, todavia, a solu¸c˜ao ´e global, no sentido de que v´arios pontos s˜ao dados simultaneamente e a fun¸c˜ao tomada como solu¸c˜ao ´e “modelada” de acordo com os valores assumidos pela fun¸c˜ao do termo n˜ao-homogˆeneo nesses mesmos pontos, ao fazermos atuar Ds

eq(x) sobre fℓ(x) para realizar uma interpola¸c˜ao dos dados fornecidos

pela fun¸c˜ao n˜ao-homogˆenea da EDO.

Uma vez estabelecida a fun¸c˜ao que interpolaDs

eq| fℓi, fica automaticamente determi-

nado o covetor_{h C | e, consequentemente, a solu¸c˜ao da EDO. Por esse motivo, se houver} um n´umero suficiente de pontos para definir essa fun¸c˜ao-solu¸c˜ao, a necessidade da inser¸c˜ao de condi¸c˜oes determinantes, sejam de contorno ou iniciais, perde o sentido, tornando-se apenas uma ferramenta opcional. Na verdade, isto significa que tais condi¸c˜oes ainda est˜ao presentes, sendo impostas, todavia, pela pr´opria forma do termo independente.

Na verdade, a imposi¸c˜ao volunt´aria de condi¸c˜oes pode at´e piorar a solu¸c˜ao. O fato ´e que se os intervalos de igual espa¸camento forem substitu´ıdos pelos nodos de Chebyshev ou de Fourier, as condi¸c˜oes impostas podem acabar por desestruturar a equa¸c˜ao-solu¸c˜ao em s´erie, pois os valores intermedi´arios reconfiguram a solu¸c˜ao para seu melhor ajuste, ao passo que as condi¸c˜oes impostas for¸cam artificialmente uma situa¸c˜ao de reajuste que pode n˜ao ser a melhor na configura¸c˜ao otimizada, caso tais condi¸c˜oes n˜ao sejam bem escolhidas. Pode acontecer inclusive de n˜ao haver solu¸c˜ao para determinadas condi¸c˜oes.

Logo, afigura-se um procedimento aceit´avel, at´e mesmo aconselh´avel, quando as cir- cunstˆancias assim o permitirem, n˜ao fixar os pontos extremos num BVP, por exemplo, deixando-os livres para se adaptarem `a solu¸c˜ao de ´otimo ajuste produzida pela utiliza¸c˜ao dos nodos apropriados.

Entretanto, isso exige uma reformula¸c˜ao do m´etodo na forma em que foi exposto. Este novo m´etodo passa a desempenhar um papel similar ao de uma interpola¸c˜ao, embora de forma indireta.

As modifica¸c˜oes necess´arias `a adapta¸c˜ao do m´etodo anterior descrito ao NBV/NIV est˜ao contidas na reespecifica¸c˜ao do covetor das condi¸c˜oes, que passa a chamar-se covetor n˜ao-homogˆeneo h Φ | , j´a que as condi¸c˜oes passam a inexistir e todas as suas componentes devem ser dadas agora pelos valores assumidos pela fun¸c˜ao φ (x) no conjunto de pontos escolhidos. Dessa forma, basta definirmos

h Φ |0n :=

h

φ (x0) φ (x1) · · · φ (x2ℓ−1) φ (x2ℓ)

i .

Nessas circunstˆancias, a matriz anticoeficiente passa a ser:

M :=h | V (x0)i | V (x1)i · · · | V (x2ℓ−1)i | V (x2ℓ)i

i

e a solu¸c˜ao do sistema linear _{h C | M = h Φ | fornece o covetor dos coeficientes, ou seja,} h C | = h Φ | M−1_{, o que corresponde `a solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes}

{ed (xj) = φ (xj) , (j = 0, . . . , 2ℓ) .

Dessa forma, fica completamente determinada a solu¸c˜ao procurada atrav´es da fun¸c˜ao candidata

| fℓi = h C | B i.

4.2.3.1 Fenˆomeno de Runge e Nodos de Chebyshev

Voltando `a quest˜ao da elei¸c˜ao dos pontos para a constru¸c˜ao da matriz solu¸c˜ao, uma pergunta cab´ıvel se refere `a sua distribui¸c˜ao no intervalo de defini¸c˜ao da fun¸c˜ao, ou seja, `a op¸c˜ao de distanciamento entre eles. No caso de interpola¸c˜oes polinomiais realizadas a intervalos de espa¸camento constante, ocorre o bem conhecido fenˆomeno de Runge, res- pons´avel pelo afastamento da fun¸c˜ao interpolada em rela¸c˜ao `a original com a presen¸ca de oscila¸c˜oes de grande amplitude nos extremos do intervalo e poss´ıveis divergˆencias nos polinˆomios interpoladores de ordem elevada.

Vamos nos deter um pouco sobre esse importante assunto.

