Vektör Uzaylarında Taban ve Boyut
3. Bir Vektör Uzayının Tabanı
V bir vektör uzayı ve E = { x1 , x2 , ... , xn } ⊂ V olsun. Eğer E kümesi aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa E ye V nin bir tabanı veya bazı denir.
(i) E lineer bağımsız bir kümedir.
(ii) L(E) = V yani E, V yi geren bir kümedir.
3.1. Örnek
E = { (1, 0), (0, 1) } kümesini alalım. Daha önce E kümesinin hem lineer bağımsız oldu-ğunu hem de R2 yi gerdiğini gösterdik. O halde E kümesi R2 için bir tabandır ve bu tabana R2 nin standart tabanı denir.
{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } kümesi R3 ün standart tabanı,
{ (1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1) } kümesi R4 ün standart tabanı ...
{ (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) } kümesi de Rn in standart tabanıdır.
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
3.2. Örnek
F = { (1, 1), (-1, 0) } kümesi R2 için bir taban mıdır?
Çözüm
F kümesinin R2 nin bir tabanı olması için lineer bağımsız ve germe özelliklerini sağlaması gerekir.
(i) (1, 1), (-1, 0) vektörlerinin lineer bağımsızlığını araştıralım:
a (1, 1) + b (-1, 0) = (0, 0) (a - b, a) = (0, 0) buradan a = b = 0 bulunur.
F kümesi lineer bağımsızdır.
(ii) (1, 1), (-1, 0) vektörlerinin R2 yi gerdiğini araştıralım: Bunun için (x, y) ∈ R2 olmak üzere,
(x, y) = a (1, 1) + b (-1, 0)
eşitliğindeki a, b sayılarını bulmalıyız.
(x, y) = (a - b, a) buradan
a = y ve b = y - x bulunur, böylece
(x, y) = y (1, 1) + (y - x) (-1, 0)
olup (x, y) ∈ L { (1, 1), (-1, 0) } dır. O halde L(F) = R2 dir. Böylece F = { (1, 1), (-1, 0) }
kümesi de R2 için bir tabandır.
3.3. Örnek
{ 1, x, x2 } kümesi P2(R) vektör uzayı için bir taban mıdır?
Çözüm
Lineer bağımsızlık ve germe özelliklerini kontrol etmeliyiz:
{ 1, x, x2 } kümesi lineer bağımsızdır. Çünkü kümenin öğelerinden hiçbiri diğerleri-nin lineer bileşimi şeklinde yazılamaz (kontrol ediniz).
{ 1, x, x2 } kümesi P2(R) kümesini gerer. Gerçekten, p(x) ∈ P2(R) ise a0 , a1, a2 ∈ R için p(x) = a01 + a1x + a2x2 dir.
Böylece { 1, x, x2 } kümesi hem lineer bağımsız hem de P2(R) yi gerer. O halde Pn(R) için bir tabandır. Bu tabana P2(R) nin standart tabanı denir.
{ 1, x, x2, x3 } kümesi P3(R) nin standart tabanı, { 1, x, x2, x3, x4 } kümesi P4(R) nin standart tabanı ...
{ 1, x, x2, ..., xn } kümesi de Pn(R) nin standart tabanıdır (kontrol ediniz).
3.4. Teorem
E = { x1 , x2 , ... , xn } kümesi V vektör uzayı için bir taban olsun. F = { y1 , y2 , ... , yr } kümesi V'de lineer bağımsız bir küme ise r ≤ n dir. Dolayısıyla V içindeki n + 1 veya daha fazla vektör lineer bağımlıdır.
Kanıt
Teoremin kanıtını Ünite 5'deki 2.9 Teoreminin kanıtına benzer şekilde yapabilirsi-niz.
Sonlu boyutlu bir vektör uzayının birden çok tabanı vardır. 3.1. Örnek ve 3.2. Örnek-te R2 nin iki farklı tabanı verildi. Bu farklı tabanlardaki vektörlerin sayısı aynıdır.
Aslında bu sonuç herhangi bir vektör uzayı için de geçerlidir. Bu sonucu aşağıdaki teoremle kanıtlayalım.
