As duas ´ultimas Se¸c˜oes apresentaram sobretudo as cr´ıticas de Wittgenstein a uma teoria intensional das classes, e os aspectos positivos da teoria do n´umero das PhBm foram ressaltados a partir do contraste com esta teoria. Ser´a ´util, neste momento, fazer um sum´ario dos resultados positivos obtidos at´e ent˜ao:
∗
PhBm, X−102b .
†Nos manuscritos, Wittgenstein escreve in extenso a disjun¸c˜ao acima, utilizando, no entanto, o
sinal ∨ entre as parcelas da disjun¸c˜ao. Mas ´e claro que o sinal deve simbolizar a disjun¸c˜ao exclusiva das
parcelas da disjun¸c˜ao, caso contr´ario a express˜ao n˜ao diz aquilo que a proposi¸c˜ao ““S´o 3 dos objetos
a,b,c,d possuem a propriedade ϕ” pretende dizer. A disjun¸c˜ao correta com o operador de disjun¸c˜ao n˜ao
exclusiva pode ser expressa por “ϕa·ϕb·ϕc·¬ϕd·∨·ϕa·ϕb·ϕd·¬ϕc·∨·ϕa·ϕc·ϕd·¬ϕb·∨·ϕb·ϕc·ϕd·¬ϕa”.
‡WAii, p. 11; PhBm, X−102c.
§Cf. PhBm, X−101a: “Ich will sagen die Zahlen k¨onnen nur definiert werden aus Satzformen,
unabh¨angig davon welche S¨atze wahr oder falsch sind”.
¶A mesma recusa ocorre, tamb´em, na cr´ıtica de Wittgenstein `a defini¸c˜ao da identidade num´erica –
ao modo de Frege e Russell – por meio da correla¸c˜ao biun´ıvoca. Esta cr´ıtica, que aparece nos par´agrafos
i) Aquilo que caracteriza uma extens˜ao ´e a classe, e n˜ao o conceito. Este ´e apenas um “expediente”, um “pretexto”. (PhBm, X−99c)
ii) O s´ımbolo para uma classe ´e uma lista. (PhBm, XI−118b)
iii) A pertinˆencia de um elemento `a lista n˜ao ´e determinada por uma proposi¸c˜ao, mas por uma propriedade interna.
iv) Uma classe pode ser utilizada em diversos contextos proposicionais, e n˜ao apenas naquele que atribui uma propriedade a cada elemento da classe.
v) O n´umero cardinal ´e uma propriedade interna de uma lista. (PhBm, XI−118d) vi) Uma extens˜ao caracteriza o sentido de uma proposi¸c˜ao, e o n´umero, enquanto uma propriedade interna do s´ımbolo para a extens˜ao, ´e uma marca caracter´ıstica de uma estrutura l´ogica. (PhBm, X−105a)
O n´umero cardinal, enquanto propriedade interna de uma lista, n˜ao se confunde com a pr´opria lista. No entanto, para que a aritm´etica trabalhe com n´umeros, ´e inevit´avel que estas propriedades internas se manifestem no seu pr´oprio simbolismo, e isto pode ocorrer de dois modos: ou i) os n´umeros s˜ao apresentados por uma nota¸c˜ao que contenha listas das quais eles s˜ao uma propriedade interna ou ii) os n´umeros s˜ao apresentados por um sistema de sinais que, juntamente com um conjunto de regras sint´aticas, tenha, ao fim e ao cabo, a mesma multiplicidade da nota¸c˜ao que trabalha diretamente com listas. Aquilo que Frascolla chama de aritm´etica de tra¸cos (arithmetic of strokes∗) ´e um exemplo da primeira, ao passo que o sistema decimal ´e um exemplo
da segunda.
Como nota Narboux†, a exemplifica¸c˜ao, no plano do sinal, de uma propriedade
interna ´e chamada por Wittgenstein de “esquema” ou “paradigma”. Na nota¸c˜ao com tra¸cos, os numerais s˜ao introduzidos na qualidade de esquemas ou representa¸c˜oes paradigm´aticas de listas, das quais o n´umero ´e uma propriedade interna. Na nota¸c˜ao decimal, regras s˜ao introduzidas para recuperar a mesma multiplicidade da nota¸c˜ao com tra¸cos. Ambos os sistemas alcan¸cam o mesmo objetivo, a saber, o de apresentar o “espa¸co” dos n´umeros. Que dois sistemas apresentem o mesmo “espa¸co”, isto se mostra pelo fato de que eles podem ser traduzidos um no outro, substitu´ıdos um pelo outro sem perda de poder expressivo. De todo modo, ´e essencial que a aritm´etica trabalhe com uma nota¸c˜ao particular que, juntamente com as regras para o uso da nota¸c˜ao, possua uma multiplicidade adequada. Ainda que cada nota¸c˜ao particular possa ser substitu´ıda por outra sem preju´ızo para a aritm´etica, esta n˜ao pode se abster de utilizar uma nota¸c˜ao particular em benef´ıcio de um tratamento geral e que n˜ao faz apelo aos modos particulares de apresenta¸c˜ao de seus objetos.
∗Frascolla: Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics, p. 44.
