Bilgi Güvenliğinin İşletmeler İçin Önemi ve Bowtie Modelinin Uygulanması

Para enumerar cones cuja base ´e uma superf´ıcie (sempre contida em algum P3) com at´e seis pontos duplos ordin´arios, vamos aplicar os resultados do cap´ıtulo2 ao diagrama:

L //X := P(S_{dF) ×}G₄ P(T ) ⊃ D



P(S_dF)

(3.2)

ondeL = OSdF(1)⊗OT(d) eD := {(V, S, W) ∈ P(SdF ×G4P(T ); W ∈ S} ´e o esquema de

zeros da se¸c˜ao universal de_{L. A fibra D(V,S)} ´e a superf´ıcie S vista concretamente dentro de P3

V.

Verifica-se facilmente que, ao contr´ario do que acontece no caso de curvas, para os sistemas lineares de superf´ıcies a presen¸ca de um ponto triplo ´e uma condi¸c˜ao de codi- mens˜ao 7. Assim, para um sistema linear S, suficientemente geral e de dimens˜ao menor ou igual a seis, temos que os membros de S n˜ao possuem pontos triplos.

Isso poderia nos levar a concluir erroneamente que a resposta ao nosso problema enumerativo seria dada pelo grau do ciclo Σ(2[n]_{,D), sem necessidade de corrre¸c˜oes.} Por´em, Vainsencher observa em [31], que embora exclu´ıdos pontos triplos, podem aparecer singularidades de co-posto igual a dois (denotadas cork2, que vamos definir em seguida) que propagam contribui¸c˜ao para os ciclos de singularidades de tipo 2[4]_{. Ademais, essas} singularidades coincidem com os pontos triplos no caso de curvas, ou seja, no nosso con- texto a no¸c˜ao de singularidade de tipo cork2 ´e a tradu¸c˜ao correta da no¸c˜ao de ponto triplo no caso de curvas, no sentido que os ciclos correspondentes s˜ao as corre¸c˜oes que devem necessariamente aparecer nas f´ormulas.

Vamos come¸car revendo algumas observa¸c˜oes feitas em§1.6, p.25do primeiro cap´ıtulo, mas agora no contexto espec´ıfico de superf´ıcies.

Seja S ⊂ P3 _{uma superf´ıcie de grau d, definida como os zeros de um polinˆomio ho-} mogˆeneo F _{∈ C[X0}, X1, X2, X3]. Se p ∈ P3 ´e um ponto singular de S, ent˜ao por uma mudan¸ca de coordenadas podemos supor que p = (0, 0, 0, 1). Desse modo podemos escre- ver

F (X0, X1, X2, X3) = X3d−2f2(X0, X1, X2) + . . . + X3fd−1(X0, X1, X2) + fd(X0, X1, X2) com fi homogˆeneo de grau i. Da´ı, passando ao aberto afim U3 :=_{X3 6= 0} ⊂ P3, temos

que S ´e definida por

f (x0, x1, x2) = f2(x0, x1, x2) + . . . + fd−1(x0, x1, x2) + fd(x0, x1, x2)

e (0, 0, 0) ´e ponto singular. Como f2(x0, x1, x2) ´e uma forma quadr´atica, podemos falar no posto e no co-posto (ou nulidade). Al´em disso, podemos verificar que

( ∂ 2_f

∂xi∂xj(0, 0, 0)) = ( ∂2_f2

∂xi∂xj(0, 0, 0)) para 0≤ i, j ≤ 2

Portanto, em p = (0, 0, 0), o co-posto da hessiana de f ´e igual ao co-posto da forma quadr´atica f2. Dizemos que o ponto p ´e uma singularidade de tipo “cork2,” se o co-posto de f2 for igual a 2.

Note que no caso de curvas, a forma quadr´atica f2 ´e dada por uma matriz quadrada de ordem 2, assim dizer que f2 tem co-posto 2 significa dizer que essa matriz ´e a matriz nula, ou seja, f2 ´e nula, logo p ´e ponto triplo.

Como no primeiro cap´ıtulo diremos, por exemplo, que (x1, x2) ´e uma singularidade de tipo (cork2, 2) de S, se x1 ∈ S for uma singularidade de tipo cork2 em S e x2 for uma singularidade da transformada estrita de S por meio da explos˜ao de P3 _{em x1. Al´em} disso, diremos que (x1, x2) ´e uma singularidade de tipo cork2(cork2) de S, se x1 ∈ S for uma singularidade de tipo cork2 em S e x2 for uma singularidade de tipo cork2 da transformada estrita de S, infinitamente pr´oxima de x1.

Agora observe que se p n˜ao ´e ponto triplo, sem perda de generalidade, podemos escrever: f2(x0, x1, x2) = x20+ sx21+ tx22

com t, s∈ {0, 1}.