3.5. Teorem
Sonlu boyutlu bir vektör uzayının herhangi iki tabanındaki vektörlerin sayısı aynı-dır.
Kanıt
E = { x1 , x2 , ... , xn } ve F = { y1 , y2 , ... , ym } kümeleri V nin farklı iki tabanı olsun. E ve F kümeleri taban oldukları için lineer bağımsızdırlar. E kümesi bir taban ve F de lineer bağımsız olduğu için 3.4. Teorem gereğince m ≤ n dir.
Benzer şekilde, F taban ve E de lineer bağımsız olduğu için n ≤ m olur. Böylece m = n elde edilir. Sonuç olarak, sonlu boyutlu bir vektör uzayının bir çok tabanı vardır ve her tabandaki vektörlerin sayısı aynıdır.
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
3.6. Tanım
Sonlu boyutlu bir V vektör uzayının herhangi bir tabanındaki vektörlerin sayısına V nin boyutu denir ve boyV ile gösterilir.
Örneğin R2 deki e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) standart vektörlerin E = { e1 , e2 } kümesi R2 nin standart tabanıdır. Buna göre boy R2 = 2 dir.
V = { 0 } vektör uzayı 0 boyutlu olarak tanımlanır. Bundan başka;
boyR3 = 3 , boyR4 = 4 , ... , boyRn = n dir.
Standart tabanlarını yazdığımız Pn(R) n≥ 1 vektör uzaylarının boyutları da, boy P1(R) = 2 , boy P2(R) = 3 , ... , boy Pn(R) = n + 1
dir.
Siz de R2, R3, R4, P1(R), P2(R), P3(R) vektör uzayları için başka tabanlar yazı-nız, tabandaki vektörlerin sayısını belirtiniz.
3.7. Örnek
R üzerinde tanımlı 2x3 tipindeki matrislerin vektör uzayı M2x3 için
vektörleri bir taban oluşturur (kontrol ediniz).
Buradan boy M2x3 = 6 olduğu görülür.
Siz de M3x4 vektör uzayı için bir taban yazınız ve boy M3x4 ü belirtiniz.
Buraya kadar sonlu boyutlu vektör uzaylarını inceledik. Sonlu boyutlu olmayan vektör uzayları da vardır. Bu tür vektör uzayları sonlu kümeler tarafından gerile-mez. Örneğin, bütün polinomların oluşturduğu P(R) vektör uzayı, sonlu boyutlu değildir. Çünkü, hiçbir sonlu küme P(R) yi geremez.
Uyarı: P(R) vektör uzayı ile P1(R) vektör uzayını birbiri ile karıştırmayınız!
?
1 0 0 0 0 0
, 0 1 0 0 0 0
, 0 0 1 0 0 0
, 0 0 0 1 0 0
, 0 0 0 0 1 0
, 0 0 0 0 0 1
?
3.8. Teorem
V n-boyutlu bir vektör uzayı ve E = { x1 , x2 , ... , xn } kümesi de V nin bir tabanı olsun.
Bu durumda V deki her x vektörü tabandaki vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak tek türlü yazılır.
Kanıt
E kümesi V vektör uzayını gerdiği için V deki her x vektörü E deki vektörlerin bir lineer bileşimi olarak yazılır. Bu yazılışın tek türlü olduğunu gösterelim. Varsaya-lım ki x vektörü
x = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn (1) x = d1x1 + d2x2 + ... + dnxn (2)
şeklinde iki türlü yazılsın. (1) ve (2) denklemlerini taraf tarafa çıkartalım.
0 = (c1 - d1) x1 + (c2 - d2) x2 + ... + (cn - dn) xn elde edilir. E kümesi lineer bağımsız olduğundan
c1 - d1 = c2 - d2 = ... = cn - dn = 0 böylece c1 = d1 , c2 = d2 , ..., cn = dn olur.
x = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
yazılışındaki c1 , c2 , ... , cn katsayılarına x vektörünün { x1 , x2 , ... , xn } tabanına göre koordinatları denir ve (c1 , c2 , ... , cn) şeklinde gösterilir.
