Bulanık Pareto Çözümlerin Amaç Uzayında Dikdörtgenler ile İfade Edilmesi77

Bulanık amaç fonksiyonlarının optimizasyonu sonucu elde edilen bulanık Pareto çözüm kümesi, üçgensel bulanık sayılardan oluşmaktadır. Buna göre üçgensel bulanık sayılar ile ifade edilen bulanık çözümlerin her biri, amaç fonksiyonuna göre bulanık Pareto çözüm kümesine dahil olma derecesini tanımlayan bir üyelik fonksiyonuna sahip olacaktır. Üyelik fonksiyonları ile bulanık çözümlerin değerlendirilmesi zor olacağından, üyelik fonksiyonları kullanılarak hesaplanan α -kesme değerleri ile bulanık sayılar, kesin kapalı aralıklara dönüştürülür.

Kesim 5.3’te ifade edilen bir f_tj =(f_tj^alt,f_tj^merkez,f_tj^üst), t =1, 2,...,n, j=1, 2,...,r üçgensel bulanık çözümüne ilişkin üyelik fonksiyonu

(5.11)

biçiminde tanımlıdır. (5.11) ile tanımlı üyelik fonksiyonuna ilişkin oluşturulan α -kesme kümesi

fij

μ_ ≥α eşitsizliğini sağlayan alt ve üst α -kesme sınır değerlerinden oluşur. Buna göre

alt

tj tj

merkez alt

tj tj

f f

f ⁻ f ≥α

−

üst

tj tj

üst merkez

tj tj

f f

f ⁻f ≥α

−

(5.12)

eşitsizlik sisteminin çözülmesi ile f_tj bulanık çözümünün α -kesme kümesi

^{ftjα =⎡}_⎣^{ftjalt +}

(

^{ftjmerkez− ftjalt}

)

^{α, ftjüst −}

(

^{ftjüst− ftjmerkez}

)

^α⎤_⎦ (5.13)

biçiminde bulunur. (5.13) eşitliği ile tanımlı α -kesme kümesinde, j=1, 2 için iki bulanık amaç fonksiyonuna ilişkin α -kesme kümeleri, f_t^α₁ ve f_t^α₂, t=1, 2,...,n elde edilir. .t bulanık çözüm için elde edilen α -kesme kümelerinde, farklı α değerleri için değişik uzunlukta kapalı aralıklar elde edilir. Şekil 5.2’de j=1, 2 için oluşturulan amaç uzayında, .t bulanık çözümün α -kesme değerleri ile belirlenen yüzey gösterilmektedir.

Şekil 5.2’den de görüldüğü gibi bulanık çözümler, α değerlerine farklı büyüklüklerin verilmesi ile oluşturulan dikdörtgenler ile temsil edilmiştir. α =0 için en geniş α

-,

1 ,

,

ij

alt

tj tj alt merkez

tj tj

merkez alt

tj tj

merkez f tj

tjüst tj merkez üst

tj tj

üst merkez

tj tj

f f

f x f

f f

x f

f f

f x f

f f

μ

⎧ −

≤ <

⎪ −

⎪⎪

=⎨ =

⎪ −

⎪ < ≤

⎪ −

⎩



kesme kümesi elde edilirken, α =1 için bulanık çözümlerin merkez değerleri ile tanımlı klasik çözümlere ulaşılmaktadır.

Şekil 5.2 Üçgensel bulanık çözümün α -kesme kümelerine göre oluşturulan dikdörtgenler ile temsil edilmesi

5.7 Bulanık Uyarlanmış Metasezgisel Algoritmalar için Performans Ölçütleri

Genel olarak çok amaçlı optimizasyon alanında karşılaşılan problemlerin çoğunda gerçek Pareto optimal yüzey tam olarak bilinmemektedir. Bu tür durumlarda optimizasyon amacıyla kullanılan algoritmaların hepsinden elde edilen baskın çözümler birleştirilir ve baskın çözümler yeniden Pareto üstünlüklerine göre sıralanır. Elde edilen sonuç kümesi gerçek Pareto yüzey olarak adlandırılır ve buna göre değerlendirme yapılır.