Observamos que se ts_{6= 0, ent˜ao p ´e um ponto duplo ordin´ario e neste caso se denotarmos} por S′ a transformada estrita de S por meio da explos˜ao de P3 _{em (0, 0, 0, 1), vemos que} S′ _{´e n˜ao singular ao longo do S}′_{∩ E, onde E ´e o divisor excepcional. De fato, tomando} coordenadas locais x0, x1, x2, x′₀, x′₁ no aberto U3× U2 ⊂ P3_{× P}2_{, vemos que nesse aberto} a explos˜ao eP3 _{tem equa¸c˜oes da forma:}

xi = x′_ix2 com i = 0, 1.

Portanto a transformada estrita de S em eP3 _{´e dada localmente pela equa¸c˜ao} f′(x′₀, x′₁, x2) := x′2₀ + sx′2₁ + t + x2f3(x′₀, x′₁, 1) + . . . + xd−2₂ fd(x′₀, x′₁, 1) = 0.

Como o divisor excepcional ´e dado nesse aberto por x2 = 0, vemos que para S′ _{ser singular} em um ponto de

S′_{∩ E = {x}′2₀ + sx′2₁ + t = 0_}

´e necess´ario que tenhamos x′₀ = sx′₁ = 0, ent˜ao deve ocorrer tamb´em t = 0. Portanto, para que S′ _{admita singularidade infinitamente pr´oxima de p ´e necess´ario que ocorra s· t = 0,} ou seja, p deve ser degenerado. Al´em disso, se p ´e de tipo cork2, ent˜ao s = t = 0 e da´ı, para que S′ _{admita singularidade em S}′_{∩ E ´e necess´ario e suficiente que tenhamos x}′

0 = 0 e f3(0, x′₁, 1) = 0.

Assim, vemos que se p ´e de tipo cork2 ent˜ao S′ _{admite trˆes pontos singulares in-} finitamente pr´oximos de p (um para cada raiz da c´ubica acima). Em particular, uma singularidade de tipo cork2 tamb´em ´e uma singularidade de tipo 2[4]_{. Note que a presen¸ca} de uma singularidade de tipo cork2 imp˜oe 4 condi¸c˜oes no sistema linear de superf´ıcies de P3_{. De fato, uma condi¸c˜ao para que S seja singular, mais duas para que o co-posto da} hessiana seja 2, e por fim mais uma condi¸c˜ao que for¸ca as singularidades da transformada estrita de S estarem no excepcional.

Por outro lado, se S′admitir p′como singularidade de tipo cork2 infinitamente pr´oximo de p, ent˜ao p deve ser de tipo cork2 (veja [31],1.2.1). De fato, suponha que p′ _{= (0, 0, 0).} Neste caso, usando a rela¸c˜ao

x2₂f′(x′₀, x′₁, x2) = f (x0, x1, x2), podemos verificar que

Hessf′(p′) =      2 0 _2∂x∂32f 2∂x0 0 2s _2∂x∂32f 2∂x1 ∂3_f 2∂x2 2∂x0 ∂3_f 2∂x2 2∂x1 2∂4_f 4!∂x4 2     

Portanto, para que p′ _{seja singularidade de tipo cork2 ´e necess´ario que a matriz acima} tenha posto igual a 1. Logo, devemos ter s = 0 e assim p tamb´em ´e de tipo pelos menos cork2. Essa observa¸c˜ao ´e fundamental para que possamos definir a estrutura esquem´atica de Σ(cork2(cork2),D).

Apresentamos abaixo, o resultado correspondente `a proposi¸c˜ao2.1.1, p.53do primeiro cap´ıtulo. Como j´a observamos, no lugar dos pontos triplos aparecem as singularidades de tipo cork2. A referˆencia original ´e a proposi¸c˜ao 1.1 de [31].

Proposi¸c˜ao 3.3.1. Seja_{Y uma variedade projetiva, lisa, de dimens˜ao maior ou igual a 3} e sejaL um um feixe invert´ıvel e amplo. Fixado n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, existe r0 ∈ N tal que para todo r_{≥ r}0 e para todo subsistema linear S⊂| L⊗r| de dimens˜ao n, suficientemente geral, a quantidade de membros de S com uma singularidade de tipo 2[n] _{´e finita. Al´em} disso, temos a seguinte lista de poss´ıveis tipos estritos de singularidades ocorrendo nos membros de S:

• n ≤ 3 ⇒ 2[n]_.

• n = 4 ⇒ 2[4] _{ou (cork2).}

• n = 5 ⇒ 2[5]_{, (cork2, 2) ou (2, cork2).}

• n = 6 ⇒ 2[6]_{, (cork2(cork2)), ou qualquer permuta¸c˜ao de(cork2, 2, 2).} Prova: A prova dessa proposi¸c˜ao ´e semelhante `a prova de 2.1.1, p.53.