Se a fun¸c˜ao a ser interpolada ´e cont´ınua, ent˜ao o Teorema da Aproxima¸c˜ao de Stone- Weirstrass garante que ela pode ser uniformemente aproximada num intervalo dado, em qualquer medida desejada, por uma fun¸c˜ao polinomial Pn(x) , de grau menor ou igual a

n, ou seja, lim n→∞  max a≤x≤b | f (x) − Pn(x)|  = 0

Entretanto, o matem´atico alem˜ao Carl D. T. Runge (1856-1927) descobriu que al- gumas interpola¸c˜oes com polinˆomios de alta ordem calculadas em pontos a intervalos regulares podem resultar em aproxima¸c˜oes divergentes. Esse comportamento foi denomi- nado fenˆomeno de Runge. O exemplo cl´assico ´e dado por uma fun¸c˜ao do tipo distribui¸c˜ao de Cauchy, φ (x) = 1_π(1 + x2₎−1_{. Ele trabalhou com a fun¸c˜ao πφ (5x), demonstrando que}

uma interpola¸c˜ao com um polinˆomio Pn(x) como o descrito no teorema acima, a pon-

tos equidistantes no intervalo [−1, 1], provoca oscila¸c˜oes nas bordas do intervalo, tanto maiores quanto maior for o grau do polinˆomio, de forma que

lim n→∞  max −1≤x≤1 | f (x) − Pn(x) |  = +∞

Como forma de minimizar o problema, ´e preciso ir aumentando assintoticamente a densidade de pontos nas proximidades das bordas do intervalo. Em vista disso, o ma- tem´atico russo Pafnuty L. Chebyshev (1821-1894) provou que, dentre todos os polinˆomios do tipo H (x) =Q_k(x_{− x}k) , o que melhor realiza essa aproxima¸c˜ao, apresentando o me-

nor valor para max_{x∈I | H (x) | no intervalo I = [−1, 1] , ´e o polinˆomio no qual os pontos} de elei¸c˜ao s˜ao dados por

ξi = cos  2i_{− 1} 2n π  , i = 1, . . . , n

chamados n´os (ou nodos) de Chebyshev. No caso de um intervalo gen´erico [a, b] , passa a valer: ξi = 1 2(a + b) + 1 2(b− a) cos  2i− 1 2n π  , i = 1, . . . , n

Como o ´ındice da somat´oria da s´erie de Fourier complexa corre de_{−ℓ a ℓ, ent˜ao, ap´os} a transla¸c˜ao de range para adapta¸c˜ao ao uso computacional, a express˜ao dos nodos de Chebyshev toma a forma:

ξi = L cos  2i_{− 1} 2ℓ + 1  π 2  , i = 1, . . . , 2ℓ + 1

Para as s´eries de Fourier complexa usaremos os nodos de Chebyshev nessa formula¸c˜ao.

Fenˆomeno de Gibbs J´a para o fenˆomeno de Gibbs, an´alogo do de Runge mas para s´eries de Fourier, a quest˜ao da minimiza¸c˜ao do efeito ´e mais complicado. Existem m´etodos que ajudam em sua atenua¸c˜ao, como as somas de Fej´er e Riesz ou o uso da aproxima¸c˜ao sigma. A teoria de wavelets apresenta uma vantagem nesse ponto, pois o fenˆomeno de Gibbs n˜ao ocorre com as transformadas wavelets de Haar. Mas n˜ao tencionamos complicar

desnecessariamente a exposi¸c˜ao com a introdu¸c˜ao de mais conceitos.

Finalmente, argumentamos aqui que, embora o uso dos nodos de Chebyshev seja especificado para interpola¸c˜oes polinomiais, seria interessante pesquisar sua aplica¸c˜ao na solu¸c˜ao do m´etodo proposto, a fim de estudar seu efeito sobre a precis˜ao da solu¸c˜ao obtida, comparando-a com a calculada atrav´es do conjunto de pontos com espa¸camento constante, visando averiguar a possibilidade de minimiza¸c˜ao do fenˆomeno de Gibbs. Ademais, pro- pomos ainda uma outra disposi¸c˜ao para o estabelecimento do conjunto de pontos, de que trataremos a seguir.

Nodos de Fourier Ainda com rela¸c˜ao a essa mesma quest˜ao, averiguaremos a pos- sibilidade de utilizar um outro conjunto de pontos, tamb´em com espa¸camento constante, mas com diferente distribui¸c˜ao, mais concentrada perto do meio do intervalo de defini¸c˜ao da fun¸c˜ao e que chamaremos de Nodos de Fourier, embora as rela¸c˜oes com as ra´ızes nas s´eries de Fourier reais sejam long´ınquas. Ser˜ao definidos para um intervalo de per´ıodo 2L por: xi := 2L  i− ℓ − 1 2ℓ + 1  , i = 1, . . . , n = 2ℓ + 1. (4.2) Naturalmente, como nos casos anteriores, o n´umero de pontos ´e definido pela extens˜ao ℓ da soma. Assim, h´a trˆes conjuntos de pontos dispon´ıveis para utiliza¸c˜ao nas solu¸c˜oes de EDOs ou EDFs, os nodos equidistantes ou pontos de espa¸camento constante (EC), os nodos de Chebyshev (NC) e os nodos de Fourier (NF), conforme definimos acima.