Çok amaçlı optimizasyonda, algoritma ile elde edilen çözümlerin gerçek Pareto yüzeye yakın olması ve Pareto çözümlerin çok sayıda farklı çözüm seçeneği içermesi istenir.

Çok amaçlı optimizasyon probleminin çözümünde temel amaç olan bu iki strateji birbirine diktir. İlk amaç Pareto optimal bölgeye doğru aramayı gerektirirken, ikinci

α =1

2

2

2 alt

merkez

üst

f

f

f

1

füst 1

merkez 1 f

f alt f2

μ

f 1

f 2

x

f1

μ_ α=0

amaç Pareto optimal yüzey boyunca arama yapmayı hedefler. Optimizasyon amacıyla kullanılan algoritmanın, Pareto çözüm kümesinde çeşitlilik sağlayacak biçimde gerçek Pareto yüzeydeki çözümlere mümkün olduğu kadar benzer çözümler üretmesi istenir (Deb 2004). Pareto çözüm kümesinde çeşitliliğin sağlanması Pareto optimal yüzeyde çözümlerin düzgün, homojen dağılması demektir. Çözümlerde çeşitliliğin değerlendirilmesi, uç değerlere doğru yayılım ve çözümler arasındaki uzaklıklar dikkate alınarak çözümlerin dağılımı olarak tanımlanan iki farklı ölçüt ile mümkündür. Çok amaçlı optimizasyon yönteminin, Pareto yüzeye yakınlık ve Pareto yüzeyde çeşitlilik amaçlarını sağladığında iyi bir performans gösterdiği söylenebilir. Pareto optimal yüzeye yakınsama ve çözüm çeşitliliğinin sağlanması ayrı ve birbiri ile çelişen iki amaç olduğundan, istenilen bu iki özellik tek bir performans ölçütü ile değerlendirilemez. Bu nedenle çok amaçlı optimizasyon algoritmalarının karşılaştırılmasında bu iki amacı değerlendirmeye yönelik en az iki ölçüt kullanılmalıdır (Deb vd. 2002).

5.7.1 Gerçek bulanık Pareto yüzeye yakınlık için önerilen ölçüt

Klasik çok amaçlı optimizasyonda olduğu gibi bulanık çok amaçlı optimizasyonda da gerçek bulanık Pareto yüzeye mümkün olduğu kadar yakın bulanık Pareto çözümler elde edilmesi hedeflenir. Bu amaçla bulanık Pareto çözüm kümesindeki her bir çözümün, gerçek bulanık Pareto yüzeydeki çözümlerle benzerliğine bakılır. P_bulanık^* , gerçek bulanık Pareto çözüm kümesi ve Q_bulanık, algoritma ile bulunan M çözümden oluşan bulanık Pareto çözüm kümesi olarak tanımlansın.

Gerçek bulanık Pareto yüzeydeki çözümler ile optimizasyon sonucu elde edilen bulanık çözümlerin benzerliğinin karşılaştırılması için Kesim 5.6’da tanımlanan dikdörtgenler ile temsil edilen bulanık çözümlerin kesişim kümelerinin boş olup olmadığı dikkate alınacaktır. Şekil 5.3’te, algoritma ile optimizasyon sonucu elde edilen bulanık çözüm A dikdörtgeni ile, gerçek Pareto yüzeye ait bulanık çözüm G dikdörtgeni ile temsil edilmektedir.

