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Os tempos de processamento de processamento da PDDE e da PDE (modelo original e reduzidos para grau de discretização igual a 20) para os hidrossistemas considerados estão apresentados na Tabela 20. Em que o “X” significa que não foi possível realizar a otimização devido a limitações de memória.

Tabela 20 – Tempos de Processamento

Hidrossistema Tempo de Processamento (H:M:S) PDE(Original) / PDE(Reduzido) PDE(Reduzido) / PDDE PDE

Original _Reduzido PDE PDDE

Sobradinho 02:52:35 00:15:35 00:00:40 11.07 23.59

Tr. Marias + Sobr. X X 00:00:42 X X

Tr. Marias + Sobr. + Itap. X X 00:00:51 X X

Fonte: Autor (2018)

Não foi possível aplicar a PDE para o hidrossistema completo (com o grau de discretização especificado) com as ferramentas computacionais adotadas, devido, entre outros, às limitações de memoria e do mal da dimensionalidade que é percebido pelo aumento entre os tempos de processamento do modelo reduzido para o original. Conforme a Tabela 20, esse aumento de uma variável de decisão fez com que o modelo original necessitasse de um tempo de processamento cerca de 11 vezes maior que o reduzido.

Entretanto, caso houvesse memoria computacional suficiente, os tempos de processamento do hidrossistema completo em relação ao do subsistema do Sobradinho seriam significativamente maiores (dias ou semanas) visto o acréscimo de 8 variáveis para o modelo original e de 6 para o reduzido e considerando que o aumento do número de operações da PDE ocorre de forma exponencial com o aumento das dimensões do problema.

Ao se reduzir a dimensão do problema com a diminuição do grau de discretização, foi possível a aplicação da PDE para o hidrossistema completo, porém, as políticas obtidas não foram satisfatórias.

Desta forma, a PDE é inviável para otimizar o problema estudado para a velocidade de processamento do computador utilizado. Seria necessário um supercomputador ou uso de programação paralela (uma cadeia de computadores) para viabilizá-la. Enquanto que a PDDE seria viável até mesmo para sistemas bem maiores e complexos visto que só precisou de 51 segundos para otimizar um hidrossistema com 12 variáveis.

Além da quantidade de variáveis, outro fator que explica a grande necessidade computacional do problema é a extensão da Série Completa (85 anos). Foram obtidos tempos menores com a aplicação das Séries Úmida, Média e Seca por serem menos extensas (30 anos cada).

Em comparação com a PDDE, a PDE foi cerca de 24 vezes mais lenta para o modelo reduzido e 261 vezes mais demorada considerando o modelo completo. Além disso a PDDE não sofre do mal da dimensionalidade visto a pouca diferença entre o seu tempo de processamento para o subsistema do Sobradinho e o do hidrossistema completo.

Quanto aos custos obtidos nas simulações, estão apresentados para cada cenário e hidrossistema na Tabela 21 (o da PDDE foi recalculado para a função objetivo sem linearizações) em que o “-” representa que a política de operação ótima não simula a operação de forma viável (que obedece às restrições) para o cenário de vazões afluentes especificado e o “X” significa que não foi possível realizar nem mesmo a otimização devido a limitações de memória.

Tabela 21 - Custos de Simulação dos Cenários Hidrossitema Cenário de

Simulação

Custo da Simulação PDE O PDE R PDDE Sobr. Seco - - 4.62 Médio 4.23 4.22 4.13 Úmido 3.77 3.71 3.50 Tr. Marias + Sobr. Seco X 3.76 Médio 2.87 Úmido 2.03

Tr. Marias + Sobr. + Itap.

Seco 3.75

Médio 2.83

Úmido 1.90

Fonte: Autor (2018)

Se observa que o Modelo Reduzido não é só mais rápido, mas também tem melhor desempenho principalmente para o cenário úmido que é mais sucessível à ocorrência de vertimentos. Isto se deve pelo modelo reduzido não perder precisão ao discretizar os vertimentos. Dessa forma, os custos de ambos tendem a se igualar com o aumento do grau de discretização.

Por meio da Tabela 21, se constata a dificuldade das políticas de operação da PDE (afluentes e para o grau de discretização especificado) para simular o Cenário Seco. Entretanto, foi possível encontrar políticas ótimas para este cenário ao aumentar o grau de discretização para mais de 30.

Ainda conforme a Tabela 21, só foram viáveis a simulação das regras de operação obtidas tanto por PDE quanto por PDDE para os cenários médio e úmido do hidrossistema composto apenas por Sobradinho.

Os valores das variáveis de estado e decisão para estes dois métodos (PDDE e o da PDE para o Modelo Reduzido) obtidos na simulação do hidrossistema composto por Sobradinho para o cenário médio estão ilustrados graficamente na Figura 11.

Figura 11 - Comparação da Simulação do Cenário Médio entre a PDDE e a PDE para o Hidrossistema do Sobradinho.

Fonte: Autor (2018).

A perda de sensibilidade para a altura de queda, devido à linearização da função objetivo, na geração de energia pode ser visualizada pela comparação entre os volumes da simulação da PDE e da PDDE.

Na operação ótima da PDDE (que sofreu linearização) não há uma busca em aumentar os volumes armazenados para então turbinar vazões maiores com quedas maximizadas como pode ser observado na operação da PDE que aumenta o nível do reservatório para próximo do máximo nos primeiros meses da operação.

Este foi um dos fatores responsáveis pelo maior desempenho da operação da PDE para altos graus de discretização em comparação com a PDDE.

A Tabela 22 traz os tempos de processamento e o custo de simulação para diferentes graus de discretização da PDE para o Modelo Reduzido.

