3.2. Bovine Ephemeral Fever Virüs ve Hastalığı
3.2.8. Bovine Ephemeral Fever Patogenez, Seroloji ve Patolojisi
A análise estática do problema da viga de concreto armado através do MEFG foi realizada no domínio❘2. O funcional de energia e o sistema de equações resultante para o PVC são representados pelas mesmas expressões da seção 3.2. O problema não-linear, proveniente da propagação do dano, é resolvido, a exemplo da seção 5.2.1, em cada passo de carga, pelo método de Newton-Raphson através das seguintes ex- pressões, adaptadas à estrutura do MEFG:
Para it = 1, 2, 3, . . . ,¯it, . . . , imaxt
ψ(it−1) = t+∆tF ext−t+∆tF(iintt−1) t+∆tK(it−1) sec ∆U(it) = ψ(it−1) t+∆tU(it) = t+∆tU(it−1)+ ∆U(it) (5.9)
tendo como condições iniciais:
t+∆tU(0) =tU; t+∆tK(0)
Observa-se que para a matriz de rigidez, no lugar da forma tangente, foi utilizada a forma secante3. A razão para isso está no emprego do modelo de Mazars, conforme já explicado na seção 4.2.
De forma geral, a estrutura para a solução do problema não-linear é idêntica à usada tradicionalmente no MEF. Excetua-se, é claro, a maneira com que os vetores e matrizes, presentes nas expressões acima, são montados, seção 3.2. Existem, porém, alguns detalhes em que o algoritmo da análise não-linear do MEFG diferencia-se do MEF, tendo sido reunidos no apêndice F.
5.3.1
Análise Numérica
(a)Malha I - 688 elementos - NGL = 1376
(b)Malha II - 24 elementos - NGL = 392
Figura 5.6: Condições de contorno e malha de elementos adotadas
Duas análises estáticas bi-dimensionais foram realizadas para a viga de concreto armado da seção 5.1. As malhas de elementos finitos empregadas encontram-se repre- sentadas na Figura 5.6. Na Malha I, com um grau razoável de refinamento, a aproxima- ção é linear e corresponde à análise convencional pelo MEF. Já na Malha II, empregada
na aplicação do MEFG, foram utilizados poucos elementos mas com enriquecimento nodal de ordem polinomial superior. A seguir são listadas as considerações admitidas para tais análises:
discretização: como já observado, nas Figuras 5.6(a) e 5.6(b), encontram-se repre-
sentadas as malhas de elementos empregadas. O reduzido número de elementos da Malha II é compensado pelo enriquecimento polinomial de ordem máxima p, realizado em todas as nuvens, mas concentrado, especialmente, nas regiões em que se espera uma maior danificação, ou seja, na metade inferior da viga, entre as duas forças aplicadas;
condições de contorno: de acordo com SZABÓ; BABUŠKA (1991), as restrições no-
dais não são admissíveis em problemas de estado plano, exceto quando impostas para impedir os movimentos de corpo rígido em um corpo solicitado por um carregamento auto-equilibrado. Por essa razão, o apoio articulado móvel da Fi- gura 5.1 é substituído por um apoio distribuído em uma pequena região com dimensão em x de 1,5 cm, como ilustram as Figuras 5.6(a) e 5.6(b). De ma- neira análoga e pelas mesmas razões, a força concentrada é substituída por um carregamento distribuído equivalente q4;
simetria: a forma geométrica da viga, a distribuição do carregamento e das condições
de contorno são simétricas com relação ao meio do vão; por essa razão, apenas metade da estrutura foi aproximada;
aproximação das armaduras: utilizou-se para as malhas I e II, a técnica de embu-
timento da armadura, descrita em RANJBARAN (1991) e discutida no apên- dice F.2. Apenas a armadura positiva foi considerada. Testes em que a armadura negativa foi discretizada mostraram que sua contribuição à rigidez da estrutura era insignificante 5. Para simular o comportamento físico adotou-se o modelo elástico-linear com perfeita aderência ao concreto;
distorção dos elementos: a Malha II foi construída tendo como base 18 elementos
relativamente grandes, se comparados com a discretização da Malha I. Para a in- trodução das condições de contorno, seis novos elementos de dimensões bastante 4Assim como as restrições nodais, as forças concentradas fazem sentido na formulação matemática
da teoria de vigas. São, na verdade, representações simplificadas de um carga distribuída ao longo de uma superfície de dimensões bastante pequenas se comparadas às demais dimensões do problema.