Şekil 5.3 Gerçek bulanık çözüm (G) ile optimizasyon sonucu elde edilen bulanık çözümün (A) karşılaştırılması

Bulanık çözümleri temsil eden A ve G dikdörtgenlerinin kesişimi için

1 1 2 2

1 1 2 2

max ( , ) min ( , ) max( , ) min( , )

x z x z

y t y t

<

<

koşullarının sağlanması gerekir. Kesişim bölgesinin belirlenmesinde, bulanık çözümlerin α -kesme değerleri ile elde edilen dikdörtgenlerin oluşturduğu alan hesaplamalarına ihtiyaç duyulur. Bu çalışmada, gerçek bulanık Pareto yüzeye yakınlığın belirlenmesi için karşılaştırılan bulanık çözümlerin birbirlerine göre konumları incelenip, dikdörtgenlerin koordinatlarından yararlanılarak alan hesaplaması yapılması önerilmiştir. Buna göre i=1, 2,...,Q_bulanık , j=1, 2,..., P_bulanık^* olmak üzere

( )

( , )

( )

i j

i j

i j

Alan A G r A G

Alan A G

= ∩

 ∪

(5.14)

eşitliği ile iki bulanık çözümün birbirine göre yakınlığı incelenir. Burada r , bulanık çözümler arasındaki yakınlık büyüklüğünü; Q_bulanık , algoritma ile elde edilen bulanık Pareto kümesindeki çözüm sayısını ve P_bulanık^* , gerçek bulanık Pareto kümesindeki çözüm sayısını tanımlar. (5.14) eşitliği ile belirlenen değer 1’e ne kadar yakınsa, bulanık

f 1

G A

x 1 z ₁ x ₂ z ₂ y 2

t 2

y 1

t 1

f 2

çözümlerin birbirine benzerliğinin o oranda fazla olduğu söylenir. Kesişim gösteren her bulanık Pareto çifti için, 0< ≤r 1 olacaktır. r değerinin 1 olması ideal durumdur. Bu nedenle bulanık Pareto çözüm kümesindeki bir bulanık çözüme gerçek bulanık Pareto yüzey çözümlerinden seçilebilecek en yakın bulanık çözüm, (5.14) eşitliği ile tanımlı en büyük r değerine sahip G bulanık çözümü olmalıdır. Bu durum

^{ri =max ( ,}

{

^{r A G i j)}

}

^{, i=1, 2,...,Qbulanık , j=1, 2,..., Pbulanık*}

biçiminde tanımlanabilir. Bulanık çözümlerin yakınlık ölçütünün değerlendirilmesinde, algoritma ile bulunan bulanık Pareto çözüm sayısı kadar yakınlık hesaplaması yapılır.

Elde edilen r , _i i=1, 2,...,Q_bulanık değerlerinin aritmetik ortalaması

1

bulanık

Q i i GY

bulanık

r

r Q

=

∑

= ^

 (5.15)

eşitliği ile tanımlı genelleştirilmiş yakınlık ölçütü olarak önerilmiştir. Böylece, (5.15) eşitliği ile P_bulanık^* ve Q_bulanık bulanık Pareto çözüm kümeleri arasında hesaplanan ortalama yakınlık değerine göre algoritma ile bulunan bulanık çözümlerin gerçek bulanık Pareto yüzeye yakınlığının değerlendirilmesi için nicel bir büyüklük elde edilir.

5.7.2 Bulanık Pareto yüzeyde çeşitlilik için önerilen ölçüt

Klasik çok amaçlı yaklaşımda olduğu gibi bulanık çok amaçlı yaklaşımda da algoritma ile elde edilen bulanık Pareto çözüm kümesinde, çok sayıda farklı çözüm seçeneklerine yer verecek biçimde çözüm çeşitliliğinin sağlanması istenir. Algoritma ile elde edilen bulanık Pareto çözüm kümesi Q_bulanık ile tanımlanmıştı. A₁ ve A₂, Q_bulanık kümesinde tanımlı iki bulanık çözüm olsun. Bu bulanık çözümler, şekil 5.4’te α -kesme değerlerinden yararlanılarak oluşturulan dikdörtgenlerle temsil edilmektedir. Q_bulanık, bulanık çözüm kümesinde, bulanık çözümler arasında homojenlik olup olmadığının

değerlendirilmesi için şekil 5.4’te tanımlı dikdörtgenlerin koordinatlarından yararlanılacaktır.