Tabela 22 - Tempos de Processamento do Modelo Reduzido para Diversos Graus de Otimização

Grau de Discretização

Tempo de

Processamento Custo de Simulação do Cenário Tempo / Grau _{Seco Médio Úmido de Discr.}

5 00:00:13 - - - 00:00:03 10 00:01:48 - - - 00:00:11 15 00:06:17 - 4.32 - 00:00:25 20 00:15:35 - 4.22 3.71 00:00:47 30 00:55:59 4.72 4.19 3.55 00:01:52 40 02:15:06 4.60 4.12 3.49 00:03:23 50 04:28:15 4.59 4.09 3.48 00:05:22 Fonte:Autor (2018)

É verificada a sensibilidade dos resultados e do tempo de processamento da PDE para o grau de discretização utilizado. Para discretizações menores do que 15, a PDE não encontra política ótima que simule algum dos cenários.

Observa-se que o ganho marginal de eficiência (diminuição dos custos) é decrescente enquanto que o crescimento marginal do tempo de processamento é crescente, logo existe um nível de discretização em que o ganho de desempenho com o seu aumento é quase nulo e que necessita de um grande tempo de processamento adicional.

Quanto à comparação das eficiências da PDDE e da PDE, ao analisar apenas a Tabela 21, aparentemente as políticas de operação da PDDE são mais eficientes (possuem custos menores) que as da PDE para o grau de discretização utilizado (grau 20).

Entretanto, conforme a Tabela 22, com o aumento do grau de discretização (a partir de 40) a PDE para o Modelo Reduzido supera a eficiência da PDDE a preço de tempo de processamento que é significativamente superior 2 horas e 15 minutos para 40 graus de discretização e 4 horas e 28 minutos para 50 graus contra os 51 segundos da PDDE. Por este ponto de vista, a aplicação da PDDE na otimização é vantajosa visto os baixos tempos de processamento e eficiência semelhante à da PDE.

Porém ao analisar a Figura 12 que traz a comparação da simulação do Cenário Médio da PDE para o modelo reduzido considerando graus de discretização de 15 e 50, é constatado que as operações com 15 graus de discretização e a com 50 são semelhantes.

Figura 12 Simulação para o Cenário Médio das Regras Ótimas da PDE do Modelo Reduzido para o Subsistema do Sobradinho Considerando 15 e 50 Discretizações.

Fonte: Autor

Se observa que uma parte dos custos da PDE se devem a ela não conseguir acompanhar perfeitamente a Demanda para Irrigação mesmo com esse grau de discretização (pois ela só é capaz de utilizar o pedaço discretizado com valor mais próximo) enquanto que a PDDE segue perfeitamente esta curva (Figura X-1) o que diminuiu o seu custo total obtido. Este é o principal motivo para a PDE só ter sido mais eficiente que a PDDE para graus de discretização maiores.

Desta forma, mesmo a PDE com 50 graus de discretização não acompanhando perfeitamente a curva de demanda já obtém desempenho melhor que o da PDDE.

Assim, sabendo que tanto a PDE quanto a PDDE apresentaram custo final nulo (terminam com Volume Armazenado maior que 50% da capacidade), é possível afirmar que a regra de operação estabelecida da PDE é mais eficiente que a da PDDE, pois mais que compensa o custo da imprecisão em seguir a curva de demanda com melhor desempenho na geração de energia. O que ocorre pela consideração da Altura de Queda na Otimização devido a não linearização.

Uma maneira de melhorar a aplicação da PDE para este hidrossistema seria diminuir o grau de discretização necessário ao aperfeiçoar especificamente a discretização da vazão para irrigação de forma que considerasse os valores máximos e mínimos por intervalo e

não somente o máximo e mínimo geral, o que não é permitido pelo pacote. E uma forma de sofisticar os resultados da PDDE seria incorporar a altura de queda líquida ou o armazenamento ao longo dos estágios na função objetivo.

Assim, para o hidrossistema da maneira que foi modelado, a PDE, para o Modelo Reduzido, apresentou políticas de operação mais eficientes por considerar a altura de queda, entretanto é completamente inviável devido ao seu tempo de processamento e necessidade de memória computacional.

Enquanto a PDDE apresenta desempenho levemente menor, porém sua aplicação é indubitavelmente vantajosa devido à sua incrível velocidade para tratar de problemas com muitas variáveis e poderia ser facilmente estendida para hidrossistemas maiores e mais complexos.

Quanto a otimização e simulação do hidrossistema completo, conforme já exposto, só foi capaz de ser otimizado por meio da PDDE e a simulação das suas políticas ótimas de operação para os três cenários estão apresentadas na Figuras 13, 14 e 15, que trazem, respectivamente, as simulações das regras ótimas de operação para os cenários definidos para os reservatórios Três Marias, Sobradinho e Itaparica.

Figura 13 – Simulação da Otimização do Hidrossistema Completo para os Três Cenários para o Reservatório Três Marias

Figura 14 – Simulação da Otimização do Hidrossistema Completo para os Três Cenários para o Reservatório Sobradinho

Fonte: Autor (2018).

Figura 15 - Simulação da Otimização do Hidrossistema Completo para os Três Cenários para o Reservatório Itaparica

Os vertimentos elevados do último estágio para o reservatório de Três Marias (apesar de o reservatório não estar cheio) se justificam como transferências, na matemática da operação para a forma que foi modelada, como uma maneira de aumentar o volume armazenado e a vazão turbinada no reservatório Sobradinho que possui o maior peso no custo final.

Se observa que com as prioridades α e iguais a (0.5 e 0.5) a operação da otimização do hidrossistema completo, assim como para o subsistema do Sobradinho, busca a suprir integralmente a demanda de irrigação, visto as vazões destinadas à irrigação serem iguais à curva de demanda para todos os reservatórios.