3.9. Örnek
R2 nin { (1 , 2), (1 , -1) } tabanına göre (2 , -5) vektörünün koordinatlarını bulalım.
(2 , -5) vektörü tabandaki vektörlerin lineer bileşimi olarak yazılabileceğinden (2 , -5) = c1 (1, 2) + c2 (1, -1)
olacak şekilde c1 ve c2 skalerleri vardır.
(2 , -5) = (c1 + c2 , 2c1 - c2)
buradan c1 = -1, c2 = 3 bulunur. Böylece (2, -5) vektörünün verilen tabana göre koordinatları -1, 3 olur.
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
R2 nin standart tabanına göre (2, -5) vektörünün koordinatlarının 2, -5 olduğunu görünüz.
3.10. Örnek
R üzerinde tanımlı 2x2 tipindeki matrislerin vektör uzayı M2x2 olduğuna göre
(i)
Şimdi sonlu boyutlu bir vektör uzayında verilen bir kümenin, taban olup olmadığı-nı kontrol etmek için kullanabileceğiniz yararlı bir teoremi kaolmadığı-nıtsız olarak verelim.
E = 1 0
vektörünün bu tabana göre koordinatlarını bulunuz.
bulunur. Buradan c1 = 3, c2 = -8, c3 = 4, c4 = -6 çıkar. O halde 1 2 3 5
vektörünün verilen tabana göre koordinatları (3, -8, 4, -6) dır.
1 2
3.11. Teorem
V n-boyutlu bir vektör uzayı ve E = { x1 , x2 , ..., xn } kümesi de V nin bir alt kümesi olsun.
(i) E kümesi lineer bağımsız ise V nin bir tabanıdır.
(ii) E kümesi V yi gererse, V nin bir tabanıdır.
Şimdi yukarıdaki örneği tekrar dönelim ve (i) şıkkını bu teoremden yararlanarak çözelim:
boyM2x2 = 4 ve E kümesinin öğe sayısı da 4 olduğu için E nin sadece lineer ba-ğımsız olduğunu veya sadece M2x2 yi gerdiğini görmek yeterli olacaktır. E nin li-neer bağımsızlığına bakalım; li-neer bağımsızdır. Bundan böyle, n-boyutlu bir vektör uzayında n tane vektörün ta-ban oluşturup oluşturmadığını kontrol etmek için bu vektörlerin sadece lineer ba-ğımsızlığını veya sadece vektör uzayını gerdiklerini aramak yeterlidir.
Şimdi yine bu teoremden yararlanarak vektör uzayları için taban bulalım.
3.12. Örnek
uza-yı için bir taban olup olmadığını kontrol edelim.c1 1 0
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Çözüm
boy R2 = 2 olduğu için R2 deki lineer bağımsız herhangi iki vektör daima bir ta-ban oluşturur.
{ (1, 1), (1, 0) }, { (-1, 2), (1, 0) }, { (3, 5), (1, 2) } kümelerinin herbiri R2 için bir tabandır.
3.13. Örnek
R3 için bir taban bulunuz.
Çözüm
boy R3 = 3 olduğu için R3 deki lineer bağımsız herhangi üç vektör daima bir ta-ban oluşturur, buna göre,
{ (1, 0, 3), (0, 2, 1), (1, 3, 0) } kümesi bir tabandır.
Siz de R3 için başka tabanlar yazınız.
3.14. Örnek
E = { x+1, x2, x2 +1 } kümesi P2 (R) için bir taban mıdır?
Çözüm
boy P2 (R) = 3 olduğundan verilen 3 vektörün lineer bağımsızlığını aramak yeter-li olacaktır.
c1 (x + 1) + c2 x2 + c3 (x2 + 1) = 0 (c2 + c3) x2 + c1 x + (c1 + c3) = 0
bir polinomun sıfır polinom olması için her teriminin katsayısı sıfır olmalıdır, c2 + c3 = 0
c1 = 0 c1 + c3 = 0
eşitliğinden c1 = c2 = c3 = 0 bulunur. O halde E kümesi P2 (R) için bir tabandır.