†Cf. Jean-Philippe Narboux: Aspects de l’arithm´etique, em: Archives de Philosophie, 3 (2001),
A partir do estabelecimento da nota¸c˜ao, ´e poss´ıvel definir opera¸c˜oes que incidem sobre os elementos da nota¸c˜ao, de modo que o resultado da opera¸c˜ao seja, tamb´em, um elemento da nota¸c˜ao. A t´ıtulo de exemplo, na aritm´etica de tra¸cos, a soma pode ser apresentada por uma defini¸c˜ao indutiva, a saber,
x + |Def.= x| x + y|Def.= (x + y)| ´
E importante observar que a defini¸c˜ao da opera¸c˜ao fornece ambos os lados da equa¸c˜ao; uma opera¸c˜ao n˜ao pode ser concebida, ao modo de um experimento, como um processo que ´e feito e que fornece um resultado de modo independente do processo. Pelo contr´ario: processo e resultado s˜ao, no c´alculo, o mesmo, e ´e por isso que ´e importante, ao se definir uma opera¸c˜ao, que se forne¸ca tamb´em o seu resultado.
Uma vez provada uma equa¸c˜ao da forma m + o = n, ela pode ser aplicada, como vimos, como uma regra sint´atica. Sua aplica¸c˜ao na linguagem depende de contextos em que o n´umero ´e utilizado (a Se¸c˜ao anterior procurou exemplificar diversos contextos em que isto ocorre). Uma das virtudes da defini¸c˜ao de n´umero no per´ıodo intermedi´ario como uma propriedade interna de uma lista ´e que ela explica como o n´umero pode tamb´em ser aplicado de modo intrassistˆemico na aritm´etica. Como o n´umero ´e vinculado a uma lista, que constitui o s´ımbolo de uma classe, e como a pertinˆencia `a classe ´e uma propriedade interna de um objeto, h´a um v´ınculo do n´umero com listas utilizadas no interior da pr´opria aritm´etica, como, e.g., as permuta¸c˜oes de “a, b, c”, as ra´ızes de uma equa¸c˜ao de segundo grau etc. Nestes casos, o n´umero ´e uma marca caracter´ıstica destes conceitos formais (i.e., n˜ao se pode alterar o n´umero de coisas que caem sob o conceito sem que, com isso, o pr´oprio conceito se altere).
No Tractatus, a rela¸c˜ao entre o n´umero de elementos que caem sob um conceito formal e o n´umero enquanto o expoente de uma opera¸c˜ao era, no m´ınimo, nebulosa. J´a nas PhBm, a rela¸c˜ao entre o n´umero enquanto propriedade interna de uma lista e o n´umero de elementos que caem sob um conceito formal ´e imediata: “Mesmo que eu n˜ao possa dizer ‘H´a 4 cores puras’, ainda assim as cores puras e o n´umero 4 estar˜ao, de alguma maneira, ligados entre si, e isso deve se expressar tamb´em de algum modo – p. ex., quando digo ‘vejo 4 cores nesta superf´ıcie: amarelo, azul, vermelho, verde’ ”∗.
O fato de o n´umero ser uma propriedade interna de uma lista, independentemente de haver um conceito material que tenha esta lista como sua extens˜ao, explica a aplica¸c˜ao do n´umero no interior da aritm´etica. No entanto, isto tamb´em valeria para
equa¸c˜oes? Equa¸c˜oes s˜ao aplicadas enquanto parte da sintaxe da linguagem. Wittgenstein chama de sintaxe, em um sentido geral do termo, as “regras que nos dizem em que conex˜oes unicamente uma palavra tem sentido, excluindo assim estruturas sem sentido (nonsensical)”∗. ´E compreens´ıvel que os termos da linguagem possam ser usados de
modo a formar estruturas com sentido e estruturas sem sentido. Por outro lado, que na matem´atica isto tamb´em aconte¸ca, est´a longe de ser evidente. Afinal, o Tractatus havia banido as equa¸c˜oes da linguagem figurativa e, portanto, da linguagem com sentido. As proposi¸c˜oes matem´aticas s˜ao, segundo o Tractatus, pseudoproposi¸c˜oes† e, portanto, n˜ao
possu´ıam sentido algum, n˜ao podendo sequer ser negadas.
Nos textos do per´ıodo intermedi´ario, h´a notavelmente uma tentativa de acomodar a no¸c˜ao de proposi¸c˜ao matem´atica dotada de sentido, o que deste modo enfraquece, como afirma Frascolla‡, uma poss´ıvel continuidade com o Tractatus. Quais seriam as raz˜oes
para se abrigar, na linguagem dotada de sentido, tamb´em proposi¸c˜oes matem´aticas, essas estranhas criaturas que sabem, elas pr´oprias, se s˜ao verdadeiras ou falsas?
No Cap´ıtulo seguinte, dedicado `a no¸c˜ao de “proposi¸c˜ao matem´atica” nas PhBm, retornaremos a esta indaga¸c˜ao. Desde j´a, vale notar que a introdu¸c˜ao da no¸c˜ao de proposi¸c˜ao matem´atica ao menos abre uma via para explicar a aplica¸c˜ao intrassistˆemica de equa¸c˜oes enquanto regras de sintaxe no interior da matem´atica. Afinal, faz sentido perguntar se as duas ra´ızes da equa¸c˜ao x2
− 5x + 6 = 0 s˜ao de tal modo que uma ´e par e outra ´e impar, mas n˜ao faz sentido perguntar se as duas ra´ızes desta equa¸c˜ao s˜ao de tal modo que duas s˜ao pares e uma ´e impar. Assim como a equa¸c˜ao participa da sintaxe da linguagem ordin´aria, ela tamb´em participa da sintaxe da pr´opria matem´atica, isto ´e, do espa¸co em que quest˜oes matem´aticas s˜ao postas com sentido.
∗SRLF, p. 162 . †Tractatus, aforismo 6.2.
‡Cf. Frascolla: Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics, p. 54: “The analysis of this typically
Wittgensteinian theme will show that, in the intermediate phase, the continuity with the Tractatus is actually weakened by the irruption of that notion of mathematical proposition, which had been expressly banished in the early work”.