reduzidas foram incluídos, provocando a distorção angular dos elementos próxi- mos às regiões do apoio e de aplicação da força. Como conseqüência, ocorre um empobrecimento da aproximação linear nestas regiões, provocado pelo mapea- mento entre as coordenadas naturais e físicas dos elementos distorcidos. Com base nas observações do exemplo da seção 3.2.1, pode-se esperar que o efeito nocivo de tal mapeamento seja anulado com o enriquecimento realizado nas nu- vens que contêm esses elementos;
integração numérica: realizada através da quadratura de Gauss-Legendre. Para a
Malha I foram utilizados 2 × 2 pontos por elemento. Já para para a Malha II, foi utilizado um conjunto de 4 × 4 pontos para os elementos próximos do apoio e da força q. Para os demais elementos, de dimensões maiores, foram empregados 6 × 6 pontos de integração para melhor representar a distribuição do dano. Este, aliás, é um número superior ao exigido por qualquer uma das aproximações de- finidas na Malha II. Deve-se lembrar que a evolução do dano faz com que os termos a serem integrados na matriz de rigidez deixem de ser polinomiais e, por isso, não há um número preciso de pontos que permita realizar a integração exa- tamente. Considerando-se esse fato, foram realizados vários experimentos com diferentes ordens de integração. Concluiu-se que, para a solução procurada, a ordem acima descrita permite uma boa aproximação aliada a um menor esforço computacional;
análise não-local: foi adotado um raio de 3 cm para a análise não-local. Análises
realizadas com rnl = 0 cm e rnl = 1,5 cm produziram resultados bastante ins- táveis no intervalo de carregamento de 12 a 14 kN. Para esses níveis de força concentrada, ocorre uma tendência de concentração do dano, correspondente ao aparecimento de fissuras na região de momento positivo no meio do vão. A uti- lização de rnl = 3 cm tem um efeito regularizador maior, fazendo com que o dano se espalhe, permitindo com que o modelo continue sendo utilizado para reproduzir a resposta global da estrutura;
não-linearidade física: como já comentado anteriormente, o comportamento do con-
creto foi simulado através do Modelo de Mazars. Os parâmetros utilizados fo- ram na maioria os mesmos empregados para a análise uni-axial através do Mé- todo das Nuvens hp, tabelas 5.1. No lugar de AT = 0,995, contudo, adotou-se AT = 0,7. Este é um artifício válido, empregado para retardar uma evolução
muito acelerada do dano associada à descrição do ramo do amolecimento que seria obtida com AT = 0,995, gráfico da Figura 5.7. Um efeito equivalente poderia ser obtido aumentando-se ainda mais o raio para a análise não-local. Nesse caso, porém, existiria a possibilidade de se ter uma resposta muito mais rígida do que a observada experimentalmente. Em PEREGO (1989), o tema da identificação paramétrica com o modelo de Mazars é discutido em detalhes;
ε σ A =0,995 A =0,7 T T
Figura 5.7: Curvas de σ × ε variando-se AT
equilíbrio: o Método de Newton-Raphson foi empregado para a solução do problema
não-linear físico. Como critério de convergência do algoritmo de solução ite- rativa, adotou-se a norma de energia incremental com tolerância de 0,5% com relação à norma obtida para primeiro passo elástico. Deve-se salientar que o em- prego de uma tolerância inferior a 0,5% consiste em uma condição muito forte para a convergência da análise realizada com a Malha I, especialmente para o intervalo de força entre 12 e 14 kN. O mesmo não ocorre para a Malha II pois, como será observado posteriormente, o enriquecimento polinomial suaviza a dis- tribuição do dano produzindo uma resposta global mais estável. Os primeiros 4 passos incrementais do carregamento representaram, cada um, 9% da força total aplicada (30 kN), sendo seguidos por um passo com 4%, 26 passos com 1% e os 17 últimos passos com 2%. Esta forma adotada para aplicação do carregamento se deve à elevada não-linearidade observada a partir de 12 kN;
montagem da matriz de rigidez: na montagem da matriz de rigidez adotou-se a for-
efeitos de sua atualização o dano foi limitado (D ≤ 0,87);
procedimento para a solução do sistema de equações: na análise feita com a Malha
I foi utilizado o método direto de eliminação de Gauss com pivotação parcial. Já para a análise com a Malha II, empregou-se o procedimento de Babuškca, apêndice C, com tolerância de 10−10 e pertubação da diagonal principal ǫ = 10−8. Valores inferiores de ǫ bem como o emprego da rotina MA27, HSL (2000), produziram resultados inconsistentes. Um explicação para esse fato consiste nos altos níveis locais de danificação que podem elevar o número de condição da matriz de rigidez (mesmo com a limitação do dano a 0,87). É, portanto, um problema relacionado com o modelo constitutivo adotado;
0 10 20 30 40 50 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 u (mm) F (kN) Experimental 1 Experimental 2 Malha I Malha II y
Figura 5.8:Análise estática
Os resultados experimentais de ÁLVARES (1993) são confrontados com os resul- tados das análises numéricas no gráfico da Figura 5.8. As curvas descrevem a história do carregamento F , (equivalente à resultante da carga distribuída q) relacionando-o ao deslocamento vertical uy (medido no meio do vão, na face inferior da viga). Pode-se afirmar que as respostas numéricas globais da estrutura são, praticamente, coincidentes para as duas análises com as malhas I e II, aproximando-se satisfatoriamente dos resul- tados experimentais. A partir do nível de força de 30 kN a convergência torna-se mais lenta, mesmo para incrementos de força bastante pequenos contribuindo, por isso, a adoção da limitação do dano para fins de avaliação de matriz de rigidez global. Além
disso, é acima de 30 kN que se observa a plastificação da armadura, não considerada para a análise, e a resposta numérica deixa de aproximar o resultado experimental. Por estas razões, optou-se por interromper a análise nesse ponto.