Şekil 5.4 Q_bulanık kümesinde α -kesme değerleri ile tanımlanmış iki bulanık çözümün birbirlerine göre konumları

Şekil 5.4’te gösterilen P P P P ve _{1 2 3 4} P P P P dikdörtgenlerinin köşe noktaları, _{5 6 7 8}

1 ( , )2 1

P = x y , P₂=( , )x y_{4 1} , P₃=( , )x y_{4 3} , P₄ =( , )x y_{2 3} , P₅=( , )x y_{1 2} , P₆ =( , )x y_{3 2} ,

7 ( , )3 4

P = x y ve P₈=( , )x y_{1 4} koordinat değerleri ile tanımlıdır. Dikdörtgenlerin köşe noktaları arasındaki uzaklıklar L normuna uygun olarak ₂

2 2

1 1 5 ( 1 2) ( 2 1)

d = P P = x −x + y −y

2 2

2 2 6 ( 3 4) ( 2 1)

d = P P = x −x + y −y

2 2

3 3 7 ( 3 4) ( 4 3)

d = P P = x −x + y −y

2 2

4 4 8 ( 1 2) ( 4 3)

d = P P = x −x + y −y

eşitlikleri ile hesaplanır. d d d ve ₁, ,_{2 3} d uzaklık değerlerinden yararlanılarak, ₄ A_i ve

1

Ai₊ ardışık bulanık çözümleri arasındaki uzaklık için

_{, 1} ^{1 2 3 4}

i i 4

d d d d

D ₊ + + +

= , i=1, 2,...,Q_bulanık −1 (5.16) y 4

y 3

y 2

y 1

x ¹ x ₂ x ₃ x ₄

f2

f1

P2

P1

P5 P₆

P3

P7

P8

P4

eşitliği ile tanımlı bir uzaklık ölçütü önerilmiştir. Burada, Q_bulanık − kadar uzaklık 1 hesaplaması yapılır. Deb vd. (2002) tarafından klasik çok amaçlı problemlerin çözüm çeşitliliğinin değerlendirilmesinde kullanılan ölçüte benzer olarak

1 , 1 1

( 1)

bulanık

Q

f l i i

i

f l bulanık

D D D D

D D Q D

−

= +

+ + −

Δ = + + −



∑

(5.17)

eşitliği ile bulanık Pareto çözümler arasında çeşitlilik sağlanıp sağlanmadığı değerlendirilmiştir. Burada

Df: Bulanık Pareto yüzeydeki ilk çözüm ve algoritma ile elde edilen ilk bulanık çözüm arasındaki uzaklık

D : Bulanık Pareto yüzeydeki son çözüm ve algoritma ile elde edilen son bulanık l

çözüm arasındaki uzaklık

D : uzaklık ortalaması,

1 , 1 1

1

bulanık

Q

i i i

bulanık

D

D Q

− +

= =

−

∑

dır. (5.17) eşitliği ile tanımlı Δ değerinin sıfıra yakın olması bulanık Pareto yüzeyde çözüm çeşitliliğinin sağlandığını gösterir. Buna göre, bulanık uyarlanmış çok amaçlı metasezgisel algoritma ile elde edilen ideal bir bulanık Pareto çözüm kümesinin, önerilen (5.15) ve (5.17) eşitlikleri ile tanımlı performans ölçütlerinin r_GY ≅1 ve Δ ≅ 0 özelliklerini sağlaması istenir.

5.8 Bulanık Pareto Çözümlerin Bulanık Karar Verme Yaklaşımı ile

Belgede ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK YANITLI YÜZEY PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNE BULANIK VE SEZGİSEL YAKLAŞIM Özlem TÜRKŞEN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011 Her hakkı saklıdır (sayfa 90-97)