As Figuras 5.9(a) e 5.9(b) representam os mapas de distribuição do dano para o nível de força F = 14,4 kN, correspondentes ao 13o
¯ passo das análises com as malhas I e II respectivamente. Nota-se que a região de distribuição do dano, obtida com as duas malhas, é bem semelhante. Na Figura 5.9(a), porém, ocorre uma maior concentração, o que pode ser explicado pelo elevado nível de discretização da Malha I se comparado ao da Malha II. Testes realizados com aproximações polinomiais de ordem inferior e superior à apresentada na Figura 5.6(b) indicaram que à medida que se eleva a ordem polinomial da aproximação, mais próxima a distribuição do dano fica do observado na Figura 5.9(a).
(a)Análise através da Malha I - F = 14,4 kN
(b)Análise através da Malha II - F = 14,4 kN Figura 5.9:Mapa da distribuição do dano
Com base nesses resultados, averigua-se a viabilidade de se usar um malha gros- seira enriquecida polinomialmente em problemas cujo comportamento não-linear de- corre da evolução do dano. Basta, para isso, que se utilize uma estratégia eficiente para considerar a armadura e que a aproximação não seja prejudicada pela presença de elementos distorcidos, necessários para a introdução das condições de contorno. O primeiro quesito é verificado através da técnica de embutimento do aço de RANJBA-
RAN (1991). Com relação à distorção dos elementos, essa não interfere na qualidade de aproximação desde que a nuvem de elementos distorcidos seja enriquecida polino- mialmente pela estratégia empregada para o MEFG, por exemplo.
Naturalmente, respostas semelhantes poderiam ser obtidas com o MEF, utilizando- se elementos de ordem polinomial superior. Uma das opções consiste na utilização dos elementos Lagrangianos. Tal procedimento, entretanto, introduziria, para a malha uti- lizada, um número total de graus de liberdade superior ao do MEFG, como já discutido na seção 3.2.1. Além disso, tal formulação não é adequada à introdução de estratégias de refinamento adaptativo. Por outro lado, pode-se usar a versão hierárquica do MEF, SZABÓ; BABUŠKA (1991) e DEMKOWICZ (1989). Pelas mesmas razões apresen- tadas para a formulação Lagrangianas, com o MEF hierárquico o número de graus de liberdade é superior ao do MEFG para uma malha bastante discretizada. Soma-se a esse fato, a facilidade de implementação da estratégia de enriquecimento do MEFG, sem a necessidade de se compatibilizar as aproximações de elementos vizinhos com ordem polinomial diferente.
Comprovada a viabilidade de se usar o MEFG para a análise de problemas se- melhantes ao apresentado, resta, ainda, estabelecer a melhor maneira de se definir o nível de enriquecimento exigido para a solução que se queira encontrar. A solução encontrada com a malha da Figura 5.6(b) representou bem o comportamento global da estrutura. Não há, todavia, como saber, a menos da realização de novas análises, se tal aproximação é a ideal, ou seja, aquela que melhor aproxima o problema para uma menor quantidade de graus de liberdade. Para responder esta questão é necessário que se estabeleça, primeiramente, um critério de erro. Com essa informação, torna-se pos- sível introduzir uma abordagem adaptativa, em que a qualidade da solução é testada automaticamente e, caso seja necessário, uma nova aproximação é construída. É esse o assunto do próximo capítulo em que um estimador de erro e um algoritmo adaptativo são descritos para o contexto do MEFG.